轉化思想在高中數學解題中的應用

楊繼承

摘 要：介紹了轉化思想在高中數學解題中的應用，包括數形轉化、換元轉化、空間向平面轉化、函數與方程的轉化、實際問題向數學問題的轉化等，轉化必須建立在等價的基礎上.

關鍵詞：解題；轉化；等價

美籍匈牙利數學家波利亞指出：“解題過程就是不斷變更題目的過程。”也就是說，解題過程是不斷轉化的過程，在數學解題中經常要用到轉化思想。許多數學問題直接去解往往比較困難，如果應用轉化的思想，從另一個角度或者另一種方式去思考，能使問題變得簡單明了，易于解決.

一、數形轉化

例1.（教材必修2 P115第7題）設a，b，c，d∈R，求證：對于任意p，q∈R，

■+■≥■

解析：設A（a，b），B（c，d），C（p，q）

則AB=■，AC=■

BC=■

因為對于平面上的三點A、B、C，總有AC+BC≥AB

所以■+■≥■

小結與反思：數是對形的定量分析。形是數的直觀反映。數形結合就是在形中覓數，數中思形。把數量關系中的問題轉化為圖形的性質問題來考慮，把圖形性質問題轉化為數學問題來研究。

加強數形轉化能力的培養有助于提高學生的形象思維和直觀思維能力。

二、換元轉化

例2.求函數y=x-4■+4的最小值.

解析：令■=t（t≥0），有x=t2-1

則y=t2-4t+3=（t-2）2-1（t≥0）

所以，當t=2即x=3時，y有最小值-1

小結與反思：通過換元法將陌生的問題情境轉化為我們熟悉的數學模型（二次函數在區間上的最值問題），以利于我們用熟悉的經驗去解決，達到化難為易、化繁為簡的目的.

三、空間向平面轉化

例3.長方體ABCD-A1B1C1D1的長、寬、高分別為3、2、1，沿長方體的表面從A到C1的最短距離為 .

■

解析：如圖（1），在長方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3，BC=2，BB1=1；

如圖（2）所示，將側面ABB1A1和側面BCC1B1展開，則有AC1=■=■，即經過側面ABB1A1和側面BCC1B1時的最短距離是■；

如圖（3）所示，將側面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開，則有AC1=■=3■，即經過側面ABB1A1和底面A1B1C1D1時的最短距離是3■.

如圖（4）所示，將側面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開，則有AC1=■=2■，即經過側面ADD1A1和底面A1B1C1D1時的最短距離是2■.

由于3■<2■<■，所以沿長方體表面上由A到C1的最短距離為3■.

小結與反思：解決空間幾何體表面上兩點間最短路線問題，一般都是將空間幾何體表面展開，轉化為求平面內兩點間的線段長，這體現了數學中的轉化思想，對學生的空間想象力提出了較高的要求。

四、函數與方程的轉化

例4.已知函數f（x）=2x-a，x≤0，x2-3ax+a，x>0，有3個不同的零點，求實數a的取值范圍.

解析：依題意，要使函數f（x）有三個不同的零點，則當x≤0時，方程2x-a=0，即2x-a必有一個根，此時00時，方程x2-3ax+a=0有兩個不等的實根，即方程x2-3ax+a=0有兩個不等的正實根，于是有Δ=9a2-4a>03a>0a>0，由此解得a>■，

因此，滿足題意的實數a需滿足0■，即■

小結與反思：函數是方程與不等式的中介，它們既有區別又有聯系，函數、方程、不等式就像“一胞三兄弟”，解決方程、不等式問題需要函數的幫助，有時需要通過探究函數的單調性和最值來解決問題。

五、實際問題轉化為數學問題

例5.已知美國蘋果公司生產某款iphone手機的年固定成本為40萬美元，每生產1萬只還需另投入16萬美元。設蘋果公司一年內共生產該款iphone手機x萬只并全部銷售完，每萬只的銷售收入為R（x）萬美元，且R（x）=400-6x，040

（1）寫出年利潤W（萬美元）關于年產量x（萬只）的函數解析式。

（2）當年產量為多少萬只時，蘋果公司在該款iphone手機的生產中所獲得的利潤最大？并求出最大利潤。

解析：看到→看到分段函數及求最大利潤

↓想到→列出函數解析式，利用二次函數模型或“對

勾”函數模型求解。

（1）當0

當x>40時，W=xR（x）-（16x+40）=-■-16x+7360

所以，W=-6x2+384x-40，040

（2）當0

當x>40時，W=-■-16x+7360，由于■+16x≥2■=1600

當且僅當■=16x，即x=50∈（40，+∞）時，取等號，所以Wmax=5760

綜合可知，當x=32時，W取得最大值為6104萬美元。

小結與反思：解答數學應用題的關鍵：一是認真審題，讀懂題意，理解問題的實際背景，將實際問題轉化為數學問題；二是靈活運用數學知識和方法解決問題，得到數學問題中的解，再把結論轉譯成實際問題的答案。

轉化的實質是化復雜為簡單，化抽象為直觀，化陌生為熟悉，化未知為已知，轉化必須建立在等價的基礎上，而扎實的基礎知識是實現轉化的前提。因此，教師在日常的課堂教學中要夯實學生的基礎，重視培養學生的各種能力，為他們在解題中順利“轉化”鋪路。

參考文獻：

顧桂斌.優化解題的重要手段：轉化[J].高中數學教與學，2006（5）.