任意存在總相伴 化歸轉(zhuǎn)化兩相宜*

●馬喜君(元濟高級中學 浙江海鹽 314300)●趙琴學(海鹽高級中學 浙江海鹽 314300)

任意存在總相伴 化歸轉(zhuǎn)化兩相宜*

●馬喜君
(元濟高級中學 浙江海鹽 314300)
●趙琴學
(海鹽高級中學 浙江海鹽 314300)

“任意性”與“存在性”問題是一類綜合性較強的數(shù)學問題，是檢驗教學效果、評價學習成果、培養(yǎng)核心素養(yǎng)的一個非常有效的載體.學生對于“任意性”與“存在性”問題的困惑：缺乏分析此類問題的數(shù)學思路，混淆了問題中的主元與次元的邏輯關(guān)系；缺乏此類問題自我的體悟與感受，過度依賴教師與同伴的間接經(jīng)驗.文章基于學生的學情、典型案例以及上述2類問題的數(shù)學本質(zhì)，借助于“化歸轉(zhuǎn)化”將核心素養(yǎng)、數(shù)學思想、知識方法有機整合，梳理了一些此類問題的解題思路與策略，引起學生的思考，激發(fā)學生的探究，激活學生自主學習的內(nèi)在動力.

任意性；存在性；化歸轉(zhuǎn)化

在高考試卷中經(jīng)常出現(xiàn)2個讓學生“頭痛”的詞——“任意”與“存在”：一方面,此類問題涉及面廣，就好比是2個大大的“舞臺”,誰都可以上去亮相：函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、解析幾何等等，但近幾年以函數(shù)題為主，融合了一定的不等關(guān)系；另一方面,“任意”問題涉及恒成立問題，包括一元、二元問題，伴隨其中的還有“存在”問題，其本質(zhì)是函數(shù)的值域問題.因此在解決“任意”與“存在”問題時常用導數(shù)方法，該題型的特點往往是整合了“函數(shù)方程、分類討論、數(shù)形結(jié)合等思想”，將問題化歸轉(zhuǎn)化為學生所熟悉的結(jié)構(gòu)，因此此類問題已成為考查學生數(shù)學知識、方法、思想的重要評價平臺，成為檢測高中階段學生核心素養(yǎng)的關(guān)鍵載體．研讀《考試大綱》與近幾年的數(shù)學高考真題試卷，浙江省數(shù)學高考更關(guān)注學科的內(nèi)在聯(lián)系和知識的綜合性，更關(guān)注數(shù)學思想、方法與知識的整合，更關(guān)注數(shù)學的創(chuàng)新意識和核心素養(yǎng).

化歸的基本原理：設(shè)定義在D上的函數(shù)f(x)，

1)對于任意的x∈D，不等式m>f(x)恒成立?m>f(x)max(其中x∈D)；

2)對于任意的x∈D，不等式m

3)存在x∈D，不等式m>f(x)成立?m>f(x)min(其中x∈D)；

4)存在x∈D，不等式m

很多情況下一個題目總會出現(xiàn)2個函數(shù)，而且是任意性與存在性并存，讓學生無從下手，找不到問題的切入點.筆者通過近幾年高考與模擬試卷，梳理了一些解題的策略.

1 任意性與存在性的區(qū)別

題設(shè)是命題教師創(chuàng)設(shè)的情境，會給出足夠多的信息，我們要學會將信息歸類.函數(shù)僅僅是一個載體，無論是1個函數(shù)還是2個，它們之間是可以轉(zhuǎn)化的，關(guān)鍵要理清是單一的任意性問題，還是單一的存在性問題，還是2者皆有.

1.1 單一的任意性

數(shù)學的題設(shè)特點是簡明扼要，因此對于單一的任意性問題，題干表述應該是非常清晰的；然后才是關(guān)注函數(shù)，即如何利用已有的條件轉(zhuǎn)化到函數(shù)的最值問題.

1.1.1 構(gòu)造雙函數(shù)

1)求f(x)的最小值；

2)求證：f(x)>g(x)；

(2017年浙江省嘉興市第1次教學測試卷第22題)

證明不等關(guān)系常用的策略是作差，因此在解決第2)小題時，很多學生會將2個函數(shù)合成一個函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)，然后去求函數(shù)F(x)的最小值大于0，想法很簡潔，但是實際解答時困難重重.這就需要重新審視解題策略，轉(zhuǎn)變解題的角度，其實只要證明f(x)min>g(x)max即可.

1)f(x)min=f(1)=1.

2)證明 由題意得

令g′(x)=0，則x=e,從而g(x)在(0,e)上單調(diào)遞增，在(e,+∞)上單調(diào)遞減，于是

由第1)小題得f(x)min=1,

即

f(x)min>g(x)max，

故f(x)>g(x).

評注 解題策略中選擇1個函數(shù)還是2個函數(shù)，是隨題目的設(shè)計而定的.因此,在制定解題策略時，2個方案都要先嘗試，然后再決定采用何種策略解題.合久必分，分久必合，關(guān)鍵是解題思路是否清晰、過程是否簡明.

1)討論f(x)的單調(diào)性；

(2016年山東省數(shù)學高考理科試題第20題)

1)略；

f(x)-f′(x)=g(x)+h(x).

1.1.2 利用所求范圍縮小參數(shù)范圍，減少分類討論

很多問題必須對參數(shù)進行分類討論，并且分類的情況還比較復雜,但是通過必要條件先行代入特殊值后可縮小參數(shù)的范圍，減少對參數(shù)的討論，從而優(yōu)化解題過程.

例3 已知函數(shù)

(浙江省金華市十校2016～2017學年第1學期調(diào)研考試試題)

1)略.

②當x∈(1,2]時，

③當x∈(2,3]時，

恒成立.令x-2=t∈[0,1]，則

從而

h(t)max>g(t)max.

評注 對于一些比較復雜的函數(shù)問題，必要條件先行是一個非常有效的辦法，這樣不僅可以縮小參數(shù)的范圍，明確分析的方向，同時也可以減少后期的分類討論，起到事半功倍的效果.

1.2 單一的存在性

此類問題一般采用的策略是參變分離，轉(zhuǎn)化為參數(shù)與一個函數(shù)的等量關(guān)系，然后根據(jù)方程根的情況求函數(shù)的值域，還可能轉(zhuǎn)化為參數(shù)與函數(shù)的不等關(guān)系，如化歸的基本原理.

例4 設(shè)函數(shù)f(x)=-x2+ax+lnx(其中a∈R).

1)當a=1時,求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；

(浙江省名校新高考研究聯(lián)盟2017屆第3次聯(lián)考試題第20題)

1)略.

2)解 令f(x)=-x2+ax+lnx=0,得

由g′(x)>0，得

x>1,

g(x)min=g(1)=1.

評注 參變分離后將問題轉(zhuǎn)化為求所構(gòu)造的新函數(shù)的值域或最值，根據(jù)實際情況處理好等與不等關(guān)系，從而得到所求參數(shù)的取值.

2 任意性與存在性的聯(lián)系

任意性與存在性混合共存時，一般涉及雙變元，首要問題就是要理清變元關(guān)系：若2個變元是同步的，則一般轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)解決；若2個變元不是同步的，則先抓主變元，再抓次變元.

2.1 任意任意型

此類問題2個變元一般是不同步的.若2個變元在一個函數(shù)中，則轉(zhuǎn)化為該函數(shù)(或者構(gòu)造的新的函數(shù))的最值即可；若2個變元在2個函數(shù)中，則分別轉(zhuǎn)化為各自的最值處理，即f(x)min>g(x)max或者f(x)max>g(x)min.

例5 設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx.

1)證明：f(x)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增；

2)若對于任意的x1，x2∈[-1,1]，都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1，求m的取值范圍.

(2015年全國數(shù)學高考課標卷Ⅱ第21題)

1)略.

2)解 由第1)小題知，對任意的m，f(x)在[-1,0]上單調(diào)遞減，在[0,1]上單調(diào)遞增，故f(x)在x=0處取得最小值.因此，對于任意的x1，x2∈[-1,1],|f(x1)-f(x2)|≤e-1的充要條件是

設(shè)函數(shù)g(t)=et-t-e+1，則

g′(t)=et-1,

當t<0時，g′(t)<0；當t>0時，g′(t)>0,即g(t)在(-∞,0)上單調(diào)遞減，在(0,+∞)上單調(diào)遞增.因為g(1)=0，g(-1)=e-1-e+2<0，所以當t∈[-1,1]時，g′(t)≤0.

當m∈[-1,1]時，

g(m)≤0,g(-m)≤0，

即式(1)成立；當m>1時，由g(t)的單調(diào)性，知

g(m)>0，

即

em-m>e-1；

當m<-1時，g(-m)>0，即

e-m+m>e-1.

綜上所述，m的取值范圍是[-1,1].

2.2 任意存在型

設(shè)定義在D1上的函數(shù)f(x)，定義在D2上的函數(shù)g(x).若存在x1∈D1，使得對任意的x2∈D2，都有f(x1)≥g(x2)成立?f(x)max≥g(x)；若存在x1∈D1，使得對任意的x2∈D2，都有f(x1)≤g(x2)成立?f(x)min≥g(x).此類問題一般先轉(zhuǎn)化存在性變量，用它相應的最值來替代，然后考查任意性變量.

設(shè)定義在D1上的函數(shù)f(x)的值域為A，定義在D2上的函數(shù)g(x)的值域為B.若存在x1∈D1，使得對任意的x2∈D2，都有f(x1)=g(x2)成立?A?B.此類問題一般轉(zhuǎn)化為存在性變量函數(shù)的值域包括任意性變量函數(shù)的值域.

問題轉(zhuǎn)化后，參照上文中的方法借助分類討論、參變分離等方法就可以清晰扼要地解決問題.

1)若f(x)+b=0在[1,2]上有2個不等實根，求g(1)+b的取值范圍；

1)略.

g(t)=at2+t+a,

于是問題轉(zhuǎn)化為f(x)max≥g(t)在t∈[1,2]上恒成立.

當然，任意性與存在性問題的題型遠不止這些，預計今后在函數(shù)、數(shù)列、不等式、向量、解析幾何等方面會出現(xiàn)很多新穎的試題．任意性與存在性問題對考生思維能力的要求遠遠高于對知識的理解與一般意義上的運用，但萬變不離其宗，只要把握好問題的本質(zhì)，充分運用好分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和函數(shù)方程思想，將問題合理有效地化歸、轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)最值問題與函數(shù)模型進行分析，所求問題就能輕松獲解.

因此，任意性與存在性問題是一種用于檢測考生數(shù)學素質(zhì)和思維能力的好載體，符合當前高考命題的走向，深受命題者的青睞，需要引起足夠的重視．

2017-02-24；

2017-03-25

馬喜君(1979-)，男，浙江嘉興人，中學高級教師.研究方向：數(shù)學教育.

O122

A

1003-6407(2017)05-38-04