基于數學核心素養的解析幾何教學*
——談數學運算能力的提升

●張 嵐(慈溪中學 浙江慈溪 315300)

基于數學核心素養的解析幾何教學*
——談數學運算能力的提升

●張 嵐
(慈溪中學 浙江慈溪 315300)

數學運算是數學六大核心素養之一，數學運算素養的具體內容體現了對學生數學運算能力培養有序推進的步驟.而解析幾何借助坐標系，用代數方法研究幾何問題，問題一般涉及的變量多，運算量大，是考查數學運算能力的重要載體.文章以解析幾何教學為載體，從分析題意、設計算法、題后反思等維度談談課堂教學中數學運算能力的提升，以及反思課堂教學中應注意的幾個重要環節.

數學核心素養;運算能力;解析幾何教學;教學反思

隨著教育部《關于全面深化課程改革落實立德樹人根本任務的意見》的發布，“核心素養”成為熱門詞匯[1].數學核心素養不是指具體的知識與技能，而是強調獲取數學知識、解決實際問題的思維品格和綜合能力.數學核心素養不是與生俱來的，是在數學學習過程中逐步形成的，是可以通過數學學習、反思、積累、應用的過程逐漸養成的.

“如何在課堂教學中落實數學核心素養？在教學過程中，如何尋找培養學生核心素養的有效途徑？”這是值得每位教師思考的問題.筆者以解析幾何教學為載體，重點談談關于提升學生數學運算能力的一些想法.

1 試題再現

圖1

2 運算教學的課堂實踐

2.1 分析題意，明確運算方向

師：解決第2)小題的關鍵是什么？

生1：關鍵是條件|CM|=|DN|的轉化.

師：該如何轉化呢？

生1：線段長度用兩點間距離來表示:

師：的確，變量多會阻礙式子的化簡.那如何減少變量呢？

生2：因為這些點都在直線上，所以可以利用y=kx+m，將所有的縱坐標y用橫坐標x來表示，可得

即

生3：老師，這不就是弦長公式嗎？

師：生2的回答展示了弦長公式的推導過程.當2個點在同一條直線上時，可以用弦長公式來表示兩點間距離，這比直接用兩點間距離公式要簡潔很多.接下來該如何整理這個式子呢？

生4：因為直線和橢圓相交，所以我想應該和韋達定理聯系起來，嘗試去掉絕對值，可得

從而

xM+xN=xC+xD，

正好可以應用韋達定理來表示.

師：非常好.通過大家的討論，通過條件的轉化，得到一個簡潔對稱的數學表達式，這個式子有什么意義呢？

生5：說明線段MN和線段CD的中點重合.

生6：用坐標表示斜率，可得

再結合點C,D在直線y=kx+m(其中k>0)上，消去y化簡式子.

設計意圖 仔細審題、分析題目、弄懂題意是解題運算的基礎，有助于學生理解運算對象，從而探索正確的運算方向.在課堂上，教師應重視引導學生將題目條件逐一進行轉化，用恰當的數學式子進行表示，培養學生數學抽象和轉化化歸的能力.此題分析的探索過程，滲透了轉化化歸、數形結合等豐富的數學思想方法，也有效地提升了學生的邏輯思維能力.

2.2 設計算法，求得運算結果

在運算方向的指引下，學生在課堂上動手操作，設計運算求解的程序，力求得到正確的運算結果.

(4k2+1)x2+8mkx+4m2-4=0,

從而

Δ=64m2k2-4(4k2+1)(4m2-4)>0,

即

4k2-m2+1>0,

于是

將韋達定理代入得

那么此式該如何計算？

(大家不禁佩服生8的運算能力，變繁為簡，化腐朽為神奇!)

又直線y=kx+m(其中k>0)與線段F1F2、橢圓短軸分別交于點M,N(點M,N不重合)，從而

師：生9將題意分析得很透徹，考慮非常全面，大家做題時也要仔細尋找線索.現在萬事俱備，只欠結果了，請大家算一算吧.

(教師巡視，指出學生運算中的錯誤.)

設計意圖 在明確運算方向后，關鍵就在于掌握正確的運算法則，求得正確的運算結果.運算能力的培養，需要教師舍得花時間在課堂上板演，或者舍得花時間讓學生進行運算求解、展示解題過程，然后師生共同分析錯誤原因，最后求得正確結果.若課堂上只講解題思路分析，不講計算過程，則學生碰到類似的計算很可能就無從下手，直接放棄.只有在課堂上重視運算求解的過程，才能使學生重視運算求解，并在運算的過程中掌握運算法則，領會運算技巧，避免運算錯誤，提高運算的正確性，真正提升數學運算的能力.

2.3 題后反思，提升運算能力

下面只要應用韋達定理就可以表示這個式子了，化簡得

此時，又有生12提出：利用我們所習得的結論:在橢圓中，

得

然后利用韋達定理，代入運算即可.

師：生12能將所學知識靈活應用，融會貫通，值得我們學習.通過今天的解析幾何運算學習，你有什么體會？大家可以相互交流，并應用到以后的學習中去.

設計意圖 題后總結反思是提升解題能力、提高學生素養的必經之路.反思解題方法，反思運算過程，反思知識的前后聯系，能使學生更全面地認識問題的本質.解題方法的多樣性有助于拓展學生的思維，有助于分析各種解題方法的優劣獲得問題的最優解，有助于解題經驗的積累和交流，有助于提高運算能力、提升問題解決的能力.

3 數學運算教學的思考

數學運算是指在明晰運算對象的基礎上，依據運算法則解決數學問題的過程.主要包括：理解運算對象、掌握運算法則、探究運算方向、選擇運算方法、設計運算程序、求得運算結果等.數學運算素養的表現形式，體現了對運算要求的層層遞進，也體現了教學中有序推進運算能力培養的步驟.而解析幾何借助坐標系，用代數方法研究幾何問題，問題一般涉及的變量多，運算量大，是考查數學運算能力的重要載體[2].解析幾何教學中滲透數學運算能力的培養，可以從以下幾個方面入手:

3.1 理解概念，夯實運算根基

高中階段整個數學體系是由概念組建起來的，概念教學的重要性不言而喻，準確理解概念是運算成功的重要根基.而學生產生錯誤的原因之一就是概念理解出錯，或者概念理解不全.例如第1)小題求橢圓的標準方程，就是對概念的考查，有些學生會誤把長軸長當成a的值來計算，出現錯誤.

因此,教師在課堂上要把概念講清講透，挖掘概念的內涵外延，建立概念之間的聯系，強化學生對概念的理解和掌握，并以題組的形式加以辨析.從形到數，從數到形，相互結合，這樣才能完善概念的認知結構，真正意義上做到理解運算對象，在解題中多一份勝算.比如“問題串”的設計就是一種行之有效的教學策略，引領著學生的思維朝著正確的方向發展，進而促成數學素養的養成.

3.2 掌握模型，獲得運算經驗

培養學生解決解析幾何問題的能力，首先要加強基礎題型訓練，使學生清晰地理解、記憶基本公式與定理，掌握基本技能和方法，通俗地講就是弄清楚套路，力求達到規范、熟練、快捷的程度，直至獲取基本的數學運算經驗.

3.3 轉化化歸，明確運算方向

培養學生的轉化化歸能力，需要重視解題思路的分析，需要充分挖掘所求問題的代數特征和圖形特征，尋求與已有知識的契合點，并以此為切入點進行解題.將問題轉化為與原問題等價且易于解決的問題，與已有的解題經驗相結合，將陌生變為熟悉，使原本看起來比較棘手的問題柳暗花明.

3.4 優化策略，提升運算

3.5 強化計算，突破運算難關

學生在明確運算方向、設計運算程序之后，與求得正確的運算結果還有一段距離.雖說只有一步之遙，卻也會發生“錯一步，滿盤皆輸”的局面.那么作為教師，應該引導學生重視運算的思維過程，鼓勵學生敢算、多算.一方面教師在課堂中應重視運算過程的演示、算法分析，不可以一句“課后自己去算”草草了事.另一方面，教師在課堂中要舍得留出時間，放手讓學生運算，要給學生產生錯誤、展現錯誤的機會，從而一起分析產生錯誤的原因，修正錯誤的運算環節.通過一次次的出錯、糾錯、反思、總結，慢慢悟出正確的運算方法和運算結論，提升運算能力，形成一絲不茍、嚴謹求實的科學精神.

總之，數學運算能力的提升是一個循序漸進、螺旋上升的過程.教師要做好教學的頂層設計，站在系統的高度規劃好達成教學目標的每一步驟，引領學生逐步提升數學素養.

[1] 章建躍.高中數學教材落實核心素養的幾點思考[J].課程教材教法，2016(7):44-49.

[2] 趙國勝.將運算進行到底——以解析幾何教學為契機,培養學生的運算能力[J].數學教學通訊,2013(36):26-29.

2017-02-27；

2017-03-29

張 嵐(1981-)，女，浙江慈溪人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)05-27-04