巧用互相垂直的特定制約關(guān)系解題

郭公禮 于淼

摘 要：壓力與對應(yīng)滑動摩擦力之間的特定制約關(guān)系，不但決定了其合力方向的唯一性，而且還決定了它們在時間與空間上積累的特定制約關(guān)系;而磁場中水平位移與豎直方向的速度變化特殊關(guān)系也是力與運動在時間上積累的結(jié)果.熟悉并掌握這些特殊關(guān)系，有利于學(xué)生打開解題思路，提高解題效率.

關(guān)鍵詞：互相垂直;特定制約;巧用關(guān)系

中圖分類號：G632文獻標(biāo)識碼：A文章編號：1008-0333（2021）10-0096-02

近幾年的高考物理中、出現(xiàn)了利用互相垂直的力與運動之間的潛在關(guān)系來命題的新特點.這類高考題目可以有效考查學(xué)生綜合應(yīng)用能力，而且這類題比較難，易混，易錯.下面談?wù)勄捎没ハ啻怪钡奶囟ㄖ萍s關(guān)系來解題，希望能引起老師與同學(xué)們的重視.

一、巧用壓力與滑動摩擦力的特定制約關(guān)系

例1 （單選）如圖1甲所示，一物塊在斜面上恰能以速度V0勻速下滑，斜面靜止不動.若在物塊上再施加如圖1乙所示的作用力F（其中①圖中F沿斜面向下，②圖中F豎直向下，③圖中F垂直斜面向下，④圖中F與斜面成一定夾角向下），斜面仍靜止不動，則加力后在物塊下滑的過程中（）.

A. 四個圖中地面對斜面體支持力都增大

B. ①②④三個圖中物塊將加速下滑

C. ②③兩圖中物塊將仍然勻速下滑

D. 四個圖中地面對斜面體都沒有摩擦力

解析 由于物塊在斜面上恰能以速度V0勻速下滑，由整體法很容易判定地面對斜面沒有摩擦力作用，即物體對斜面體的壓力和摩擦力合力方向豎直向下.

在施加力作用力F后，物塊的運動狀態(tài)雖然會改變，但是物塊對于斜面體施加的力f=FN·μ的制約關(guān)系并沒有解除（即斜面受到的壓力與滑動摩擦力有特定的制約關(guān)系沒有解除），因此斜面受到的壓力與滑動摩擦力的合力方向并沒有改變，仍然豎直向下，（合力大小會發(fā)生改變），斜面受到水平合力依然為零，顯然四個圖中地面對斜面體都沒有摩擦力，故D正確.

點評 這類題目學(xué)生最容易犯的錯誤是：對小物塊施加力后，學(xué)生依然采用整體法做題，從而導(dǎo)致誤選;如果采用隔離法而沒有想到斜面受到的壓力與滑動摩擦力之間的特定關(guān)系解題，學(xué)生仍然會因理不清思路而做錯.這類題的本質(zhì)就是摩擦角不變，即壓力與對應(yīng)滑動摩擦力的合力方向不變.特別注意：如果兩個連接體都保持相對靜止（即出現(xiàn)靜摩擦力），則特定關(guān)系被解除，就可以用整體法解決了.

二、巧用互相垂直力的額外沖量關(guān)系解題

例2 如圖2所示，質(zhì)量為M的木板，以速度v沿傾角為θ的斜面向下勻速滑動，另一質(zhì)量為m的光滑小球以初速度v0做平拋運動，小球恰好垂直打在滑動的木板上并以原速率反向彈回.小球與木板撞擊時小球受到的彈力遠遠大于其重力.求木板被撞擊后的速度.

解析 開始時M勻速下滑，則有Mgsinθ=μMgcosθ，

解得：μ=tanθ，

根據(jù)平行四邊形定則如圖3得：碰撞的合速度v合=v0sinθ.

設(shè)碰撞時間為t，根據(jù)動量定理可知FNt=mv合-（-mv合）=2mv0sinθ，此時M受到的合力F合=μFN.

對滑動的木板分析：根據(jù)動量定理可知-F合t=-μFNt=Mv′-Mv.

聯(lián)立以上各式解得：v′=v-2mv0Mcosθ

點評 本題只要能應(yīng)用到碰撞時“額外壓力”和與之相對應(yīng)的“額外滑動摩擦力”的特定制約關(guān)系，再利用這兩個“額外力”等時的特點，把兩個互相垂直的力產(chǎn)生的沖量關(guān)系進行有效轉(zhuǎn)換，就可快速理清思路，順利解題.

三、巧用互相垂直力的功能關(guān)系解題

例3 如圖4，質(zhì)量為M的足夠長金屬導(dǎo)軌abcd放在光滑的絕緣水平面上.一電阻不計，質(zhì)量為m的導(dǎo)體棒PQ放置在導(dǎo)軌上，始終與導(dǎo)軌接觸良好，PQbc構(gòu)成矩形.棒與導(dǎo)軌間動摩擦因數(shù)為SymbolmA@，棒左側(cè)有兩個固定于水平面的立柱.導(dǎo)軌bc段長為L，開始時PQ左側(cè)導(dǎo)軌的總電阻為R，右側(cè)導(dǎo)軌單位長度的電阻為R0.以ef為界，其左側(cè)勻強磁場方向豎直向上，右側(cè)勻強磁場水平向左，磁感應(yīng)強度大小均為B.在t=0時，一水平向左的拉力F垂直作用于導(dǎo)軌的bc邊上，使導(dǎo)軌由靜止開始做勻加速直線運動，加速度為a.若某一過程中回路產(chǎn)生的焦耳熱為Q，導(dǎo)軌克服摩擦力做功為W，求導(dǎo)軌動能的增加量.

解析 設(shè)此過程中導(dǎo)軌運動距離為s，由動能定理W合=SymbolDA@Ek，摩擦力為Ff=SymbolmA@（mg+FA），摩擦力做功為W=SymbolmA@mgs+SymbolmA@WA=SymbolmA@mgs+SymbolmA@Q，s=W-μQμmg，SymbolDA@Ek=Mas=Maμmg（W-SymbolmA@Q）.

點評 這是上海高考試題的第三問，也是高考首次在考查壓力與摩擦力做功的特定關(guān)系，實際上大多數(shù)學(xué)生根本沒有這個概念，也無法下手，是最容易遺漏的知識點，要引起重視.

四、巧用水平位移與豎直方向的速度變化關(guān)系解題

帶電粒子進入磁場后，將受到洛倫磁力作用，洛倫茲力在y方向的分力取決于質(zhì)點在x方向的分速度，因此質(zhì)點動量在y方向的分量的增量為：mΔvy=qvxBΔt=qBΔx，由此可見：Δx=mΔvyqB=mvy末-mvy初qB=mqB（vy末-vy初），即水平方向的位移取決于豎直方向的速度變化;同理：豎直方向的位移則取決于水平方向的速度變化.這是一個易被忽視、有用而且重要的新結(jié)論.

例4 如圖5，在y>0的區(qū)域存在方向沿y軸負方向的勻強電場，場強大小為E;在y<0的區(qū)域存在方向垂直于xOy平面向外的勻強磁場.一個氕核11H和一個氘核21H先后從y軸上y=h點以相同的動能射出，速度方向沿x軸正方向.已知11H進入磁場時，速度方向與x軸正方向的夾角為60°，并從坐標(biāo)原點O處第一次射出磁場.11H的質(zhì)量為m，電荷量為q.不計重力.求：

（1）11H第一次進入磁場的位置到原點O的距離;

（2）磁場的磁感應(yīng)強度大小;

（3）21H第一次離開磁場的位置到原點O的位置.

解析 （1）11H在電場中做類平拋運動，在磁場中做勻速圓周運動，運動軌跡如圖（6）所示.在電場中由運動學(xué)公式有：s1=v1t1 h=12a1t21，當(dāng)11H進入磁場時速度在y軸方向的分量大小為：vy=a1t1=v1tan60°，聯(lián)立以上各式得s1=233h.

（2）11H在磁場中運動時，豎直方向的動量變化ΔP豎直=2mvy=2m2qEhm;

利用上述結(jié)論：s1=233h=ΔP豎直qB=22m·qEhqB，解得：B=6mEqh.

（3）21H與11H初動能相等，所以運動軌跡相同，進入磁場后ΔP′豎直=2·（2m）v′y=2·ΔP豎直

利用上述結(jié)論得：s2=2s1 ; 很容易得：21H第一次離開磁場的位置到原點O的距離 s2-s1=（2-1）s1=233（2-1）h.

點評 由此可見帶電粒子在磁場中運動時，巧用水平位移與豎直方向的速度變化關(guān)系，有利于幫助學(xué)生打開解題思路，透視問題的本質(zhì)，簡化解題過程，對于一些比較常規(guī)的磁場題目，大部分可以直接看出答案，也是最近幾年高考命題的熱點.

總之，壓力與對應(yīng)滑動摩擦力之間的特定制約關(guān)系，不但決定了其合力方向的唯一性，而且還決定了它們在時間與空間上積累的特定制約關(guān)系;而磁場中水平位移與豎直方向的速度變化特殊關(guān)系也是力與運動在時間上積累的結(jié)果.熟悉并掌握這些特殊關(guān)系，有利于學(xué)生打開解題思路，提高解題效率.

參考文獻：

[1]程稼夫.中學(xué)奧林匹克競賽物理教程（電磁學(xué)篇第二版）[M].合肥：中國科學(xué)技術(shù)大學(xué)出版社，2007（6）.

[2]教育部考試中心.普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試大綱的說明[M].北京：高等教育出版社，2019.

[責(zé)任編輯：李 璟]