例談初中數學野學材再建構冶的實施策略和原則

施俊進+徐小建

[摘 要] “學材再建構”源于李庾南老師“自學·議論·引導”教學法中“重組教材內容，實施單元教學”的思想，必須遵循“以課程標準為基準，以教科書為參照，以教學對象（學生）為依據”的原則，并以“學生最大發展”為旨歸，根據學習任務，為實現學習效益的最大化，對各種學材進行主動加工重構，其主要表現形式為“單元教學法”. 本文就“學材再建構”的實施策略和原則談談作者的想法.

[關鍵詞] 自主建構；主動加工；單元教學；互動共生；相機引導

“學材再建構”源于李庾南老師“自學·議論·引導”教學法中“重組教材內容，實施單元教學”的思想. “學材再建構”要求數學教學不能“照本宣科”，必須以課程標準為基準，以教科書為參照，以教學對象（學生）為依據，以學生最大發展為旨歸，重新建構學材（源于教材，高于教材）.

“學材再建構”的含義

“學材”包含顯性學材和隱性學材. 顯性學材是指在一段時間內相對穩定的、靜態的、可視的學習材料. 如課程標準、課本、教學指導用書、練習冊、習題集、試卷、教具、教學環境等（當然也包含以所學核心知識為原點的周邊其他一些可以服務于教學的有效的資料、材料或信息）；隱性學材是指在某段時間內會發生變化的、動態的、隱蔽的學習材料. 如學生的學習經驗，教師的教學情感、教學經驗，學生的學習態度，師生關系等.

“學材再建構”必須遵循“以課程標準為基準，以教科書為參照，以教學對象（學生）為依據”的原則，并以“學生最大發展”為旨歸，根據學習任務，為實現學習效益的最大化，對各種顯性學材和隱性學材共同進行主動加工重構的過程. 筆者以具體課例的教學實踐為例，談“學材再建構”實施策略.

“學材再建構”的實施策略

“學材再建構”由三部分組成：一是教師獨立地對學材進行建構；二是學生在教師的引導下獨立地對學材進行建構；三是師生共同對學材進行建構. 這三者合起來就是一個完整的學材再建構過程. 以下以“三角形”（人教版教材數學八年級上冊）一章為例，談“學材再建構”的實施策略.

1. 教師的自主建構

教師的獨立建構主要是指根據課標以及學生群體和個體的學習經驗等實際情況，對“學材”進行適當地調整（增刪、強化或弱化等處理）以及創設合適的教學情境等. 即教師根據數學知識發生的規律與內在聯系，學生學習的基礎與可達到的高度，及發展思維能力，優化思維品質，學會學習方法，激勵學習自信與自覺的教學追求，獨立地進行“學材再建構”.

（1）以課標為依據.

教師的獨立建構首先體現在教學目標的制定上. 從課程標準出發，思考“三角形”這一章在整個幾何教學中的地位和章節內部各部分知識之間的內在聯系，再根據本班學生的學情制定教學目標，確定重、難點，設計教學流程. 顯然，三角形是學生接觸到的第一個幾何圖形（除基本元素外），后面所有圖形的研究都將以三角形為基礎（轉化為三角形問題），因此在制定教學目標時就不能僅僅關注三角形的知識目標，還應該關注三角形的學習對后續學習的影響，重視能力目標的制定. 當然，這是幾何學習的起始階段，能力目標也不能定得太高（了解一些幾何中研究問題的基本思路和方法，并會簡單地推理證明等）.

（2）從學生的已有經驗出發.

教師的獨立建構重點體現在教學預設方面上. 教師在具體設計教學流程時，要注意從學生的原有經驗出發，適當調整教材中知識的呈現順序. 比如，可以先讓學生畫圖并嘗試描述、概括、歸納出三角形的定義，再研究構成三角形的主要元素（邊、角）以及邊的關系和角的關系，接著研究三角形的派生元素（三角形的中線、角平分線和高等）. 這樣的建構不僅讓學生學會了知識，更重要的是在學會知識的同時初步體驗了研究幾何圖形的一般思路和方法，為以后的學習打下基礎.

（3）將學生的經驗理性化，知識系統化.

教師獨立建構的目的是教學目標的實現（即如何將學生散亂的知識系統化，感性的經驗理性化）. 在引導學生建構三角形知識的同時，教師要始終盯緊教學目標，引導學生將實踐性的、操作性的經驗理性化、系統化，最終形成邏輯化的、符號化的科學知識體系及研究幾何問題的基本思路和方法.

2. 學生的獨立建構

學生的獨立建構主要是指學生在教師的引導下自主學習，建構概念、法則，整理知識結構，接納新認知并融入原有認知結構.

（1）自主回憶.

在“11.1與三角形有關的線段（一）”教學過程中，教師要引導學生進行自主回憶（學生獨立建構），引導學生獨立回憶、相互補充：三角形是由三條線段構成的，三角形有3個角，三角形的3個角叫三角形的內角；三角形的面積公式；直角三角形、鈍角三角形、銳角三角形、等腰三角形、等邊三角形等知識.

（2）自主梳理.

顯然，學生自主回憶的知識可能是雜亂的，甚至有時不準確. 在放手讓學生充分自主表達的基礎上，引導學生自主調整、自主梳理，將知識歸類. 在教師的引導下，學生很容易將這些三角形零碎的知識分解為定義、性質和分類等. 在此基礎上，教師可以有意識地安排好板書，為后面知識結構的形成做準備.

（3）嘗試建構.

在自主回憶、自主梳理的基礎上，讓學生嘗試根據所梳理的內容對相關概念進行建構，盡可能將學生的已有經驗全部釋放出來，從而強化正確認知，糾正錯誤認知，并為將經驗認知轉化為科學認知做準備.

3. 師生共同建構

師生共同建構主要是指：在課堂教學中，生生之間、師生之間交流各自建構的成果，激發火花，啟迪思維，形成共識，產生創新成果.

（1）互動共生.

師生共同建構是生生互動、師生互動、動態生成的過程. 如，在三角形的定義建構時，可以先讓學生自己說說什么樣的圖形叫三角形（顯然，絕大多數學生都不會說），當學生說不出來（或說不全）的時候，教師可讓一個學生到黑板上（其他學生在練習本上）畫三角形，并觀察畫圖的過程，然后讓學生用自己的語言描述圖形是如何畫出來的. 如果學生說不出三條線段首尾順次相接，教師可引導學生觀察一條線段，如果把線段的一個端點看作首，那么另外一個端點就可以叫做尾，再引導學生逐步說出三條線段首尾順次相接. 對于不在同一條直線上的三條線段，可引導學生看一看教師出示的圖形（直接呈現出來就可以了）.

在生生互動、師生互動、動態生成的過程中，通過學生的回憶、梳理與嘗試建構，教師引導學生最終建構起研究“三角形”相關知識的路線圖：定義→主要（派生）元素→表示方法→主要（派生）元素性質→三角形的分類→特殊三角形→特殊三角形的性質、判定→兩個三角形的關系（全等、相似等）.

（2）關注差異.

師生共同建構有群體性建構和個體性建構兩種類型，它們有時獨立進行，很多時候也是同時進行的. 在這一過程中，教師要高度關注學生在學習上的差異，充分暴露學生的思維，并適時根據學生的差異性和即時反應相機引導，因材施“學”.

如在對三角形按邊進行分類時，學生就存在差異. 很多學生會將三角形按邊分為：不等邊三角形、等腰三角形和等邊三角形三類. 此時，教師應該引導學生進行反思：①你分類的標準是什么？②等腰三角形和等邊三角形有何異同點？通過學生獨立思考、小組交流，學生很快就意識到：①等邊三角形是一種特殊的等腰三角形（即等邊三角形就是等腰三角形，兩者不能獨立）；②分類時要按照一定的標準，而且要不重不漏. 接著通過進一步思考，學生基本能將三角形按邊“是否相等”這個標準分為：不等邊三角形和等腰三角形，同時等腰三角形又可以分為底腰不等的等腰三角形和底腰相等的等腰三角形（即等邊三角形）.

當然，以上三種建構，并沒有嚴格意義上的時間順序，也沒有嚴格的區分界定，這里分列出來講，只是為了表達的方便. 事實上，這三種建構有時幾乎是同步進行、渾然一體的. 課堂教學中，師生共同建構還有時差性，比如當教師提問等待學生思考時，那學生就在進行獨立建構；教師根據學生的反饋內容，及時調整教學過程時，那就是教師的獨立建構；當教師和學生的思維相互碰撞產生新想法時，就是師生的共同建構.

“學材再建構”的實施原則

如何進行正確、科學的“學材再建構”，其實沒有一個統一的標尺，而要根據學材的實際情況，也就是依據學生的學情和教材的難易，具體分析，合理進行. “學材再建構”具體表現為“重組教材內容，實施單元教學”，為此要遵循以下四個原則.

1. 與學生的學習基礎和自學能力同步

實施單元教學必須與學生的學習基礎和自學能力同步. 如初一代數的開始，學生由學習算術過渡到學習代數，會有一段適應過程. 又鑒于學生自學能力的培養正處于起始階段，所以宜將教材規定的一課時教學內容作為一個小單元進行建構. 經過兩三周的訓練，到了學習“有理數的乘法”時，由于學生在學習“有理數的加法和減法”時，懂得了有理數的加法在解決了符號問題后，就轉化為算術——數的加減法，他們還能總結出數集擴充后原有數集運算律仍適用的經驗，掌握有理數加法與算術——數的加法對比學習的方法，這樣就初步具備了獨立學習有理數乘法法則、乘法運算律的能力. 此時，就可將“有理數乘法”和“有理數乘法的運算律”兩節內容作為一個教學單元進行整合.

學生隨著自學能力的增強，對于某些聯系緊密的幾節教材內容，可把它們組織成一個單元進行建構，形成一個相對獨立的大知識模塊. 例如，“方程”“同解方程”“一元一次方程和它的解法”，這是由總體到局部，由概念（理論）到實踐（解方程）緊密聯系的三節內容，可以組成一個單元. 教學時，教師可激發學生的學習動機，提示研究方法，進行探索性自學，再用一定的教學時間，師生共同討論、整理出這部分的知識結構，學生再對結構中的每一部分深入自學，在教師引導下正確、熟練地解答一元一次方程練習題，進行應用性自學.

單元擴大后，安排的教學課時相應較多，學生自學時回旋余地也擴大了. 在大單元進度相對統一的前提下，學生獨立自學就可以按各自的進度，各有側重，這就很好地適應了個體學習差異.

如對“冪的運算性質”單元再建構，共分2課時. 根據冪的乘法運算性質之間的內在邏輯關系，可將三條性質作為一個學習單元. 第一課時，建構如圖1的知識結構；第二課時，運用性質熟練地運算，掌握冪的乘法運算技能. （如圖1）

2. 與學生的知識體系、認知結構相匹配

實施單元教學必須與學生的知識體系、認知結構相匹配.

如“一元一次方程的應用”概括了實際問題轉化為代數問題的幾種常見類型，目的是讓學生從中學會分析數量關系，列出代數式或畫出線段圖（或圖表），進而轉化為方程的方法. 因此，可以把它作為一個整體進行教學，使學生在個性中尋找共性，又運用共性的規律去靈活處理個性問題. 這樣在教學時就可將“一元一次方程的應用”作為一個單元，分四步進行教學.

第一步用一課時教學. 學生自學課本的例1. 而后全班交流、討論兩個問題：（1）用自己的語言說出題意、分析過程并列出方程；（2）小結用代數方法分析問題的思路. 通過分析，學生初步學會將題中的已知量、未知量之間的關系用代數式表示的方法，從而根據能反映問題全部意義的一個相等關系列出方程.

第二步用三課時教學. 第一課時學生自學課本的例題3至例題7. 第二、三課時，交流、討論以下三個問題：（1）用自己的語言，結合圖形、圖示、列表等，說出題意，分析題中的基本數量及其相互關系，找出等量關系，列出方程；（2）除課本的解法之外，自己還有哪些解法；（3）題中的條件和結論可進行哪些變化而成為新的問題，新的問題又如何解決.

第三步用兩課時教學. 在第二步發散思維的基礎上，教師再引導學生總結出尋找基本數量關系的方法，而后引導學生運用逆向思維方法，深化對幾種常見應用題中數量關系的認識，提高列方程解應用題的能力.

第四步用兩至三課時教學. 在個人獨立思考、完成課本“練習”和“習題”的基礎上，全班交流、討論思維過程和思維方法. 教師引導學生將問題變化、引申、相互評價，拓寬思路，熟悉列一元一次方程解應用題的技巧，并解決合理選元（包括設間接未知數）的問題.

用這樣的辦法來組織教學，可以幫助學生整體架構各部分知識，而在學習各部分知識時又明確它在整體中的作用. 這種做法對完善學生的認知結構有積極作用.

3. 與學生思維能力和思維品質的提升相呼應

實施單元教學必須與學生思維能力和思維品質的提升相呼應. 對于一些難度大或抽象程度高的教材內容，以及涉及重要的數學思想方法的章節，以一個專題建構一個教學單元比較適宜，便于學生深入研究，訓練思維，熟能生巧，學以致用.

（1）以知識體系為主建構單元

對于“幾何初步知識”，學生在小學里學習了“幾何初步知識”，對直線、射線、線段、角等簡單的幾何圖形已有一些初步了解，但只側重于計算. 而初中平面幾何的教學則著重研究幾何圖形的性質，培養邏輯思維能力. 針對這一情況，我們把“直線、射線、線段”等相關知識建構成一個教學單元，將“角”作為一個教學單元，著重研究圖形的畫法、表示法，圖形的性質及其應用等. 以后的幾何教學，根據教材、學生及教學要求，可把一條定理或一個定理體系，一種幾何圖形或一種基本作圖，建構成一個教學單元.

又如，“去括號”與“添括號”是兩個互逆的過程，兩個法則之間存在互逆關系，可將這樣的兩小節作為一個單元，即第一課時研究兩個法則及其相互聯系，第二課時著重練、議兩個法則的運用. 這樣的學習方式，便于學生通過比較，整理出法則的內容及其依據，弄清互逆關系和應用方法.

（2）按數學思想方法建構單元

綜合復習中常按分類討論、數形結合、運動變化、方程思想、函數思想、構造基本幾何圖形法等為主線建構教學單元.

（3）按數學研究的一般方法建構單元

“三角形”一章，課本上是先研究定義，接著研究與三角形有關的線段，與三角形有關的角. 根據學生的思維能力和思維品質，可調整教材教學內容的呈現順序，先研究三角形的定義，再研究構成三角形的主要元素邊及邊的關系，角和角的關系，接著研究三角形的派生元素，中線、角平分線和高等. 這種建構就是按數學研究的一般方法與策略進行的建構.

4. 與學生的學習興趣和價值認同相吻合

實施單元教學必須與學生的學習興趣和價值認同相吻合. 例如，學習幾何“三角形的內角和定理”及其推論后，在習題課的教學時，可設計如下思維鏈：

（1）求直角三角形中兩銳角平分線相交所成的角的度數.

（2）求直角三角形中兩銳角外角平分線（或所在直線）相交所成的角的度數.

（3）求直角三角形一個銳角平分線與另一個銳角的外角平分線（或所在直線）相交所成的角的度數.

（4）上述三個問題的答案有什么一般性的規律？

（5）請將上述規律推廣到一般三角形中.

課堂實錄

教師給出問題1：求直角三角形中兩銳角平分線相交所成的角的度數.

有學生分析題意，畫出圖形，求出這個角等于135°.

馬上有同學說“不對！”兩個銳角平分線相交所成的角有鈍角和銳角，正確的答案應該有兩個，即135°或45°.

數學的分類思想激發了學生的學習興趣和探究熱情，他們不滿足于問題的解決，引發了諸多聯想、猜想：直角三角形中兩銳角的外角平分線相交所成的角等于多少度呢？

可見，學生的思維方向已由直角三角形的“內角”拓展到了直角三角形的“外角”，進而提出了問題2：

直角三角形兩個銳角的外角平分線（或所在直線）相交所成的角等于多少度呢？

學生畫出圖形，研究出結果仍有兩種情況后，非常有成就感，探究的熱情進一步激發.

接著他們又提出了問題3：直角三角形的一個銳角的平分線與另一個銳角的外角平分線（或所在直線）相交所成的角又等于多少度呢？

學生們由于有了問題1和問題2的積極情感體驗和解題經驗，很快找到了解題的途徑和依據，并求得結果為45°.

這時有同學發現，問題1中的135°是直角加二分之一直角（即45°），問題2中的45°是直角減二分之一直角（即45°），問題3中的角正好等于二分之一直角. 于是又進一步嘗試概括：直角三角形中兩銳角平分線相交所成的鈍角等于90°加二分之一直角，兩銳角外角平分線相交所成的銳角等于90°減二分之一直角，一銳角內角平分線和另一銳角外角平分線相交所成銳角等于二分之一直角. 學生們的思維更加活躍了. 他們又突破了直角三角形的范圍，拓展到一般三角形來研究以上各命題，他們提出了相關的猜想，并證明了猜想的正確性.

學生由知識間的內在聯系與發展而產生自己的聯想、猜想，進而推理論證和概括自己的聯想、猜想，思維能力和水平不斷提升，創新意識隨之不斷增強.

又有學生提出，三角形三條外角平分線所在直線相交而成的三角形一定是銳角三角形，他們畫出了圖形并證明了這個結論.

以上的“學材再建構”過程，充分展示了學生的思考內容由特殊到一般、由一般到特殊、由具體到抽象，是逐步拓展、步步深入的智力創造活動過程. 這一過程激發了學生的興趣，激起了學生深入學習研究的欲望，而研究的成果又進一步增強了學生的自信，形成了良性循環.

在這樣的活動中，由于每個學生都是從自己對問題的理解出發發表意見的，因而一個意見往往引起一連串的反應，課堂呈現出多向、多邊、多層次的交流、討論，甚至爭論的熱鬧氣氛，學習不再是一種“苦差”，而變成了一種生動活潑的、充滿創造熱情的、愉快而有益的情感活動. 這種學習活動能讓學生產生“合作探究”“精益求精”“進取創新”的價值認同感.

思考

當然，“學材再建構”還包括教師根據學生群體和個體的實際情況，對“學材”進行適當增刪、調整、強化或弱化處理等. 在教學中根據數學知識發生的規律、內在的聯系，學生學習的基礎與可達到的高度，以及發展思維能力，優化思維品質，學會學習方法，激勵學習自信與自覺的教學追求，使得學生隱性的、緘默的、個性的知識得到展示和直觀呈現，同時獲得豐富的數學活動方法和活動經驗，從而切實實現從“教材是我們的世界”到“世界是我們的教材”（劉希婭）和“《課程標準》是家，不是牢房”（張奠宙）的跨越與發展.