基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方向?qū)?shù)性質(zhì)探討

陳佩樹(shù)，馬松林，彭維才

(巢湖學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，巢湖 安徽 238000)

基于問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方向?qū)?shù)性質(zhì)探討

陳佩樹(shù)，馬松林，彭維才

(巢湖學(xué)院 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，巢湖 安徽 238000)

方向?qū)?shù)是多元函數(shù)微分學(xué)中一個(gè)重要概念，首先給出方向?qū)?shù)定義，接著以問(wèn)題驅(qū)動(dòng)方式對(duì)方向?qū)?shù)性質(zhì)進(jìn)行剖析和探討，深入分析方向?qū)?shù)與偏導(dǎo)數(shù)、可微、梯度、沿給定方向單調(diào)性等有關(guān)概念之間的關(guān)系。

問(wèn)題驅(qū)動(dòng); 方向?qū)?shù); 偏導(dǎo)數(shù); 可微

0 引 言

方向?qū)?shù)既屬于高等數(shù)學(xué)基本理論知識(shí)，[1-2]也是許多理工類(lèi)專(zhuān)業(yè)必不可少的一個(gè)重要應(yīng)用工具。方向?qū)?shù)是多元函數(shù)微分學(xué)的一個(gè)重要概念，其本質(zhì)上是研究函數(shù)在某點(diǎn)處沿某一指定方向的變化率問(wèn)題，是偏導(dǎo)數(shù)知識(shí)的拓展，在研究函數(shù)局部性質(zhì)和解決許多實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中都有著重要作用。

1 方向?qū)?shù)定義

2 問(wèn)題驅(qū)動(dòng)式探討方向?qū)?shù)性質(zhì)

問(wèn)題1 若函數(shù)f在點(diǎn)P0的沿任一方向的方向?qū)?shù)都存在，能否說(shuō)明f在點(diǎn)P0偏導(dǎo)數(shù)存在？能否說(shuō)明f在點(diǎn)P0可微？

仔細(xì)剖析方向?qū)?shù)的定義會(huì)發(fā)現(xiàn)： 即使是沿x軸正向、 負(fù)向兩個(gè)方向?qū)?shù)分別存在，但無(wú)法確定其數(shù)值一定相等，所以依然可能偏導(dǎo)數(shù)不存在,也無(wú)法確保函數(shù)f在點(diǎn)P0可微。[3]

例1 函數(shù)f(x,y,z)=(x2+y2+z2)1/2在點(diǎn)(0,0,0)有

從而可知f(x,y,z)=(x2+y2+z2)1/2在點(diǎn)(0,0,0)關(guān)于x的偏導(dǎo)數(shù)不存在，同理可知在點(diǎn)(0,0,0)關(guān)于y或z的偏導(dǎo)數(shù)也不存在，故函數(shù)在點(diǎn)(0,0,0)也不可微。

問(wèn)題2 若函數(shù)f在點(diǎn)P0的偏導(dǎo)數(shù)存在，能否斷定f在點(diǎn)P0的方向?qū)?shù)也存在？

從偏導(dǎo)數(shù)定義出發(fā)，可以知道關(guān)于x軸的偏導(dǎo)數(shù)存在，僅能確保沿x軸正、負(fù)兩個(gè)方向的方向?qū)?shù)分別存在，無(wú)法確定沿任一給定方向的方向?qū)?shù)也存在。……