尋找結構差異 深究解題策略*
——一道高考三角題的解法探究與思考

●宮前長(天水市第一中學 甘肅天水 741000)

尋找結構差異 深究解題策略*
——一道高考三角題的解法探究與思考

●宮前長
(天水市第一中學 甘肅天水 741000)

數學的學習離不開解題.研究高考試題，不僅要學會審題、解題，而且要弄清題目條件與結論之間各種思維通道的差異，并且通過結構差異，深究解題策略的優化方案，能夠從中提煉出數學思想方法，提升學生數學的思維能力.

思維認知；試題探究；結構;思維價值

1 試題呈現

例1 在銳角△ABC中，若sinA=2sinB·sinC,則tanA·tanB·tanC的最小值是______.

(2016年江蘇省數學高考試題第14題)

2 查清結構

從題目來看，以解三角形為背景命制試題，主要考查分析、解決三角形問題的能力，以及兩角和與差的三角函數公式、正弦定理和余弦定理等知識點的綜合運用能力.同時，強化對轉化與化歸、函數與方程、消元與不等式求最值等數學思想方法的考查.命題人從知識的整體高度與數學思維的價值取向上命題，試題結構簡單,形式簡潔、明了，但其內涵豐富，是一道值得多視角探究和深思的好題.

2.1 審清條件

試題限于銳角三角形，強調了3個內角的范圍，以及深挖隱藏的條件“3個內角的和：A+B+C=π”，結合題設給出的條件“sinA=2sinB·sinC”，其結構表征要求必須借助兩角和與差的三角函數公式、正弦定理和余弦定理等知識點來探究解題思路、方法.

由于條件sinA=2sinB·sinC中有3個角，就會自然想到消元，聯想到在三角形中，常用三角等式sin(B+C)=sinA,cos(B+C)=-cosA來減少變量.

根據兩角和的三角函數誘導公式展開，其具體變形為

sinA=sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC,

再結合條件sinA=2sinB·sinC可得

sinB·cosC+cosB·sinC=2sinB·sinC.

此時，按照變形所得的三角等式結構sinB·cosC+cosB·sinC=2sinB·sinC，突發奇想，將形成好多解題的思路與方法.

2.2 審查結論

審題是解題中最重要的一個環節，審題的視角、方法直接關系到解題的成功與否.數學問題中的結論，往往會給審題提供一些重要的信息.如“tanA·tanB·tanC的最小值”明確指出了代數式tanA·tanB·tanC的化簡(求解)方向：多變量的最小值問題.但從代數式的結構tanA·tanB·tanC上看是三角形的3個內角的正切值的積，依照平時做題習慣，會采用“切化弦”技術減少變量的個數，將問題轉化為含有2個變量或1個變量的問題，通過求最值問題，熟悉化簡求解的原則和方法.

在銳角三角形中，依兩角和的正切公式有

變形可得

tanA·tanB·tanC=tanA+tanB+tanC.

這樣處理，使得結構復雜的tanA·tanB·tanC等價轉化為tanA+tanB+tanC，與條件關系式相比，結構差異縮小了，不再產生解題心理壓力，好的解題思路方法不斷涌出.

2.3 審明聯系

通過題設條件、結論的剖析，如何更好地架設條件與結論之間的“橋”？讓“sinA=2sinB·sinC”到“tanA·tanB·tanC”的“天塹”變“通途”.已知條件等式sinA=2sinB·sinC只含有正弦，而所求問題式中只含有正切tanA·tanB·tanC.因此，審題時很自然地想到一種策略：“弦化切”或“切化弦”.此時，關鍵等式來源于“sinB·cosC+cosB·sinC=2sinB·sinC”的2邊同時除于“cosB·cosC”(在銳角△ABC中，cosB·cosC≠0)得到等式“tanB+tanC=2tanB·tanC”，很好地消除了條件與結論之間的差異.

結合平時的解題經驗，想到另一種策略：“等價轉化法”，即將三角問題轉化為代數問題進行求解.

總之，通過上述的審題，初步形成如下的解題思維鏈(如圖1所示)：

圖1

3 解法探究

3.1 弦化切

將條件等式“弦化切”，再與兩角和的正弦、正切公式以及銳角三角形的恒等式等知識點結合，然后進行有效化簡，“接通”條件與目標，求得tanA·tanB·tanC的最小值.

解法1 (均值不等式法)

sinA= sin(B+C)=sinB·cosC+cosB·sinC=

2sinB·sinC,

因為△ABC為銳角三角形，所以cosB>0,cosC>0,所以

tanB+tanC=2tanB·tanC.

又A=π-(B+C),從而

于是tanA·tanB·tanC=tanA+tanB+tanC=

整理得

tanA·tanB·tanC≥8，

當且僅當tanA=4時等號成立.故tanA·tanB·tanC的最小值是8.

解法2 (基本不等式法)由解法1中tanB+tanC=2tanB·tanC，可知

tanA·tanB·tanC≥8，

當且僅當tanA=tanB+tanC，即tanA=4時等號成立.故tanA·tanB·tanC的最小值是8.

解法3 (基本不等式法)由解法1，知

tanB+tanC=2tanB·tanC，

則

故tanA·tanB·tanC的最小值為8.

解法4 (整體法)由解法1知

又

tanB+tanC=2tanB·tanC，

把tanB·tanC看成一個整體，令tanB·tanC=t(其中t>1),則問題轉化為求

的最小值.

當且僅當t=2∈(1,+∞),即tanA=4時，tanA·tanB·tanC的最小值為8.

則

解法5 (判別式法)由解法1知

由三角形恒等式知

聯立式(1)和式(2)，解得

tanA+2tanB·tanC=tanA·tanB·tanC，

從而

因為△ABC為銳角三角形，所以

tanA·tanB·tanC>0,

不妨設tanA·tanB·tanC=y(其中y>0),則

變形為關于tanA的一元二次方程

tan2A-ytanA+2y=0.

由判別式Δ=y2-8y≥0，得y≥8.故tanA·tanB·tanC的最小值為8.

解法6 (構造函數法)由解法5知

目標tanA·tanB·tanC的最小值問題轉化為關于tanA的函數最小值問題.

當且僅當tanA=4時等號成立.故tanA·tanB·tanC的最小值為8.

解法7 (對偶構造法)已知sinA=2sinB·sinC，得

(3)

由銳角△ABC，得

cosA>0, cosB>0, cosC>0.

設 cosB·cosC=tcosA,

(4)

式(3)÷式(4)，得

式(4)-式(3)，得

化簡得

即

tanA=2(1+t)，

當且僅當t=1時，tanA·tanB·tanC的最小值為8.

3.2 切化弦

將結論tanA·tanB·tanC切化弦，再與兩角和的正弦、正切公式，銳角三角形的恒等式，以及函數最值等知識點結合，求得tanA·tanB·tanC的最小值.

解法8 (消元法)

因為sinA=2sinB·sinC,由銳角△ABC，得

方法1 (判別式法)令

化簡得 sin2A-ysinA·cosA+2ycos2A=0.

由銳角△ABC，得cosA>0,上式2邊同除cos2A得

tan2A-y·tanA+2y=0,

此方程可看成是關于tanA的一元二次方程，則由判別式Δ=y2-8y≥0(其中y>0)，得y≥8.故tanA·tanB·tanC的最小值為8.

方法2 (判別式法)令

化簡得 sin2A-ysinA·cosA+2ycos2A=0,

將此等式看成是關于sinA的一元二次方程，求得判別式

Δ=y2cos2A-8ycos2A=

(y2-8y)cos2A≥0(其中y>0).

因為△ABC為銳角三角形,所以y>0,cos2A>0,從而y≥8.當y=8時，上式變為

sin2A-8cosA·sinA+16cos2A=0，

即

(sinA-4cosA)2=0，

亦即tanA=4.故tanA·tanB·tanC的最小值是8，當且僅當tanA=4時等號成立.

方法3 (弦化切法)

下同解法5(略).

方法4 (均值不等式放縮法)由

得

故tanA·tanB·tanC的最小值為8.

方法5 (函數最值法)

不妨設sinA=t(其中0

3.3 轉化與化歸

根據題意，將三角形式的題目等價轉化為代數問題，解決起來更方便快捷.由“查清結構”中的解題思路可將問題轉化為如下的命題：

例2 已知實數x>0,y>0,z>0，滿足y+z=2yz，x+y+z=xyz，則xyz的最小值是多少？

分析 對于多元最值問題，常常采用消元法，利用基本不等式與函數思想進行解題.消元是解決多變量問題的基本大法.消元的方式有2種:直接消元(代入消元和整體消元)和引參消元.該問題可以直接代入消元.由于篇幅原因，以下只列舉2種方法，以供參考.

解法1 由條件得

x+2yz=xyz，

從而

于是

采用例1中的解法5或解法6，可求得xyz的最小值是8.

解法2 由條件y+z=2yz,得

由解法1知

從而

故

下同解法1.

4 教學啟示

4.1 重視數學思想，積累解題經驗

在平時的數學學習中，多提煉例、習題中所蘊藏的數學思想.如本題中，涉及許多審題的視角(不等式、函數、等差中項和對偶構造)、數學思想(換元、化歸與轉化、數形結合)和數學方法(整體法、換元法、消元法、判別式法)等重要內容，內化為自己知識體系中的解題經驗和微型模型，能夠更好地提升思維水平和開發數學潛能.

4.2 關注“三審”過程，通達數學自覺

因此，解題時要多關注三審(審條件、審結論和審聯系)環節，這樣就能融會貫通數學的各個知識點，形成知識的系統化，解題時左右逢源、游刃有余.

1 裂項法求和問題的生成方法

第1步：選擇函數f(x);第2步：構造數列{an}的通項an=k[f(n)-f(n-1)]，并將an化簡(不能化簡的沒有研究的必要)；第3步：選定一個k值，生成裂項法求和問題.

說明：k取不同的值，可生成不同的求和問題.

通過1)的示范講解，學生基本把握了裂項法求和問題的生成方法及裂項技巧.緊接著給學生10分鐘自編自練，再給學生15分鐘在小組內交換練習,教師巡視指導,最后剩下的時間以小組為單位通過投影儀展示各組的編題成果.現將各組展示的問題整理如下(限于篇幅，部分解答省略):

取k=1得到：

an=f[f(n)-f(n+1)]=

取k=-1得到：

6)選擇函數f(x)=x(x+1)，計算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[n(n+1)-(n+1)(n+2)]=

-2k(n+1)．

問題6 已知數列{an}的通項an=n+1，求數列{an}的前n項和Sn．

7)選擇函數f(x)=x(x+1)(x+2)，計算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[n(n+1)(n+2)-(n+1)(n+2)(n+3)]= -3k(n+1)(n+2)．

問題7 已知數列{an}的通項an=(n+1)(n+2)，求數列{an}的前n項和Sn．

9)選擇函數f(x)=qx-1(其中q≠0且q≠1)，計算

an=k[f(n)-f(n+1)]=k(qn-1-qn)=

k(1-q)qn-1．

問題9 已知數列{an}的通項an=a1qn-1，求數列{an}的前n項和Sn．

10)選擇函數f(x)=tanx,計算

an=k[f(n)-f(n+1)]=k[tann-tan(n+1)]=

取k=-1得到：

11)選擇函數f(x)=tan(2xα)，計算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[tan(2nα)-tan(2n+1α)]=

取k=-1得到：

12)選擇函數f(x)=cot(2xα)，計算

an=k[f(n)-f(n+1)]=

k[cot(2nα)-cot(2n+1α)]=

取k=-1得到：

2 生成方法在教學中的作用

1)蘇霍姆林斯基說過：“在人的靈魂深處，都有一種根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一個發現者、研究者、探索者.”[1]過去學生被動做題，缺乏學習的主動性，甚至會感到枯燥乏味.現在教會了學生用生成方法自編自練，交換練習，教師把學習的主動權還給了學生,讓他們自己去發現問題、研究問題,極大地激發了學生的學習熱情和學習興趣，學生樂此不疲，就像玩游戲一樣不斷寫出新的函數，不斷生成新的求和問題.一系列新穎別致的求和問題給學生帶來了快樂，帶來了成功的感受和體驗.

2)學生在編題過程中，使自己的思維品質得到了優化和提升，尤其是逆向思維能力得到了很好的鍛煉；使他們看到了題目生成背后的故事，有利于抓住問題的本質特征，破譯解題玄機，把握裂項法的規律和技巧，提升自己的解題能力.

3)學生通過編題，拓展了自己的思維空間.選擇不同的函數編題，使所學的知識得到了聯系和發展,使學生更能適應在知識的交匯點設置問題的考試要求.同時對數列中的函數思想也有了更為深刻的認識.

5)美國緬因州的國家訓練實驗室研究成果表明:課堂中，學生單純的“聽講”，2周后所學知識的保持率僅為5%；通過“看”教師的示范演示，2周后也只能保持30%；而通過“小組討論”獲得的知識，2周后的保持率可達到50%；如果能在“做中學或實際演練”獲得知識，2周后的保持率可達到70%；如果能夠自己獲得并“教別人”，保持率可達到90%[2].由此可見，合理放手，適度讓位,教給學生裂項法求和問題的生成方法，讓學生自編自練，互編互練，給學生自主探究、展示交流的空間,可大大提高所學知識的保持率，使課堂變得更加高效.

[1] 張艷.一道例題體驗三種角色[J].數學通報，2016(11):51-53.

[2] 繆林.平面與平面垂直的判定教學片段及教學反思[J].數學通報，2012(7):22-24.

2016-11-24；

2016-12-30

宮前長(1964-)，男，甘肅禮縣人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

O122

A

1003-6407(2017)05-12-05