含裂紋故障的齒輪系統動力學特性研究及其故障特征分析

王 旭, 伍 星, 肖正明, 曹永立， 劉 韜

(1.昆明理工大學 機電工程學院，昆明 650500； 2.昆明云內動力股份有限公司，昆明 650500)

含裂紋故障的齒輪系統動力學特性研究及其故障特征分析

王 旭1, 伍 星1, 肖正明1, 曹永立2， 劉 韜1

(1.昆明理工大學 機電工程學院，昆明 650500； 2.昆明云內動力股份有限公司，昆明 650500)

考慮齒輪的時變嚙合剛度、傳動誤差和軸承支撐剛度的影響，建立含齒根裂紋故障的齒輪系統多自由度力學模型，基于動力學方法對其故障機理進行研究。通過材料力學的方法計算齒輪在正常和含裂紋兩種情況下的嚙合剛度，對比兩種剛度曲線的變化趨勢，便于進行精確的動力學特性分析;對建立的模型求解系統的動態響應，結果表明當齒根存在裂紋時，其時域波形中會出現周期性的沖擊現象，頻譜中在嚙合頻率的基頻及其倍頻等地方形成一系列等間隔的邊頻譜線，其間隔大小等于故障齒輪的轉頻;這些邊頻成分幅值較低，能量分散且分布不均勻，在不同頻帶的幅值大小存在差異。針對上述特點，通過正交小波包方法對信號的頻帶進行分解，應用倒頻譜分析各子頻帶信號的邊頻成分;結果表明，該方法能夠有效的提高信號的信噪比，有助于識別和提取信號中由裂紋故障引起的邊頻成分。

齒輪系統;裂紋故障;嚙合剛度;邊頻譜線;正交小波包;倒頻譜

隨著工業領域中生產技術的進步和自動化程度的提高，針對設備的在線監測和故障診斷技術正在受到更多的重視。齒輪傳動系統作為機械設備中重要的運動和動力傳遞部件在高速和重載等惡劣的工作環境中容易發生故障而影響到設備的可靠運行，安全生產和經濟效益[1]。因此，針對齒輪傳動裝置的設備監測和故障診斷技術的發展和應用也顯得越來越重要。在實際的振動監測過程中齒輪的故障特征信號多具有信號微弱，噪聲干擾強，故障種類復雜和不易識別等特點，目前針對齒輪傳動裝置的故障診斷技術還不夠成熟，有待進一步研究和完善。

針對齒輪故障的研究，國內外學者分別從齒輪的動力學機理研究和信號特征提取等方面做了大量的工作。Wu等[2]基于齒輪系統的6自由度動力學模型分析了齒輪剛度隨裂紋擴展的變化趨勢。Ding等[3]研究了齒輪磨損故障的動力學行為。馬銳等[4]建立了單級齒輪的扭轉動力學模型，對齒輪在含裂紋情況下的非線性動力學特性進行研究。Mohammed等[5]使用短時傅里葉變換方法對齒輪裂紋故障進行了特診提取。萬志國等[6]提出了齒輪嚙合剛度的一種修正計算方法，并采用小波方法對含裂紋故障的齒輪振動信號進行特征提取。李云等[7]提出一種基于包絡角域同步平均的齒輪故障診斷方法。

本文在總結前人研究成果的基礎上結合動力學仿真和故障特征分析方法開展齒根裂紋故障的研究。首先通過動力學的方法揭示仿真信號的邊頻特征，然后采用正交小波包和倒頻譜相結合的方法對齒輪裂紋故障特征進行分析。

1 齒輪的嚙合剛度計算

1.1 正常齒輪的嚙合剛度計算

根據材料力學方法可將輪齒簡化為變截面的懸臂梁(見圖1)，此時嚙合輪齒的綜合彈性剛度由懸臂梁的彎曲剛度kb，剪切剛度ks和徑向壓縮剛度kc三部分組成，對應的公式表達如下

圖1 輪齒受力示意圖

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

Ai=2Whi

(7)

(8)

式中:E為彈性模量;W為齒寬；Hp為節圓齒厚;v為泊松比。

實際輪齒的根部是彈性的輪緣，因此需要考慮齒輪基體的柔性變形，齒輪基體柔性變形所對應的剛度可表示為

(9)

式中,各參數詳見文獻[8]。

輪齒嚙合中的赫茲剛度表示為

(10)

綜上所述，一對齒輪副總的嚙合剛度可表示為

(11)

1.2 含裂紋齒輪的嚙合剛度計算

圖2為輪齒裂紋的擴展模型，圖2中裂紋存在于齒根處，假設裂紋和齒輪中心線的夾角為αc，裂紋深度為q。

圖2 裂紋的擴展模型

當齒根產生裂紋時，輪齒的受力區域將發生變化，剛度計算中的截面模量Ii別和截面面積Ai將變為

(12)

(13)

將式(12)和式(13)代入齒輪剛度計算公式中可得到對應的含裂紋情況下的輪齒嚙合剛度。齒輪參數如表1所示，假設在從動輪的齒根處產生裂紋，剛度計算結果如圖3所示，圖中分別包含了正常齒輪，裂紋深度為1 mm和裂紋深度為2 mm的嚙合剛度曲線。

表1 齒輪參數

圖3 嚙合剛度曲線

為進一步揭示嚙合剛度的頻域特征，本文擬對剛度曲線進行階次譜分析。值得強調的是，在轉速恒定且未知的情況下，采用階次譜比頻譜更為方便，階次譜不需要考慮時間信息，而得到的譜線結構與頻譜一致，只是橫坐標的表示有所區別。如圖4所示，圖4(a)為正常齒輪嚙合剛度曲線對應的階次譜，齒輪的1階代表轉頻，圖4中的譜線成分包括75階(代表齒輪的嚙合頻率)及其倍階次成分；圖4(b)為齒根裂紋為2 mm時對應嚙合剛度曲線的階次譜，對比兩圖可以發現，齒根產生裂紋時會在低階部分出現一系列間隔為1階的譜線，這些譜線占據的譜帶較寬，說明其在對應的頻譜中的頻帶也較寬。這些低頻譜線在動力學響應中與嚙合頻率及其倍頻成分形成頻率耦合而出現一系列的組合頻率，這些組合頻率圍繞在嚙合頻率及其倍頻附近，構成其邊頻成分。具體內容將在第3節(動力學仿真)作進一步說明。

2 齒輪系統動力學模型

根據考慮的因素的不同，齒輪動力學模型的建立包括多種方法，為了精確的描述齒輪系統的動態行為，本文考慮了軸承的支撐剛度，建立齒輪傳動系統的6自由度動力學模型，如圖5所示。圖5中，Gear 1和Gear 2分別代表主動齒輪和從動齒輪。

(a) 正常齒輪嚙合階次譜

(b) 齒根裂紋2 mm的嚙合階次譜

圖5 齒輪6自由度動力學模型

根據牛頓力學的方法建立方程組如下

(14)

其中，

式中:p12(t)為主動輪相對于從動輪在輪齒接觸點公法線方向上的相對位移；m1、m2為主動輪和從動輪的質量；r1、r2為主動輪和被動輪的基圓半徑；J1、J2為主動輪和被動輪的轉動慣量；k12(t) 、c12(t)為齒輪的嚙合剛度和阻尼；k1bx、k1by、k2bx、k2by和c1bx、c1by、c2bx、c2by分別為主動輪和從動輪的軸承剛度和阻尼；e12(t)為齒輪副的嚙合誤差，其公式為

e12(t)=Afcos(wft+φf)

(15)

式中，wf為動輪的嚙合頻率。

方程組中存在剛體位移，消除剛體位移后方程組可表示為

(16)

3 動力學仿真

相較于正常齒輪，輪齒裂紋的存在會導致齒輪系統在運動過程中產生周期性的沖擊響應。在齒輪傳動過程中，當含有齒根裂紋的輪齒參與嚙合時，其嚙合剛度減小，對應的剛度激勵改變，進而引起系統的沖擊響應。這種沖擊具有周期性，沖擊頻率為從動輪的轉頻。由于裂紋的存在，齒輪嚙合剛度的頻譜會在低頻處形成一系列等間隔的譜線，這些譜線占據的頻帶較寬(如圖4所示)，在齒輪系統的動態響應中這些低頻成分會與齒輪的嚙合頻率及其倍頻成分等進行頻率耦合而形成組合頻率，在圖譜上表現為齒輪的嚙合頻率及其倍頻等附近的邊頻成分，對應的邊頻范圍較寬，邊頻間隔等于從動輪的轉頻。

(a) 時域波形

(b) 幅值譜

Fig.6 Time domain waveforms and amplitude spectrum(normal)

正常齒輪的頻譜主要包含嚙合頻率及其倍頻信息，其基頻為1 125 Hz，等于齒輪的嚙合頻率,如圖6所示。而在圖7～圖8中還出現了明顯的邊頻帶，邊頻的間隔為15 Hz，等于從動輪的轉頻。隨著裂紋的擴展，時域信號的沖擊會不斷增強，相較于圖7，圖8中的時域波形的沖擊明顯增強，邊頻幅值明顯增大，從幅值譜圖的放大顯示(見圖8(c))可以看到，當齒根裂紋為1 mm時，頻譜中出現的邊頻幅值最高為0.21，而齒根裂紋為2 mm時，頻譜中出現的邊頻幅值最高為0.52，邊頻成分明顯增強。在實際的齒輪故障診斷中，當齒輪產生齒根裂紋時，其振動信號會在時域波形中出現周期性的沖擊，沖擊頻率為裂紋齒輪所在軸的轉頻，對應的頻譜在其嚙合頻率及倍頻等位置附近出現邊頻帶，邊頻間隔等于沖擊頻率。對比試驗分析結果可知，該仿真信號符合齒輪箱故障診斷中實測信號的規律，驗證了該仿真模型的可靠性，同時能夠為工程實際信號的邊頻現象提供一種基于動力學原理的解釋。

這些由齒根裂紋故障所形成的邊頻成分具有幅值較低，能量分散且分布不均勻的特點，在不同頻帶的幅值大小存在差異，如圖7(c)和圖8(c)所示。在嚙合頻率的基頻或不同倍頻附近出現的邊頻譜線的幅值具有明顯的差異，其中在嚙合頻率的5倍頻附近的邊頻幅值最高。在實際的測試中，振動信號包含有復雜的噪聲，由裂紋故障引起的邊頻分量往往會被噪聲信息淹沒而難以分析。因此，針對邊頻能量在不同頻帶分布不均勻的特點，可以通過帶通濾波將頻帶分解為多個子頻段，然后對每個子頻段進行分析。該方法一方面可以有效濾除寬頻噪聲的干擾，另一方面能夠篩選出邊頻幅值較高的頻段，突出邊頻信息，提高信噪比，能夠更為有效的發現和提取信號的邊頻特征。

(a) 時域波形

(b) 幅值譜

(c) 幅值譜放大圖

Fig.7 The time domain waveforms and amplitude spectrums(with crack fault:1 mm)

(a) 時域波形

(b) 幅值譜

(c) 幅值譜放大圖

Fig.8 The time domain waveforms and amplitude spectrums(with crack fault:2 mm)

4 故障特征分析

根據上節對信號特征的分析，本節采用正交小波包與倒頻譜相結合的方法來對信號的邊頻譜線進行分析與討論。正交小波包能夠為信號提供更加精細的分析方法，可以同時對信號的低頻和高頻進行多級分解，這種分解既無冗余，也無疏漏，便于實現信號的時頻局部化分析[9]。而且，分解后的子頻帶有效消除了齒輪嚙合頻率及其倍頻成分的干擾，便于利用倒頻譜對邊頻成分進行分析。正交小波包分解過程可以形象的表示為一個二進制樹結構圖，如圖9所示為小波包的3層分解過程。

在Daubechies小波系中濾波器長度系數為5的“db5”小波對突變信號比較靈敏且階數比較低，本文選用“db5”小波函數作小波包分解，并選取小波包的第3層分解結果進行討論。圖9中(0,0)表示原始信號，dij表示在節點(i,j)處的小波包系數。對小波包進行重構后，用sij表示dij的重構信號，則小波包第3層分解重構后的信號依次為s30～s37，表2表示了這8個信號所代表的原信號的頻率范圍，表中fc代表原信號的截止頻率。

圖9 二進制樹結構圖

表2 8個信號所代表的原信號的頻率范圍

Tab.2 The frequency range represented by the 8 signals

信號頻帶范圍信號頻帶范圍s30[0,fc/8]s34[7fc/8,fc]s31[fc/8,2fc/8]s35[6fc/8,7fc/8]s32[3fc/8,4fc/8]s36[4fc/8,5fc/8]s33[2fc/8,3fc/8]s37[5fc/8,6fc/8]

圖10～圖11為s30～s37信號的時域波形，在進行分析時將分別對各個信號單獨進行分析，以便于更為有效的分析邊頻成分。

通過正交小波包方法將信號分解為多個子頻段的信號后，可以對各個信號單獨進行分析，針對信號在嚙合頻率及其倍頻等地方出現的邊頻譜線具有數量較多，幅值較小，而且具有明顯的周期性，適宜采用倒頻譜進行故障特征的提取，倒頻譜分析方法能將圖譜上同一系列的邊頻譜線簡化為倒頻譜上的單根或幾根譜線，譜線的位置是原譜圖上邊頻的頻率間隔的倒數，譜線的高度反應了這一系列邊頻成分的強度[10]。

(a) s30信號

(b) s31信號

(c) s32信號

(d) s33信號

(a) s34信號

(b) s35信號

(c) s36信號

(d) s37信號

圖12～圖13為s30～s37信號對應的倒頻譜，圖譜中主要譜線的間隔在0.066～0.067，對應的頻率近似為15 Hz，等于從動輪的轉頻。各個倒頻率對應的幅值大小不同，其中s36中的倒頻率幅值最高，第一條譜線的值約為0.115 8，反映出的信號的邊頻特征最為明顯。

5 結 論

本文通過材料力學的方法計算含裂紋齒輪的嚙合剛度，將其代入齒輪系統的動力學方程組中求解系統的動態響應，從時域中可以發現波形中存在周期性的沖擊成分，在頻譜嚙合頻率的基頻及其倍頻等地方形成一系列等間隔的邊頻譜線，其間隔大小等于故障齒輪的轉頻。這些邊頻成分幅值較低，能量分散且分布不均勻，而且在不同頻帶的幅值大小存在差異。在實際的測試中，振動信號包含有復雜的噪聲，由裂紋故障引起的邊頻分量往往會被噪聲信息淹沒而難以分析。基于上述特征，本文首先通過正交小波包方法對信號的頻帶進行分解，然后將獲得的各個子頻帶信號應用倒頻譜進行分析，提取信號的邊頻成分。結果表明，采用正交小波包與倒頻譜相結合的方法更加有助于發現和提取信號中由裂紋故障引起的邊頻成分。

(a) s30信號

(b) s31信號

(c) s32信號

(d) s33信號

(a) s34信號

(b) s35信號

(c) s36信號

(d) s37信號

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Dynamic characteristics of a gear system with crack fault and its fault feature analysis

WANG Xu1, WU Xing1, XIAO Zhengming1, CAO Yongli2, LIU Tao1

(1. Faculty of Mechanical and Electrical Engineering, Kunming University of Science and Technology, Kunming 650500, China; 2. Kunming Yunnei Power Co., Ltd., Kunming 650500, China)

A multi-DOF mechanical model of a gear system with crack fault was established to study its failure mechanism based on the dynamic method, considering effects of time-varying mesh stiffness, transmission error and bearing support stiffness. First of all, meshing stiffnesses of gears in two cases including normal condition and the one with crack fault were calculated for the accurate dynamic characteristics analysis. The results of the system’s dynamic responses solved with the built dynamical model showed that there are some periodic impulses in time domain waveform, and there are some side frequencies equally spaced near the mesh fundamental frequency and its harmonic components, the interval between two side-frequencies is equal to the rotating frequency of the faulty gear; the amplitudes of side frequencies are lower and their energy is dispersive and not uniform, these amplitudes within different frequency bands are different. Aiming at the above mentioned features, the signal frequency band was decomposed with the orthogonal wavelet packet method and each sub-frequency band signal was analyzed using the cepstrum analysis method. The results showed that the proposed method can effectively improve the signal-to-noise ratio of signals, and make it easier to identify and extract side frequency components caused due to crack fault in signals to be detected.

gear system; crack fault; mesh stiffness; side frequencies; orthogonal wavelet packet； cepstrum

國家自然科學基金資助項目(51465021)；云南省教育廳科學研究基金重大專項項目(ZD2013004)；云南省自然科學基金(2013FB014)

2015-11-18 修改稿收到日期：2016-03-10

王旭 男，博士生，1987年生

伍星 男，博士，教授，博士生導師，1973年生

TH113

A

10.13465/j.cnki.jvs.2017.09.012