應讓有效記憶成為兒童數學思維的起點

于正軍

數學思考中的識記和重現是數學記憶的有效方式，而有效的數學記憶則是學生在數學活動中的思維起點。因而，在數學概念的建構過程中，需要適時引導學生開展有效的數學記憶。教學時筆者發現，一旦學生的認知不能直接觸摸已有的知識經驗，他們的數學思維便無法順勢遷移，數學認知也無法有序推進，抑制了學生對新知識概念的直觀感知和數學意義的積極建構。此時需要教師在教學實踐中，適時引領學生捕捉生活中的直接經驗，探尋直接經驗中數學知識的思維“源頭”，刺激學生探尋新舊知識的思維連接點，使新知概念在已有知識經驗的基礎上自然形成。如此識記知識，重現已有知識，學生在經歷新知識形成的過程中，其思維才能“有源可思”“有據可思”，實現了數學記憶對數學思考的有效支撐。因此，數學記憶能在數學活動中有效點燃學生的思維，促使學生的數學思維方法自然起航。

一、從觀察到識記：認知中形成思維技能

【案例一】教學蘇教版《數學》四年級上冊“認識升”。

課堂上，教師根據教材的編排步驟引導學生認識了“升”后，創設如下練習情境：

師：浴缸的容量大約是……

生：10升。（教師眉頭緊鎖，直搖頭。）

師：玻璃杯的容量會是多少？

生：10升。（學生是在回答浴缸容量10升老師直搖頭的情況下脫口而出的。）

師：（愕然……）

此案例反映出學生對10升容量的大小沒有一點認知，折射出學生對1升的數學概念還未建立。由此，“升”的教學需要教師引導學生在觀察中識記，在識記中認知，在認知中形成思維技能。

1.數學感知，需從“無形”走向“有形”

在數學思維活動中，學生通過直觀觀察而直接感知事物的特征，會表現出一種可知性思維。此時，事物往往呈現出一種有形狀態，刺激學生對事物的感知形成思維邊界，并逐步建立感知對象的思維直觀。而一旦呈現在學生面前的事物或認識對象是一種無形狀態，學生對事物的認知便無法直接感知，其直觀形象思維難以激活，思維會表現出不可知性。此時學生的數學思考缺乏思維支撐，無法延續，找不到新事物的特征與學生認知經驗的連接點，無法對所學新概念的內涵進行表征與建構。因而，對數學概念的直觀感知，需要從概念表征的“無形”走向“有形”，學生才能捕捉認知對象的參照物，找到認識新概念的思維“燃點”，繼而開展有序的數學思考。

在“認識升”的例題主題圖中，在量杯中倒入1升的水，然后全部倒入棱長為1分米的正方體容器中。這一操作過程實際上僅能幫助學生認識到“1升水的容量等于1立方分米空間的大小”，而未能對學生建構“1升水有多少”的概念起到促進作用，反而增加了“認識”的難度。因為學生直接觀察到1升的水是“無形”的，要想在腦海里建立“1升水”的概念表象，學生需要捕捉到1升水容量的“空間輪廓”，但水的“空間輪廓”會隨著不同容器的形狀而隨之發生改變，導致“1升水的容量究竟有多少”留在學生的腦海里總是無形的，是記住1升量杯里的水，還是記住1立方分米正方體容器里的水？而且1立方分米正方體容器的空間大小在學生的腦海里又是陌生的，學生還未積累這方面的認知經驗，難以形成積極的意義建構和記憶理解，學生對“升”的認識開始迷茫，此時學生的數學感知是模糊的。因此，教學時理應從兒童的認知現實出發，讓1升水的“無形”找到“有形”，找到學生熟悉的1升容量的有形容器，激活學生的認知經驗，繼而幫助學生建立掌握1升水容量大小的思維依據和思維支撐。

2.數學技能，需從識記走向思考

有效的數學思考、有序的數學思維理應從學生已有的知識經驗出發，因為已有的知識經驗在學生的腦海里已經內化為一種學習能力和思維技能。因此，有效的數學活動需要適時回歸兒童的現實生活，激活兒童的認知經驗，激發兒童的思維靈感，繼而形成有效的數學識記，促進學生由數學記憶走向數學思考，形成相應的解決問題的數學思維方法和數學技能。

“升”的認識對于四年級學生來說是抽象的，不可捉摸的，因為作為容量單位，它是無形的，學生無法直接感知它，而作為“1升”的水也是無形的，它會隨容器的形狀而發生改變，方形容器的容量可以是1升，圓形容器的容量可以是1升，其他任何形狀容器的容量也可以是1升。所以，課堂上教師需要引導學生在觀察的基礎上適時記憶，讓學生對自己熟悉的“1升容器”在頭腦中形成“腦象圖”，使“1升”這一概念的表象得到及時表征，從而有效支撐學生對容量數量關系問題的分析和解決。

教學時，可以讓學生課前帶一個1升的飲料瓶。課堂上發現，有學生帶的是1升的匯源果汁方盒，有學生帶的是1升的冰紅茶瓶，還有學生帶的是其他一些接近1升的飲料瓶。這些飲料都是學生生活里愛喝的飲料，平時經常接觸，對這些容器的空間大小以及形狀已經有了深刻的感知，對它們的空間大小已形成認知經驗。課堂上讓學生把這些1升容器的樣子順勢記憶在腦海里，這樣學生就能深刻體會到“1升”的大小，把自己熟悉的1升容器的空間大小作為一種特定的容量測量標準，每當解決與“升”有關的實際問題時，學生就會自然地從這個“標準”出發觀察分析、甄別比較。長此以往，學生對1升的容量大小就會從無形的迷茫，找到有形的抓手，扎實掌握1升的容量大小，建構了1升的概念意義。如此記憶1升的概念意義，會自然成為學生去判斷其他容器容量的思維原點，從而避免諸如“浴缸的容量是10升”“酒杯的容量是10升”的認知嚴重偏離的錯誤現象了。

二、從經驗到重現：運用中形成思維方法

【案例二】教學蘇教版《數學》一年級下冊“十幾減6、5、4、3、2”。

課堂上，教師教學12-3創設如下教學情境：

師：12-3等于多少？可以怎樣想？

生齊答：想加算減。（平時教師一定是統一強調。）

師：誰能說說3加幾等于12呢？（課堂上鴉雀無聲，無人回答。）

教師追問（有點著急）：那12-3等于幾呀？

生齊答：等于9。

教師繼續問：你們說說3加幾等于12 呀？學生還是一臉茫然……

由此分析，教師在課堂上強加給學生的“想加算減”的方法，與學生實際計算過程中的思維方法不一致，學生在計算過程中所表現出來的“言行不一”，凸顯了對20以內加法記憶的一種缺失，這種記憶缺失，導致學生無法對加法結果的瞬間重現，因而無法支撐學生用“想加算減”的思維進行減法口算。因此，數學教學理應在運用中記憶，在記憶中形成技能，繼而形成數學思維方法，使經驗得以重現，推動學生的認知由數學記憶走向數學思考。

1.方法建構，源于兒童的思維現實

在數學方法的形成過程中，兒童的理解與成人不一樣，解決問題的過程更加凸顯兒童化的思維路徑。因而，教師的教學必須要符合兒童的思維現實，即要順應兒童的思維經驗和知識基礎。無論教材中的教學方法，還是教師個體成人化的教學經驗，均不能在探索新知識的過程中直接“移植”給學生，以防形成無效的數學記憶，而應在建構數學方法的過程中回歸兒童的思維，讓兒童的思維自然催生學習需求和求知欲望，從而探索出兒童化的數學思維方法。

從上面的案例分析，在思維的難易程度上，12-3的思維難度要小于3+（ ）=12。因為12-3在學生的頭腦中，學生會用“去掉”的思維方法得到9，從12里去掉2，還剩10，再去掉1還剩下9，如此順勢思考，學生會很快得到12-3=9。而3+（ ）=12學生會在頭腦中用“慢慢湊”的思維方法：3+7=10，10+2=12，然后把先湊的7與后湊的2合起來是9，于是得出3+（9）=12，由此再想出12-3=9。這一思維過程已經明顯脫離了兒童的思維現實。因而，教學時要尊重兒童的思維現實，否則學生不但不能主動接受 “想加算減”的口算方法，更無法理解加減法之間的運算聯系。

2.技能形成，依于兒童的已有經驗

數學方法和技能形成的過程，必然是學生對已有知識經驗進行有效遷移和再運用的過程，表現為學生數學思考過程中的思維創新和有效記憶的積累。只有當學生對已有知識實施了有效記憶，相應的學習經驗才會悄然形成，新知才會在舊知的遷移過程中得以自然生長。因此，在幫助學生建構數學方法的過程中，開展有效的數學記憶會助推學生經驗的再運用，促進學生由知識性技能向思維性技能的應然轉變，加深理解知識間的相互聯系，強化數學方法的靈活運用。

因此，基于兒童的心理特點和思維特征，學生在課堂上不會主動想“由3+（9）=12得出12-3=9”的口算方法，因為如此思考反而增加數學思維的復雜性和運算算理的繁瑣性。故而，要使學生在后續的減法計算過程中形成“想加算減”的計算技能，教師需要在引領學生學習20以內加法口算時，實施有效的數學記憶。引導學生在記憶的過程中，進一步探索20以內加法算式的特征，使20以內數的分與合自然烙印在學生的腦海，初步感悟加減法算式之間的應然聯系。這樣，學生會在熟練記憶的基礎上，深刻領悟20以內加法的結果，當熟練到一定程度時，學生對于20以內的加法口算方法會自然積累為計算經驗，繼而形成相應的數感，從而形成對加法計算的知識性技能。計算技能一旦形成，學生只要看到20以內的加法算式，便會形成條件反射，其算式中的“加數”和“結果”就會同時浮現在學生的腦海。所以，當學生對于20以內加法口算記憶猶新的時候，實際上就已經形成了“想加算減”口算技能了。因為在算減法的時候，加法形成的計算技能已經自然成為學生計算減法的思維起點，只要遇到十幾減幾的減法算式的時候，學生的腦海即會浮現相應的加法算式，此時學生就不會再滋生“去掉”的思維去慢慢算減法了。如此從兒童的已有知識經驗出發，實施有效的數學記憶，既順應了兒童的認知思維，又迎合了學生的認知特點，有效促進學生數學技能的形成。

綜上所述，在數學知識和數學思維方法的建構與形成過程中，開展有效的數學記憶，并不是對數學知識的機械灌輸和數學方法的被動接受，而是促進學生思維的應然激活和數學意義的自然建構，助推學生數學思維方法的形成和數學思維的提升。因此，有效的數學記憶會自然開啟學生的數學思維，使之成為學生數學思考的思維起點，有效幫助學生實現了從低級思維的機械重復向高級思維的綜合運用的應然轉變，促進學生數學核心素養的形成和數學思想的感悟。[責任編輯：陳國慶]