核心素養下數學抽象能力聚焦

夏華

[摘 要] 新修訂的課程標準將數學抽象作為核心素養的第一要素，凸顯數學學習最重要的本質.抽象能力如何提高？在數學抽象中獲得提升的關鍵是什么？本文以抽象函數的學習為例，談一談數學抽象能力如何實現聚焦.

[關鍵詞] 核心素養；數學抽象；能力；抽象函數；思維；模型

新一輪數學課程標準正在修訂過程中，但是數學抽象已經作為第一準則被寫入了數學核心素養的要求. 為什么每次課程標準的制定中，數學抽象一直成為必不可少而且是首當其沖的準則呢？張景中院士這么解釋：數學最核心的是研究表象下的本質，從中學數學角度來說就是研究問題情境背后的數學本質.然而數學問題有具象化的表現，也有抽象化的表現，從中學生現有的思維程度來看，具象化的問題在高中生的認知中屬于淺層問題，通過運算、邏輯思考可以解決，但是抽象化的數學問題在中學生頭腦中尚處于深層次問題，需要加強概念的理解和使用，從漸進的角度來解決問題. 本文從抽象函數的視角入手，從幾個教學相關方面分析數學抽象能力的建立.

特殊到一般的培養

數學抽象能力不是一朝一夕培養的，而且在初中數學的學習中，數學抽象具體在教材中的體現是鳳毛麟角的，導致學生很難適應高中數學的抽象部分. 以函數概念為例，初中數學的函數對概念的要求比較粗略，這與初中生接受能力相關，因此函數都是以具體模型的形態給出的，而高中數學將函數概念上升到了更為復雜的問題中，隨之而來的抽象函數讓學生的理解出現了較大的困擾.

問題1：（線性為背景的抽象函數學習）已知函數f（x）對任意實數x，y，均有f（x+y）=f（x）+f（y），且當x>0時，f（x）>0，f（-1）=-2，則f（x）在區間[-2，1]上的值域為____________.

特殊化分析：作為一道抽象函數小題，教學中要引導學生小題小做的思路，即能利用特殊化的思路進行解決. 在后續再做出一些抽象性的思考，將問題上升到抽象層面. 我們知道，抽象函數一般都具備具體的函數模型，或者可以這么說：編制抽象函數試題的命題者，首先采用一個具體函數模型為背景進行了性質的研究，進而抽去表象編制抽象函數試題. 因此筆者認為，數學抽象能力培養的第一個階段是利用具象化的問題進行試探，引導學生理解初級抽象函數試題是可以用具體函數模型去適配的，從而簡化問題的求解. 對于本題，我們不妨從f（x+y）=f（x）+f（y）及當x>0時，f（x）>0，f（-1）=-2這些條件出發，可以令f（x）=2x，問題顯而易見.

變式：若問題以解答題的形態給出呢？

一般化分析：誠然若以解答題的形式給出，上述特殊化的想法自然是不全面的，問題需要回歸到解答題層面求解. 有了特殊化分析給我們做出的良好分析和鋪墊，我們發現要解決值域問題首先必須解決函數單調性，考慮到心底有了函數模型f（x）=2x支撐，所以只要證明抽象函數具有單調遞增的性質即可. 不妨設設x10，有條件f（x2-x1）>0，知f（x2）=f[（x2-x1）+x1]=f（x2-x1）+f（x1），所以f（x2）-f（x1）=f（x2-x1）>0，即f（x1）

小結：我們發現，抽象函數問題的教學從兩個層面分步進行，是對學生數學抽象能力一種循序漸進、螺旋式上升的提高，有了具象化的函數表達式自然對抽象函數的分析做到了心中有底，自然而然有了思考的方向，形成從特殊到一般的數學抽象能力培養.

從圖形化的角度培養

解決數學抽象問題，直觀感性永遠是中學數學教學的第一準則.要培養學生的數學抽象能力，離不開圖形化思想的滲透，有了直觀才能想象，有了感性才會理性.

問題2：對定義域為R的函數f（x），表達式f（a+x）=f（b-x）與f（a+x）+f（b-x）=0的理解.

圖形化分析：函數中有很多抽象代數式，這些表達式闡述了函數的某一些數學性質，但是學生往往區分不清. 筆者認為教學可以從圖形化角度入手，借助圖形化的手段進而回頭思考抽象代數式的含義，將抽象問題結合具體圖像理解，有助于數學抽象能力的提高. 從f（a+x）=f（b-x）中，我們知道a，b是兩個常數，對定義域為R的函數而言，即x任意變化情況下，我們作出其圖像（圖1）：

結合圖像大家發現，抽象代數式f（a+x）=f（b-x）中所表示的含義是，自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點等距離，其函數值也相等，隨著x的變換，但是自變量x1=a+x與x2=b-x的函數值永遠相等，從而從其運動軌跡可知函數f（x）關于直線x=成軸對稱. 類似的，我們可以引導學生：

對定義域為R的函數而言，即x任意變化情況下，我們作出其圖像（圖2）：結合圖像大家發現，抽象代數式f（a+x）+f（b-x）=0中所表示的含義是，自變量x1=a+x與x2=b-x到它們的中點等距離，其函數值互為相反數，隨著x的變換，但是自變量x1=a+x與x2=b-x的函數值永遠互為相反數，從而從其運動軌跡可知函數f（x）關于點，0成中心對稱.

抽象代數式認知培養：有了上述圖形化思路的分析，學生在閱讀這樣的類似抽象代數式時，常常可以利用腦海中的圖像為輔助，進而加強對抽象代數的閱讀和理解.可以給出類似問題，以供學生認知和理解：

訓練1：設函數y=f（x）的定義域為R，則下列命題中：①若y=f（x）是偶函數，則y=f（x+2）圖像關于y軸對稱；②若y=f（x+2）是偶函數，則y=f（x）圖像關于直線x=2對稱；③若f（x-2）=f（2-x），則函數y=f（x）圖像關于直線x=2對稱；④y=f（x-2）與y=f（2-x）圖像關于直線x=2對稱. 其中正確命題序號為__________.（答案：②④）

訓練2：已知函數y=f（x）對一切實數x滿足f（2-x）=f（4+x），且方程f（x）=0有5個實根，則這5個實根之和為_________.（答案：15）

小結：函數中許多抽象的代數式，有表述對稱性的、有表述周期性的，對于數學抽象思維能力的培養依賴圖形化思想的實踐來加強是一種常用的手段，從本問題的研究中我們發現，學生懼怕的抽象代數式，通過圖像分析獲得了理解，將抽象代數式的含義理解到位，對于所有的同類問題有了全面的抽象理解，提高了數學抽象的能力.

從重要函數模型的培養

數學抽象能力在函數教學中的運用離不開從重要函數模型中的滲透，加強重要函數模型中相關問題的理解和運用，是提高其抽象能力的一個重要環節.

問題3：已知函數f（x）滿足定義域在（0，+∞）上的函數，對于任意的x，y∈（0，+∞），都有f（xy）=f（x）+f（y），當且僅當x>1時，f（x）<0成立. （1）設x，y∈（0，+∞），求證：f=f（y）-f（x）；（2）設x1，x2∈（0，+∞），若f（x1）

證明：（1）因為f（xy）=f（x）+f（y），所以f+f（x）=f（y），所以f=f（y）-f（x）.

（2）因為f（x1）

因為當且僅當x>1時，f（x）<0成立，所以當f（x）<0時，x>1，所以>1，x1>x2.

（3）令x=y=1代入f（xy）=f（x）+f（y）得f（1）=f（1）+f（1），f（1）=0，所以關于x的不等式f（x2-a+1）<0為f（x2-a+1）1？圯x2>a，下面簡要討論即可：當a<0時，不等式恒成立，x∈R；當a=0時，顯然不等式的解為x≠0即可；當a>0時，不等式的解為x<-或x>.

小結：函數章節中抽象能力的聚焦還需要一定典型的、相關的函數模型為載體，筆者教學中一般選用指數函數、對數函數為背景的試題各一，以重要的基本初等函數為背景，融合抽象函數中較為重要的“令”的方式，解決抽象函數解決中的一些特殊值，進而通過構造利用函數單調性解決問題.

總之，數學抽象能力的培養需要教師日復一日的滲透、培養，以函數為例的本文僅僅從少數方面做出了一些實踐. 筆者認為，將直觀和感性融入抽象函數教學中，循序漸進地認知、理解抽象函數. 數學抽象是一個綜合性的能力，其在后續向量、幾何等很多章節都有體現，從函數章節中獲得的經驗去啟發、思考有助于學生更好地學習數學中的抽象知識.