一個優美不等式的證明及推廣*

●袁一丹(桐廬中學 浙江桐廬 311500)●施剛良(德清縣第三中學 浙江德清 313201)

一個優美不等式的證明及推廣*

●袁一丹
(桐廬中學 浙江桐廬 311500)
●施剛良
(德清縣第三中學 浙江德清 313201)

文章利用代數和三角證法證明了安振平老師提出的第6個不等式，并找到了此題命制的三角背景，最后借助代數證法對第6個不等式作了相應的推廣，并給出它的下界.

凹凸性；柯西不等式；代數法；三角法

安振平老師在文獻[1]中提出了26個優美不等式供有興趣的讀者研討，此后得到了全國各地不等式愛好者的積極響應.筆者對第6個不等式產生了好感，陷入深思并反問自己：這是個代數不等式，應該可以用代數法證明吧？

在證明此不等式之前，先給出以下引理.

x2y2+y2z2+z2x2+2xy2x+2yz2x+2zx2y≥3(xy2x+yz2x+zx2y)=3xyz(x+y+z)=3xyz.

同理可得

于是

著名數學家波利亞說過：“當你找到第一個蘑菇或做出第一個發現后，再四處看看，它們總是成群生長的.”考慮到一些代數不等式往往可以用三角加以轉化，聯想到已知條件“x,y,z是正實數，且滿足x+y+z=1”，于是設

著名數學家波利亞又說過：“沒有任何一個題目是徹底完成了的，總還會有些事情可以做；在經過充分的研究和觀察以后，我們可以將任何解題方法加以改進；而且無論如何，我們總可以深化我們對答案的理解.”盡管三角證法非常簡潔和優美，但與代數證法相比，后者更有味道——蘊含著新的結果，根據上面的引理1，結合代數證法的過程，筆者發現還可以將第6個不等式加以推廣：

推廣1 設x,y,z是正實數，且滿足x+y+z=1，則

利用幾何平均不等式可知

綜合上面的討論，得到了如下更加優美的不等式：

推廣2 設x,y,z是正實數，且滿足x+y+z=1，則

[1] 安振平.二十六個優美的不等式[J].中學數學教學參考：上旬，2010(1/2)：136.

2017-02-20；

2017-03-21

袁一丹(1981-)，女，浙江桐廬人，中學一級教師.研究方向：數學教育.

O122.3

A

1003-6407(2017)05-31-02