對一道高考解析幾何試題的再挖掘*

●莊俊輝 胡華葉(金華市第六中學 浙江金華 32100)

對一道高考解析幾何試題的再挖掘*

●莊俊輝 胡華葉
(金華市第六中學 浙江金華 32100)

在數學高考中，解析幾何問題因運算量大、思路不明確，學生易畏難.文章通過研究高考試題，發現需要抓住典型，深入研究、引申、推廣，從而得到圓錐曲線的共同特點和相關結論，使高三數學的復習教學更有效，更有利于不同層次的學生有各自的收獲.

一般化推廣；充要條件；類比推廣；變式拓展

解析幾何大題是學生比較害怕的題目，主要是思路不明確、運算量大，造成成就感低，普遍有畏難情緒.最近，筆者在研究高考試題時發現解析幾何題的破解，還是需要抓住典型，深入研究一些引申和推廣,下面以2010年全國數學高考理科試題第21題為例進行說明.

題目 已知拋物線C:y2=4x的焦點為F,過點K(-1,0)的直線l與C相交于點A,B，點A關于x軸的對稱點為點D.證明：點F在直線BD上．

1 一般化推廣

將以上問題中的拋物線和點一般化，可得：

推廣1 已知拋物線y2=2px(其中p>0),在x軸上有一點P(t,0)(其中t>0),過點Q(-t,0)的直線l與拋物線相交于點A,B，點A關于x軸的對稱點為點D.證明：點P在直線BD上．

圖1

證明 如圖1，設A(x1,y1),B(x2,y2),由對稱性知D(x1,-y1).將直線l的方程x=my-t(其中m≠0)代入y2=2px,得

y2-2pmy+2pt=0,

y1+y2=2pm,y1y2=2pt,

從而直線BD的方程為

即

令y=0,得

從而點P(t,0)在直線BD上．

2 充要條件

交換部分條件和結論，便產生一道新題，即：

推廣2 已知拋物線y2=2px(其中p>0),過定點Q(-t,0)(其中t>0)的直線l與拋物線相交于點A,B，點A關于x軸的對稱點為點D.證明：若直線BD與x軸相交于點P，則P為定點(t,0)．

顯然，由推廣1的證明不難得出．

這種狀況當然不適合有外人在場。但一切來得太快，也來得太突然，柳紅想避已經避不開了，她像是被孫悟空定了身，傻傻地豎在蘇秋琴面前。蘇秋琴也如同從噩夢中驚醒，兩眼驚恐地盯著她弟媳婦柳紅。四目相對，猶如雷電相擊，震得倆人趕緊別頭，一個張東，一個望西。

綜合推廣1和推廣2，可得：

推廣3 已知拋物線y2=2px(其中p>0)，在x軸上有一點P,過點Q(-t,0)(其中t>0)的直線l與拋物線相交于點A,B，點A關于x軸的對稱點為點D.證明：點P在直線BD上的充要條件是P為定點(t,0)．

3 類比推廣

正如數學家波利亞感嘆：“類比是偉大的引路人.”[1]我們知道拋物線與橢圓、雙曲線具有部分統一性，橢圓、雙曲線上是否具有拋物線上述類似發現？

圖2

(a2+b2m2)t2y2+2mta2b2y+a2b2(a2-t2)=0,

(充分性)若P為定點(t,0)，則

(必要性)不妨設點P(x0,0),則

若點P在直線BD上，則kPB-kPD=0,即

對于橢圓有推廣4，對于雙曲線是否也有同樣的結論呢？答案是肯定的，證明方法與推廣4基本相同，只需將橢圓發現證明過程中的b2換成-b2，便可得如下結論：

4 變式拓展

一道好的試題通常是命題者研究成果的結晶，它們在一個新的背景下，變換了部分條件和結論，或者是給出某個問題的一個特例，便又生成了一道新題，不斷產生思維挑戰．筆者又作了如下探究：

推廣6 已知拋物線y2=2px(其中p>0),在x軸上有一點P(m,0)(其中m≠0),過點Q(n,0)(其中n≠0)的直線l與拋物線相交于點A,B，點A關于x軸的對稱點為點D.證明：點P在直線BD上的充要條件是m+n=0．

探究一道好題，如飲美酒回味無窮；掌握一種方法，如獲至寶愛不釋手；理解一種思想，如登泰山絕頂，一覽眾山小.在新高考文理同卷的背景下，數學的復習教學更應該在有限的題目和時間里挖掘，以匹配不同層次的學生，讓他們有各自的收獲.

[1] 虞懿,曹斌.2015年高考數學全國Ⅰ理科第20題的探究歷程[J].數理化解題研究，2016(4)：18-19.

2017-02-28；

2017-03-30

莊俊輝(1983-)，男，浙江金華人，中學二級教師.研究方向：數學教育.

O123.1

A

1003-6407(2017)05-25-02