《拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程》說課稿

郭江燕

一、教材分析

1.教材的地位與作用

眾所周知，解析幾何是一門通過建立直角坐標(biāo)系，用代數(shù)方法研究幾何對(duì)象之間的關(guān)系和性質(zhì)的一門幾何學(xué)分支。具體的做法是建立直角坐標(biāo)系，使平面上的點(diǎn)與一個(gè)有序?qū)崝?shù)對(duì)一一對(duì)應(yīng)，從而體現(xiàn)了形與數(shù)的統(tǒng)一與轉(zhuǎn)化，其內(nèi)容有著豐富的辯證關(guān)系。

解析幾何主要解決兩類基本問題：（1）已知曲線求方程；（2）已知方程求曲線性質(zhì)。橢圓、雙曲線、拋物線統(tǒng)稱為圓錐曲線，高中解析幾何主要研究它們的性質(zhì)與應(yīng)用，是學(xué)生掌握解析幾何的關(guān)鍵，是領(lǐng)會(huì)解析法構(gòu)思的途徑。本節(jié)內(nèi)容是在學(xué)習(xí)了曲線與方程，以及橢圓、雙曲線的定義，標(biāo)準(zhǔn)方程，幾何性質(zhì)的基礎(chǔ)上進(jìn)行學(xué)習(xí)的，所以可通過類比的方法得到拋物線的定義、標(biāo)準(zhǔn)方程以及下節(jié)課內(nèi)容拋物線的簡單幾何性質(zhì)。

2.教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)

重點(diǎn)：（1）掌握拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）能根據(jù)拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，求出焦點(diǎn)坐標(biāo)、準(zhǔn)線方程，并畫出其圖形；根據(jù)拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)或準(zhǔn)線方程，求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

難點(diǎn)：（1）拋物線定義的形成過程，用坐標(biāo)法求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）引導(dǎo)學(xué)生正確進(jìn)行數(shù)學(xué)圖形語言、文字語言、符號(hào)語言的相互轉(zhuǎn)化。

二、目標(biāo)分析

解析幾何的基本方法是坐標(biāo)法，在坐標(biāo)系的基礎(chǔ)上，用代數(shù)方法研究圓錐曲線。本章我們將繼續(xù)采用必修課程《數(shù)學(xué)2》中研究直線與圓所用的坐標(biāo)法，在探究圓錐曲線幾何特征的基礎(chǔ)上，

建立它們的方程，通過方程研究它們的簡單性質(zhì)，并用坐標(biāo)法解決一些與圓錐曲線有關(guān)的簡單幾何問題和實(shí)際問題，進(jìn)一步感受數(shù)形結(jié)合的基本思想。

本節(jié)課的內(nèi)容是拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程，通過45分鐘，學(xué)生需要掌握的內(nèi)容有：（1）了解拋物線的定義，在根據(jù)圖形得出拋物線定義的過程中培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力、理解能力，繼續(xù)滲透數(shù)形結(jié)合的思想。（2）掌握拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，在得到拋物線四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程的過程中培養(yǎng)學(xué)生的分析能力、探索能力、合

作交流的能力和團(tuán)隊(duì)精神，激發(fā)學(xué)生積極主動(dòng)地參與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，養(yǎng)成良好的學(xué)習(xí)習(xí)慣，同時(shí)通過一些實(shí)例加強(qiáng)學(xué)生對(duì)拋物線的認(rèn)識(shí)，使學(xué)生感受到美的享受，陶冶情操。

三、教法分析

本節(jié)課我以學(xué)生為中心，以問題為載體，采用啟發(fā)、引導(dǎo)、探索相結(jié)合的教學(xué)方法。

1.通過實(shí)例和設(shè)置“問題”情境，激發(fā)學(xué)生解決問題的欲望。

2.提供觀察的機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生獨(dú)立思考，有效地調(diào)動(dòng)學(xué)生思維。

3.通過探索、交流，使學(xué)生在開放的活動(dòng)中獲取知識(shí)。

四、過程分析

數(shù)學(xué)教學(xué)是數(shù)學(xué)活動(dòng)的整合。因此，我將整個(gè)教學(xué)過程分為以下六個(gè)教學(xué)環(huán)節(jié)：

（1）創(chuàng)設(shè)情境，引入課題；（2）研究圖形，形成概念；（3）根據(jù)概念，得到方程；

（4）變式演練，深入探究；（5）運(yùn)用新知，解決問題；（6）歸納總結(jié)，鞏固提高。

1.創(chuàng)設(shè)情境，引入課題

課堂教學(xué)的開始，我會(huì)問學(xué)生幾個(gè)熟悉的問題：在現(xiàn)實(shí)中，我們都有觀看籃球比賽的經(jīng)歷，那么籃球劃過的軌跡是什么？逢年過節(jié)我們都會(huì)放煙花，那么煙花綻放的痕跡是什么？我把手里的粉筆拋進(jìn)垃圾桶，粉筆劃過的痕跡是什么？而在數(shù)學(xué)中我們學(xué)過二次函數(shù)，請問二次函數(shù)的圖象是什么？所有的答案都是拋物線，我以實(shí)例激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣，明確今天的課程主題，引領(lǐng)學(xué)生進(jìn)入學(xué)習(xí)情境。

由上面的問題我們可以發(fā)現(xiàn)，無論在日常生活中，還是在數(shù)學(xué)中，我們都能見到拋物線的影子，那么究竟什么是拋物線呢？這就是我們今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容。（書寫課題）根據(jù)書中描述的拋物線的產(chǎn)生過程在黑板上畫出拋物線，邊畫邊口述畫法，通過在定直線上取不同的點(diǎn)，產(chǎn)生幾個(gè)拋物線上的點(diǎn)，最后把那幾個(gè)點(diǎn)用平滑的曲線連接起來便得到了拋物線。

2.研究圖形，形成概念

雖然拋物線已經(jīng)呈現(xiàn)在大家的面前，那么，究竟拋物線的定義是什么呢？

【設(shè)問意圖】本章的主要學(xué)法就是類比，通過這個(gè)問題，學(xué)生會(huì)很自然想到橢圓、雙曲線的定義，想要去找尋同橢圓、雙曲線相似的在拋物線產(chǎn)生過程中始終不變的一個(gè)幾何關(guān)系。

通過觀察拋物線的圖形，逐步引導(dǎo)，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)拋物線上的點(diǎn)是隨著定直線上任意點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng)的，而在運(yùn)動(dòng)過程中，一個(gè)始終不變的幾何關(guān)系是：到定點(diǎn)的距離等于到定直線的距離。從而確定拋物線的大致定義：平面內(nèi)，到定點(diǎn)與定直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線。

請大家想一想，定義中有一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線，是不是無論這兩者是任何位置關(guān)系，只要滿足定義中的條件，就一定可以形成拋物線呢？

【設(shè)問意圖】從內(nèi)容的完整度和準(zhǔn)確度出發(fā)，讓學(xué)生通過分析點(diǎn)與直線的兩種位置關(guān)系，得出只有定點(diǎn)不在定直線上時(shí)才會(huì)形成拋物線，否則是一條直線。

從而得到拋物線的完整定義：我們把平面內(nèi)與一個(gè)定點(diǎn)F和一條定直線l（l不經(jīng)過點(diǎn)F）距離相等的點(diǎn)的軌跡叫拋物線，點(diǎn)F叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線。

由前面的畫圖過程和與橢圓、雙曲線定義的類比進(jìn)行新概念的講解，使得知識(shí)的銜接較為順暢，概念的形成水到渠成。

3.根據(jù)概念，得到方程

由拋物線的定義，我們可以得到一個(gè)幾何關(guān)系式MF=d（其中d是拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離），那么，如何建系才能使拋物線的方程更簡單呢？

【設(shè)問意圖】此問題會(huì)讓學(xué)生自然想到橢圓、雙曲線的建系方式，激發(fā)學(xué)生靈感，讓學(xué)生主動(dòng)思考交流。

學(xué)生可能會(huì)想到三種建系方式，無論哪種建系方式都設(shè)焦準(zhǔn)距為P，按照三種建系方式，通過將幾何關(guān)系代數(shù)化、化簡，可以得到三個(gè)不同的方程，通過對(duì)比，可以發(fā)現(xiàn)y2=2px是最簡單的，從而得到了拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程。

4.變式演練，深入探究

我們知道，在建立橢圓、雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程時(shí)，選擇不同的坐標(biāo)系我們得到了不同形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么，拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程有哪些不同的形式？

【設(shè)問意圖】學(xué)生會(huì)自然想到橢圓、雙曲線的兩個(gè)標(biāo)準(zhǔn)方程是通過變換x軸，y軸得到的，所以學(xué)生會(huì)通過變換坐標(biāo)軸的方式去獲得拋物線的其他標(biāo)準(zhǔn)方程。

分別將拋物線的焦點(diǎn)放在x軸的負(fù)半軸，y軸的正、負(fù)半軸可以得到其他三種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程。完成表格：

拋物線有四種形式的標(biāo)準(zhǔn)方程，那么，如何根據(jù)標(biāo)準(zhǔn)方程，快速得到拋物線的焦點(diǎn)在哪里呢？

【設(shè)問意圖】通過觀察標(biāo)準(zhǔn)方程得到一個(gè)一般性的結(jié)論，對(duì)于學(xué)生來說更實(shí)用。

結(jié)論：x，y中誰是一次項(xiàng)焦點(diǎn)就在哪個(gè)軸上，一次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù)決定了焦點(diǎn)在正半軸還是負(fù)半軸。

5.運(yùn)用新知，解決問題

為了及時(shí)鞏固知識(shí)，反饋教學(xué)信息，就必須有練習(xí)這個(gè)環(huán)節(jié)。所以我安排了以下的練習(xí)：

（1）已知拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是y2=6x，求它的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程。

（2）已知拋物線的焦點(diǎn)是F（0，-2），求它的標(biāo)準(zhǔn)方程。

6.歸納總結(jié)，鞏固提高

為使學(xué)生對(duì)所學(xué)的知識(shí)有一個(gè)完整而深刻的印象，我請學(xué)生從以下兩方面自己小結(jié)。

（1）拋物線的定義和標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？

（2）如何根據(jù)給定的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程得出其焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程？

（學(xué)生回答）

【設(shè)計(jì)意圖】有利于學(xué)生養(yǎng)成及時(shí)總結(jié)的好習(xí)慣，并將所學(xué)知識(shí)納入已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，同時(shí)也培養(yǎng)了學(xué)生數(shù)學(xué)交流和表達(dá)的

能力。

五、評(píng)價(jià)分析

對(duì)于本節(jié)課，我的設(shè)計(jì)思路是：從學(xué)生熟悉的案例及數(shù)學(xué)中的二次函數(shù)出發(fā)引出拋物線，始終以學(xué)生為主體，以問題為載體，得到拋物線的定義及標(biāo)準(zhǔn)方程。教授過程以合作交流為手段；以能力提高為目的。整堂課我較重視概念的提取過程和知識(shí)的形成過程，學(xué)生通過自主探究、合作交流，體會(huì)冥思苦想后的豁然開朗、合作學(xué)習(xí)的默契和諧，通過本堂課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想，感受幾何坐標(biāo)的美。

參考文獻(xiàn)：

[1]鄔建云.拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程的教學(xué)設(shè)計(jì)[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2007（7）.

[2]裴小珠.說課稿：圓的標(biāo)準(zhǔn)方程[J].中華少年，2015（25）.