畫數學，為學生提供可視化的思維路徑

夏忠

數學的抽象性與小學生思維的直觀形象性是數學學習的一大矛盾，是導致學生怕數學、學不好數學的主要原因。如何有效處理這一矛盾？實踐證明，化抽象為直觀，即把抽象的數學變成可視化的直觀圖，為學生的思維提供一個形象化的支撐，是一種行之有效的方法。教學中，筆者堅持引導學生把數學問題畫出來，抽象問題直觀教、復雜問題直觀教，由淺入深、循序漸進，遵循學生的思維規律，課堂教學深得學生喜歡，教學效益事半功倍。

一、畫算理，為學生提供可視化的思維路徑

算理是計算的道理，是學生理解為什么這樣計算的原理，是計算教學的重點和難點。以分數乘分數的計算來說，要讓學生理解分子與分子相乘的積作分子，分母與分母相乘的積作分母，可借助長方形圖，引導學生把算理畫出來。比如， × ，先畫一個長方形表示單位“1”，平均分成4份，取其中的3份，如圖： ；再把其中的 平均分成2份，取1份，如圖： ；最后引導學生觀察直觀圖，把一個長方形平均分成8份，涂雙層陰影的部分占3份，所以 × = 。借助直觀的長方形圖，為學生理解抽象的分子與分子相乘的積作分子，分母與分母相乘的積作分母，提供了可視化的思維過程，使數學算理變得看得見，摸得著，不僅難點得以突破，更增進了學生對數學的理解力和親近感。

二、畫推理，為學生提供可視化的思維路徑

推理在數學中無處不在，許多概念、法則、公式、定律等都是經過歸納推理概括出來的。以平面圖形的面積公式推導來說，它既是教學的重點，又是教學的難點，有經驗的教師在引導學生通過動手操作，推導出面積公式后，不止步于此，而是讓學生把推導過程畫出來，并且邊畫邊用自己的語言敘述推導過程。比如，圓面積的推導過程，學生是這樣畫的，如圖1：

借助推導過程的直觀圖，學生是這樣表述的：把圓轉化成一個近似的長方形，長方形的長等于圓周長的一半，長方形的寬等于圓的半徑，因為長方形的面積=長×寬，所以圓的面積=圓周長的一半×半徑，用字母表示S=πr×r。從中我還發現，圓轉化成長方形是等積變形，面積不變，但周長變了，長方形的周長比圓的周長多了兩條寬，也就是兩條半徑。學生把圓面積的推導過程畫出來，并且用自己的語言把這一過程描述出來，不僅進一步理解了圓的面積公式的由來，還從中發現了等積變形的兩個圖形，面積不變，而周長變了。一旦學生有了畫推導過程的經驗積累，當遇到“把一個圓沿半徑剪開，拼成一個近似的長方形，長方形的長是12.56厘米，圓的面積是多少平方厘米？”或“把一個圓沿半徑剪開，拼成一個近似的長方形，周長比原來多了6厘米，圓的面積是多少平方厘米？”這樣的習題時，便能自如地還原圓面積的推導過程，再根據所給的條件，找到兩種圖形的對應關系，正確解答。

三、畫意義，為學生提供可視化的思維路徑

凡是意義，均是抽象的，以分數的意義來說，分數有量、率雙重身份，對學生的學習來說，這始終是個難點。如何突破這個難點？經驗豐富的教師是這樣做的：在引導學生抽象出分數的意義后，再把它具體化、可視化。比如，用盡可能多的直觀圖來表示 的意義，學生的表示如下：

1.用一個圖形表示的：

2.用一個計量單位表示的：

3.用一個整體表示的：

經常性地讓學生把抽象的意義畫出來，意義在學生的腦子里就不再是抽象的，而是直觀的、鮮活的。當學生一見到分數 ，就不會看成是一個靜止的分數，而是可以表示一個物體的 ，又可以表示一個整體的 ，還可以表示一個計量單位的 等； 既可以表示單位“1”的 ，又可以表示3的 。正是有了分數意義的多樣化理解、表示，抽象的意義在學生的眼里，便不再是枯燥的、靜止的，而是直觀的、靈動的。

四、畫題意，為學生提供可視化的思維路徑

解決問題是小學教學教學的難點，難就難在對題意的理解、數量關系的分析上。因此，引導學生養成把題意畫出來的習慣，可以有效突破這個難點。如被除數除以除數的商是3，余數是6，已知被除數、除數、商、余數的和是75。被除數、除數分別是多少？對于四年級的學生來說，這是一道相當有挑戰性的問題，學生思維的障礙點是第一個條件“被除數除以除數的商是3，余數是6，”條件中沒有出現含有倍的句子，不知從何入手畫圖。因此，理解題意的關鍵是引導學生把這個條件轉化成“被除數是除數的3倍還多6”，再結合第二個條件，學生畫圖如下：

借助直觀的線段圖，學生不難分析出75-6-3-6的結果正好是4個除數，先求得除數，再求被除數。列式：75-6-3-6=60，1+3=4，60÷4=15，15×3+6=51，即被除數是51，除數是15。

把題意畫出來，抽象的文字變成可感的直觀圖，為學生分析數量關系提供了觀察對象，難題就不再難了。若缺少這一直觀圖，單從抽象的層面來分析，多數學生很難理解為什么75減去6還要再減去6，因為條件中只有一個6，另一個6是哪里來呢？筆者多次教學這道題，如果僅從抽象的層面來理解，學生對這個算式的難點始終都難以真正理解，而借助直觀圖，學生認知的難點便不攻自破。

把題意畫出來，不僅能直觀地看出數量之間的關系，還有利于學生變通解題思路、創新解題方法。如，一個長方形菜地長40米，寬是25米，現因擴建，長和寬同時增長5米。增加的面積是多少平方米？引導學生把題意畫出來，如下圖：

有了直觀圖的依托，學生很容易想到用大面積減去小面積等于相差面積的常規解法。列式：（40+5）×（25+5）-40×25=350（平方米）。如果教學就此結束，顯然是不夠的，習題的功能并沒有得到充分開發。教師順勢借助直觀圖，拋給學生一個問題，轉化學生的思維路徑：同學們，這道題除了用大面積減去小面積的常規思路外，還可以怎樣算增加部分的面積呢？是不是可以在增加的面積處分一分呢？一石激起千層浪，有的學生把增加部分的面積分成了甲、乙、丙三塊，如下圖：

列式：40×5+5×5+25×5=350（平方米）

有的學生把增加部分的面積分成了甲、乙兩塊，如下圖：

列式：45×5+25×5=350（平方米）；

40×5+30×5=350（平方米）。

還有的學生受直觀圖的啟發，直接把分成的甲、乙兩塊拼成一個長方形，如下圖：

列式：（45+25）×5=350（平方米）

把題意畫出來，借助直觀圖為學生的思維打開了一條綠色通道。反之，若不借助直觀圖，有的學生就把增加部分面積直接算成5×5=25（平方米）。正是因為有了直觀圖的感知，避免了學生的直覺錯誤，用大面積減去小面積等于相差面積的常規思路才呼之欲出。同理，若沒有借助直觀圖的分與拼，就沒有學生思路的多樣化，也正是借助直觀圖的分與拼，才有了學生把不規則圖形轉化為規則圖形的多種解法。把題意畫出來，題目中蘊含的轉化思想才有了滲透的土壤，學生的思維才有了由繁到簡的過程。因此，把題意畫出來，是學生年齡特點的需要，是教師教學的需要，是解決復雜問題的需要，更是提高學生解決問題能力的需要。

總之，把數學畫出來，化抽象為具體，有利于促進學生對所學知識的理解，有利于避免學生的直覺錯誤，有利于促進學生分析數量關系，有利于學生從不同的角度思考問題，突破常規，創新解法。把數學畫出來，為學生提供可視化的思維過程，是讓學生愛上數學的秘密武器，是讓學生體會思考是快樂、數學是好玩的密碼，是大面積提高教學質量的催發劑、潤滑油。

參考文獻

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[責任編輯：陳國慶]