強非線性和色散性Boussinesq方程數值模型檢驗

趙紅軍, 焦影霞, 孔俊

(1.河海大學 港口海岸與近海工程學院, 江蘇 南京 210098)

強非線性和色散性Boussinesq方程數值模型檢驗

趙紅軍1, 焦影霞1, 孔俊1

(1.河海大學 港口海岸與近海工程學院, 江蘇 南京 210098)

采用同位網格有限差分法，建立了強非線性和色散性Boussinesq方程數值計算模型。以穩恒波Fourier近似解給定入射波邊界條件，對均勻水深深水和淺水域不同非線性的行進波、緩坡地形上深水至淺水域的淺水變形波、以及緩坡和陡坡地形上的波浪水槽實驗進行了數值計算，并將計算結果與解析解、解析數值解以及實驗值進行了較為詳細的比較，從而檢驗了模型的色散性、非線性以及不同底坡下非線性波的淺水變形性能。

Boussinesq方程；非線性；色散性；淺水變形

1 引言

Boussinesq型方程是研究近岸水域波浪傳播變形的一個有力工具，雖然均勻水深水域下的Boussinesq方程[1]早在1872年就已給出，此類方程的實際應用卻始于1960年代變水深水域經典Boussinesq方程[2]的導得。因經典Boussinesq方程僅具弱色散性和弱非線性，且未考慮水底摩阻和近岸波浪破碎的影響，所以自20世紀80年代始針對Boussinesq方程的研究主要集中在方程色散性和非線性的提高以及向近岸破波區的推廣。

在色散性能方面，Witting[3]首先引入了Padé近似和偽速度的概念，有力推動了Boussinesq型方程色散性能的改進。受Padé近似的啟發，Madsen等[4]在動量方程中引入系數待定的三階導數項，得到了色散關系改進型Boussinesq方程。Nwogu[5]推導了以任意層水平速度為特征速度的Boussinesq方程。任意層速度的引入不但提高了方程的色散性能，而且優化了波動水質點速度的垂向分布，這在Gobbi及其合作者[6-7]以兩層水平速度勢函數重構特征速度的理論研究中有著較好的體現。上述Boussinesq方程的改進多以提高方程偏微分的階數為代價(如高至五階[7])，這為數值求解工作帶來了極大困難，為此，Lynett和Liu[8-9]引入了垂向分層的概念，他們以兩層或多層水平速度為特征速度表達的方程，在提高色散性能的同時還達到了偏微分降階的目的(降低至三階)。后來，Chazel等[10]進一步將兩層Boussinesq方程偏微分的階數降低至兩階；Liu和Fang[11]的工作進一步拓寬了兩層Boussinesq方程的水深適用范圍。

在非線性性能方面，早期的改進方式主要是摒棄弱非線性假設，保留與色散項同階的所有非線性項，由此產生了所謂的“完全非線性Boussinesq方程”[12—13]；也有學者引入隨空間和時間變化的任意水深層概念[13—14]，以優化該類方程的非線性性能。盡管早期的改進工作在某些方面一定程度上提高了方程的非線性性能，但在水深較大時方程的非線性精度還遠不及線性特征。Agnon等[15]在非線性改進方面做出了富有成效的工作：他們基于Laplace方程和水底邊界條件，通過Padé近似和算子運算技術，得到了靜水面水平速度和垂向速度之間的關系；以自由面速度和自由面為特征變量，表示自由面運動學和動力學邊界條件；通過速度勢級數展式建立自由面速度變量和靜水面速度變量之間的關系，從而給出了另一類形式的Boussinesq方程(稱之為Agnon型Boussinesq方程)。此后，Madsen等[16]通過算子運算技術引入任意層偽速度，進一步優化提高了該類Boussinesq方程的色散性和水質點速度的垂向分布；Wang等[17]通過任意層速度、Zhang等[18]通過任意層偽速度，分別給出了顯含定常背景水流影響的Agnon型Boussinesq方程。

盡管Agnon型Boussinesq方程具有良好的色散性能、變淺性能和非線性性能，但是繁雜的表達形式及其包含的高階導數項為方程的數值求解帶來了困難。Fuhrman和Bingham[19]構建了空間七點差分、時間四階Runge-Kutta向前步進的計算格式，對以任意層偽速度為特征速度的方程[16]進行了數值求解；張洪生等[20]通過空間七點差分、時間五階Runge-Kutta-England向前步進的格式，數值求解了以任意層速度為特征速度的方程[17]，并在文獻[21]中通過若干算例對含背景流影響的、以任意層速度[17]和以任意層偽速度[18]為特征速度的方程進行了較為詳細的數值檢驗。以往通過規則波算例對Agnon型Boussinesq方程的數值檢驗[18,20-21]多以Stokes波或橢圓余弦波理論給定入射波邊界條件，然而任何給定入射波邊界與Boussinesq方程體系不符的情況均會導致計算過程產生高頻寄生波[22]而影響數值檢驗效果，為此，本文以穩恒波的Fourier近似解[23]提供入射波邊界，對以任意層速度為特征速度的Agnon型Boussinesq方程[17]開展了進一步的數值檢驗工作：首先，采用張洪生等[20]提出的同位網格有限差分格式，建立了以任意層速度為特征速度的Boussinesq方程數值計算模型；然后，通過均勻水深情況下深水和淺水域不同非線性水波傳播變形的計算，檢驗了模型的色散性能和非線性性能；通過緩變和陡變斜坡地形上不同非線性水波的淺水變形計算，檢驗了模型的淺化性能及其關于陡坡地形的適用性；最后，給出了結論。

2 Boussinesq方程數值模擬模型

2.1 控制方程與計算格式

基于Agnon等[15]的思路，Wang等[17]以任意層水平和垂向速度為特征速度，推導了緩變地形上含背景水流影響的具有強非線性和頻散性能的Boussinesq方程，無流情況下的空間一維方程體系可表達為：

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

式(1)～(6)構成的偏微分方程組可采用同位網格有限差分法[20]進行數值求解。因為方程組包含了五階空間導數項，為確保低階導數項離散的誤差階數高于高階導數項，所以對方程組中的空間導數項統一采用七點有限差分格式進行離散；同時，為保證時間導數項的計算誤差不混淆方程組中的五階空間導數，時間層上采用具有五階精度的變步長Runge-Kutta-England格式向前步進。此外，需要說明的是，以空間七點有限差分格式離散偏微分方程組(3)～(6)將形成一個稀疏系數矩陣方程組，為降低矩陣方程的求解難度，采用變量重新排序的方法[20]，將稀疏系數矩陣方程組變換為帶寬為27的帶狀矩陣方程組，并以列選主元的高斯消去法進行矩陣方程求解。

2.2 邊界條件和數值濾波

2.2.1 入射波邊界條件

內部造波源函數法[24—25]是Boussinesq方程數值模型入射邊界條件常用的處理方法，該法在計算域內部指定位置處產生目標波，造波的準確性取決于造波源函數的合理解析。入射邊界條件亦可給定，如采用Stokes波理論或橢圓余弦波理論給定[18,20—21]。較造波源函數法，依據波浪理論解析解給定入射波邊界不僅可降低邊界誤差，而且可以考察Boussinesq方程與已有波浪理論的符合性，這是因為任何根據解析解給定的邊界與Boussinesq方程體系不符的情況均會導致數值計算過程中產生高頻寄生波[22]。考慮到式(1)～(6)構成的Boussinesq方程適用于深水至淺水的強非線性情況，所以本文采用穩恒波Fourier近似理論[23]給定入射波邊界條件，這是因為較Stokes波和橢圓余弦波理論，Fourier近似理論關于深水至淺水波強非線性水波的解析具有更高的精度。此外，為了避免給定邊界處的初始不穩定對數值計算的影響，我們對根據Fourier近似理論給定的入射波邊界值G乘以一隨時間變化的緩沖函數：

GR=Gtanh(t/NT)，

(7)

式中，N是常數，計算時取為5。

2.2.2 出流邊界條件

出流邊界條件的處理采用海綿層消波結合Sommerfeld輻射邊界條件的方式進行。

(8)

式中，d為海綿層網格節點至邊界的距離；ds為海綿層寬度，當取為1～2倍波長的長度時即可獲得較好的消波效果；α是海綿層緩沖參數，計算時取為3.5。

在一維情況下，Sommerfeld輻射邊界條件表達為：

(9)

2.2.3 數值濾波

在以同位網格有限差分格式求解偏微分方程組時，因中心差分格式的奇偶失聯，數值計算過程中會產生高頻的格點振蕩，數值實驗顯示：這些高頻數值波動的振幅有隨水深和非線性的增強而逐漸增強的趨勢。為消除這種數值高頻波對數值計算的影響，本文采用Bogey和Christophe[27]給出的具有低頻散性和低耗散性的九點選擇性濾波器進行濾除，如下：

(10)

3 數值模型檢驗

3.1 均勻水深水域波浪傳播的數值計算與檢驗

設置長度為20個波長、絕對水深h=1.4 m的均勻水深水槽。水槽左端為入射波邊界，右端為開邊界，并在開邊界前設置長度為100dx(dx為空間步長)的海綿層進行消波。通過多種計算組合，對深水至淺水域的不同非線性水波的傳播變形進行數值計算，具體的計算組合見表1，表中：H和T分別為波高和波周期，L是根據穩恒波Fourier近似理論計算得到的波長；算例包括深水波(h/L=1.0)和淺水波(h/L=0.05)兩種情況，對于深水波，非線性參數波陡(H/L)最大為0.08；對于淺水波，非線性參數波高水深比(H/h)最大為0.6。各種情況下的計算參數(包括空間步長dx和時間步長dt)如表1所列；為確保得到穩定的計算結果，每種情況的計算總時間均取為50T。

圖1a～d和圖2a～d分別給出了深水域(h/L=1.0)和淺水域(h/L=0.05)中不同非線性水波在不同時刻(t=49.25T、49.50T、49.75T和50T)時無量綱波面(2η/H)的計算結果，圖中亦給出了穩恒波Fourier近似解[23]的結果，為較為清晰地比較，圖件僅對14L～16L這一區域進行了展示。結果顯示：數值計算的波形規則，波動穩定，隨著非線性的增強，波面不再關于靜水面對稱，波峰變得尖陡，波谷變得平坦。比較數值計算結果和Fourier近似解可知：對于深水和淺水域中的線性和弱非線性波(圖1a，b和圖2a，b)二者吻合良好，尤其是對于線性波的情況(圖1a和圖2a)，即使是對水深波長比為1.0的深水波，二者也幾乎完全一致，說明模型具有優良的色散性能。隨著非線性的增強，數值解與Fourier近似解的差異逐漸明顯：一方面表現為數值解的振幅較Fourier近似解逐漸減小，這應該與數值計算的空間網格分辨率難以解析強非線性水波中的高頻約束波有關；另一方面表現為數值解的位相較Fourier近似解逐漸超前，說明對于強非線性的情況數值模型存在夸大波速的現象。圖3a，b分別給出了深水和淺水域中波速(c)和x=15L處波峰高度(ηc)的計算誤差(Error)隨入射波陡(H/L)和入射波波高水深比(H/d)的變化(誤差定義為Error=(f1-f2)/f2×100：f={c,ηc}；下標1、2分別代表模型計算值和Fourier近似解；波速和波峰高度的計算值系通過上跨零點法據x≤15L范圍內的數值波面統計得到)，誤差分析顯示：對于深水和淺水域中的強非線性水波，數值模型的波速誤差分別為0.21%和0.78%，在傳播15L后，波峰高度的誤差也僅為-3.2%和-3.7%。

表1 均勻水深水域波浪傳播變形實驗算例

圖2 淺水域(h/L=0.05)、不同非線性(H/h=0.01～0.6)水波、不同時刻(t=49.25T(虛線)、49.50T(點劃線)、49.75T(雙點劃線)和50T(長虛線))的無量綱自由面(2η/H)計算結果(虛線)及與Fourier近似解(t=50T，實線)的比較Fig.2 Computed non-dimensional free surface displacement (2η/H) at t=49.25T (dash), 49.50T (dash-dot), 49.75T(dash-dot-dot) and 50T (long-dash) from the simulations of wave propagation in constant shallow depth (d/L=0.05). Solutions of Fourier approxima-tion method at t=50T are drawn as the solid lines in a-d

圖3 深水域(a)和淺水域(b)中波速(◇)和波峰高度(○)的計算值較Fourier近似解的誤差Fig.3 Relative errors between the computed results and the Fourier approximated solutions in constant deep depth (a) and shallow depth (b)

3.2 緩坡地形上波浪傳播的數值計算：與解析解和解析數值解的比較

為了檢驗模型的淺水變形性能，對不同非線性水波自深水至淺水域的淺水變形過程進行了數值計算。圖4給出了數值實驗的計算范圍及地形示意：數值水槽長為120 m，在x=0 m處設置坡度為1∶100的緩變斜坡，斜坡上部接平臺；緩坡前平底段長度設置為14 m，水深(h0)為1.0 m；為保證數值計算過程不致因水深變淺誘導的波浪破碎而發散，平臺水深(he)因入射波高的不同而有所變化(表2)。水槽右端設置為輻射邊界，并在輻射邊界前布置長度為100dx的海綿層進行消波；左端為給定的入射波邊界: 波周期T0為1.13 s，對應的水深波長比h0/L0=0.5(L0=gT2/2π是根據線性波理論計算的深水波長)；波高(H0)在0.000 02～0.08 m(表2算例a～d)，對應的入射波陡H0/L0=0.000 01～0.04；其中算例a用于評價模型關于線性波淺水變形的計算效果，算例b～d用于考察模型關于有限振幅波淺水變形的計算效果。數值計算的空間步長dx和時間步長dt的取值分別如表2所列，各種情況下的計算總時間均為150T0，以最后5T0時間內的波面計算結果通過上跨零點法計算波高。

圖4 緩坡地形上波浪傳播變形數值實驗地形示意Fig.4 Bottom profile for wave propagation on mild slope topography

表2 緩坡地形上波浪傳播變形的實驗算例

Tab.2 Cases for the computation of wave propagation on mild-slope topography

算例H0/mT0/she/mH0/L0dx/mT0/dta0.000021.130.040.000010.040150b0.021.130.040.010.024150c0.041.130.070.020.030150d0.081.130.120.040.030150

圖5 不同入射波陡情況下無量綱波面(2η/H0)的淺水變形過程Fig.5 Profiles of the non-dimensional free surface displacement (2η/H0) during the shoaling process under different incident wave steepness

圖6 不同入射波陡情況下無量綱波高(H/H0)的數值計算結果及其與解析解和解析數值解的比較Fig.6 Variations of the computational non-dimensional wave height (H/H0) and comparisons with those of linear theory and Fourier approximations during the shoaling process under different incident wave steepness

圖7 Ting和Kirby[29](a)、以及Tsai等[30](b)的物理模型實驗斷面示意Fig.7 Experimental bottom profiles conducted by Ting and Kirby[29](a) and Tsai et al.[30](b)

圖5a～d分別給出了t=150T0時刻時不同入射波陡(H0/L0=0.000 01～0.04)情況下無量綱波面(2η/H0)的沿程變化，由此可見：規則波在緩坡地形上傳播時的波形規則，波態穩定；對于微幅入射波(圖5a)的情況，數值波面關于靜水位對稱，且隨著水深變淺，行進波的振幅呈先減小后增大的變化；對于有限振幅波的情況(圖5b，c)，隨著水深的減小，行進波的非線性作用漸強，表現為數值波面逐漸抬高，峰谷關于靜水位不再對稱，尤以斜坡末端平臺起始位置處波面的波峰最為尖陡，波谷最為平坦，這是非線性作用生成高頻諧波的表現。在平臺初始位置處，算例b～d的局地波高水深分別為0.78、0.71和0.76，已接近或略小于孤立波一階近似理論確定的淺水極限波高水深比0.78；自此之后，平臺上的行進波有隨傳播距離的增大而漸小的趨勢(圖5b～d)。

圖6a～d對不同入射波陡情況下無量綱波高(H/H0)的計算結果分別與解析解和解析數值解進行了比較，其中，微幅入射波(H0/L0=0.000 01)的計算結果與基于線性波理論的淺水變形解析解比較(圖6a)；有限振幅入射波(H0/L0=0.01～0.04)的計算結果與基于穩恒波傅里葉近似理論的解析數值解[28]比較(圖6b～d)。由此可知：在微幅入射波情況下(圖6a)，數值結果與線性理論解析解吻合甚好，雖然計算格式的數值耗散使計算值有隨傳播距離的增加(水深的減小)而逐漸小于解析解的趨勢，但二者的最大誤差(坡頂處)僅為-0.97%；在有限振幅入射波情況下(圖6b～d)，數值結果與解析數值解的差異亦隨水深的減小逐漸增大，尤以近坡頂處的差異為最大，并且這一差異有隨入射波陡的增加而逐漸增大的趨勢，如：在d/L0=0.1時，算例b、c和d淺水變形系數計算值較解析數值解的誤差分別為-0.83%、-1.17%和-2.26%；在d/L0分別為0.025、0.04和0.07時，算例b、c和d的計算值較解析數值解的誤差分別為-2.45%、-5.77%和-8.62%。

有限振幅入射波情況下淺水變形系數計算值較解析數值解偏小的原因可能在于如下3個方面：一是數值濾波，它可能會濾除非線性作用產生的高頻諧波而造成計算值偏小；其二源于微分方程差分近似產生的數值耗散，這一耗散與空間網格分辨率有關，一般情況下高的空間分辨率會產生小的數值耗散；其三可能是Boussinesq方程非線性淺化性能的限制所致，因為畢竟方程式(3)中用于控制淺水變形性能的系數b1和b3是通過線性化的Boussinesq方程與線性波淺水變形解析解的比較確定的[17]，本節微幅波淺水變形計算結果與解析解相符合(圖6a)也輔證了線性理論情況下b1和b3系數的合理性。在數值濾波方面，本文采用了具有低頻散性和低耗散性的九點選擇性濾波器，根據Bogey和Bailly[27]的研究，此濾波器可有效濾除波長小于4.7dx的波動，這意味著對于非線性波的計算，如果在基頻波長范圍內設置47個空間網格步長，那么這樣的空間分辨率可解析至10倍頻約束諧波。因為數值耗散和數值濾波均與空間分辨率有關，所以為深入了解有限振幅情況下淺水變形計算值偏小的原因，我們對算例b～d分別在粗空間網格步長dx=0.04 m下開展了進一步的數值計算工作，并將相關計算結果示于圖6b～d中。比較不同空間分辨率下的結果可知：(1)在水深波長比d/L0>0.08時(距入射波邊界為49L0)，不同空間分辨率下的結果基本重合，這說明數值耗散不是造成計算結果偏小的原因，因為如果是數值耗散所致，那么在長距離傳播后不同空間網格步長下的計算結果應略存差異；(2)隨著水深波長比的進一步減小(d/L0<0.08)，不同空間分辨率下的計算差異逐漸明顯，粗網格下的數值結果明顯小于細網格，這是空間分辨率的不足造成非線性作用產生的高頻約束諧波因數值濾波器的耗散作用所致，同樣也是平臺上行進波的振幅隨傳播距離逐漸減小的原因。因為在d/L0<0.08時不同入射波陡情況下的計算結果之于空間網格分辨率的敏感性甚小，所以有限振幅入射波淺水變形系數計算結果較解析數值解偏小的原因不是模型的數值耗散和數值濾波所引起，而應該是控制方程在非線性淺化性能方面的局限所致。

3.3 斜坡地形上波浪傳播的數值計算：與物理模型實驗的比較

以Ting和Kirby[29](記為TK)、以及Tsai等[30](記為Ts)進行的波浪水槽實驗對模型在緩變和陡變斜坡上的淺水變形過程進行檢驗，圖7給出了相應的實驗情況：其中，TK實驗斷面是坡度為1/35的緩坡地形，Ts實驗斷面為斜坡平臺地形，斜坡坡度包括1/10、1/5和1/3三種情況，平臺高度為0.8 m。表3給出了模型實驗的水深(h0)、入射波浪條件(H0、T0)、斜坡坡度(cotβ)、破碎位置(xb為相對于坡腳的水平距離)、破碎類型以及波浪數值模型計算的空間步長和時間步長，表中，Li是根據穩恒波Fourier近似理論計算得到的入射波波長，需要說明的是：Ts實驗并未對破碎位置和破碎類型進行報道，表中給出的破碎位置是最大波高測波桿所在的位置(實際破碎位置可能產生于此位置前后)，破碎類型依據Galvin[31]的研究經由Irribarren數的判定得到。此外，因為現階段的數值模型尚未包含任何破碎機制，所以為使計算過程不致因波浪破碎而發散，模型自破碎位置起至水槽末端設置100dx長度的海綿層。

圖8a和8b分別給出了數值計算得到的TK兩組實驗的波面(η)沿程變化(零點起自坡腳)，為方便比較，該圖亦將各測波桿記錄的峰谷實驗值示于其中。結果顯示：數值計算得到的波形規則，波態穩定；因斜坡上水深的減小，行進波的淺水變形效應顯著，峰谷關于靜水面表現出強烈的不對稱，尤以破碎位置處最為明顯；在經過破碎位置后，行進波的振幅因海綿層的作用而逐漸減弱。比較破碎前波峰和波谷的數值計算結果和實驗值可知，二者吻合良好，數值結果較好地反映了有限水深和淺水域中非線性水波淺水變形過程中的峰谷變化。

表3 斜坡地形上波浪傳播變形的物理模型實驗算例和數學模型計算參數

圖8 波面(η)沿程變化計算值(實線)與實驗值(實心圓點)的比較Fig.8 Variations of the computed free surface displacement (η) and comparisons with the experimental data

圖9 波高(H)沿程變化的計算值(實線)與實驗值(實心圓點)的比較Fig.9 Variations of the computed wave height (H) and comparisons with the experimental results

圖9a～e分別給出了數值計算得到的TK和Ts 5組實驗情況下波高的沿程變化，結果顯示：對于緩坡(1/35)TK1和TK2實驗，斜坡上的波高隨水深的減小而緩慢增大；對于陡坡(1/10、1/5和1/3)Ts1、Ts2和Ts3實驗，斜坡上的波高因水深的劇減而快速增強，斜坡前有一定程度的反射波生成，且反射波的振幅有隨坡度的增大而逐漸增強的趨勢。從最大波高的計算結果與實驗值的比較可以看出：對于崩破波實驗TK1，最大波高的發生位置和強度均與實驗值吻合良好，且結合圖8a可知，此時波峰和波谷值亦與實驗值相吻合；對于卷破波TK2以及Ts1～Ts3實驗，數值計算的最大波高值均略低于實驗值，陡坡Ts1～Ts3實驗中的最大波高位置與實驗值相吻合，緩坡TK2實驗中的最大波高位置較實驗結果略為超前，這可能與Boussinesq方程無法描述卷波破碎時的波面翻卷現象有關。

4 結論

采用同位網格有限差分法，建立了強非線性和色散性Boussinesq方程數值計算模型。以穩恒波Fourier近似解提供入射波邊界條件，對均勻水深深水和淺水域的行進波、以及緩變和陡變斜坡地形上不同非線性水波的淺水變形過程進行了數值計算，數值結果與解析解、解析數值解和波浪水槽實驗值的比較表明：(1)模型具有良好的色散性能和非線性性能，至少可對深水(水深波長比1.0)強非線性(波高波長比0.08)以及淺水(水深波長比0.05)強非線性(波高水深比0.6)的行進波進行有效計算；(2)模型具有較好的淺水變形性能，可描述深水至淺水域弱非線性入射波的淺水變形過程；(3)盡管控制方程受限于緩變水深這一假設，但模型可對乃至1/3陡變斜坡上的淺水變形波進行較為合理地預測。

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Numerical validation of a Boussinesq-type model for highly nonlinear and dispersive waves

Zhao Hongjun1, Jiao Yingxia1, Kong Jun1

(1.CollegeofHarbor,CoastalandOffshoreEngineering,HohaiUniversity,Nanjing210098,China)

In the present work a numerical highly nonlinear and dispersive Boussinesq-type model is developed based on a non-staggered finite difference technique. With the Fourier approximation method providing the incident wave boundary condition, the model is applied and verified against a set of three test cases for which analytical, numerical or experimental reference results are available: (1) propagation of linear and nonlinear periodic waves on deep and shallow depth, (2) shoaling of linear and nonlinear regular waves from deep to shallow water on a mild slope, and (3) transformation of regular waves on a mild slope and on steep slopes. Comparisons of the numerical results with the analytical, numerical and experimental ones confirm the capabilities of the model for the predictions of highly nonlinear and dispersive waves and for the computations of nonlinear wave shoaling on different slopes.

Boussinesq equation; nonlinearity; dispersion; shoaling

10.3969/j.issn.0253-4193.2017.05.002

2016-10-14；

2017-01-15。

江蘇省自然科學基金青年基金項目 (BK20130827)；交通部重點科技項目(2015328521280)；水利部公益性科研專項(201501010)。

趙紅軍(1980—)，男，天津市薊縣人，博士，副教授，主要從事水波動力學理論與應用研究。E-mail:loyhg@hhu.edu.cn

P731.22

A

0253-4193(2017)05-0010-12

趙紅軍, 焦影霞, 孔俊. 強非線性和色散性Boussinesq方程數值模型檢驗[J]. 海洋學報, 2017, 39(5): 10-21,

Zhao Hongjun, Jiao Yingxia, Kong Jun. Numerical validation of a Boussinesq-type model for highly nonlinear and dispersive waves [J]. Haiyang Xuebao, 2017, 39(5): 10-21, doi：10.3969/j.issn.0253-4193.2017.05.002