別錯失培養創新意識的機遇*
——以等差數列前n項和公式教學為例

●洪昌強(臺州市第一中學 浙江臺州 318000)

別錯失培養創新意識的機遇*
——以等差數列前n項和公式教學為例

●洪昌強
(臺州市第一中學 浙江臺州 318000)

一個具有創新型的人，一定具有較強的創新意識.在平時教學中，由于缺乏相關經驗，導致創新意識的培養機遇錯失現象十分普遍，學生的創新意識沉淪不起，創新思維能力得不到發展.文章通過案例指出創新意識的培養機遇不可錯失.

創新意識;高斯算法;等差數列求和

1 問題提出

錢學森之問“為什么我們的學?？偸桥囵B不出杰出人才？”雖然這是一個既龐大又復雜的教育工程，但“教師能做什么，數學課堂又能做什么”，這是值得每位教師思考的問題，也是教育工作者的職責.筆者以“等差數列前n項和公式”教學為例，談談個人的一些教學實踐和感悟.

2 過去教學

按教科書編排順序，先介紹高斯的算法，再由此啟發學生如何求一般的等差數列前n項和，然后講解求和公式的應用.課堂中教師的教學比較順暢，學生的課本作業也能完成.課后反思：為什么要先介紹高斯的算法？怎么不問學生是怎么想？學生有什么獲得感？這樣的教學能培養出高斯這樣大師級的人才嗎？

3 教學改進

機遇1 體會簡捷算法——好奇

數列求和是一種加減運算，過程是一個化簡過程，也是合并過程，但不同的算法所帶來的效果不一樣.

問題1 如何計算以下數列的各項和？

1) 13，13，13，13，13，13，13；

2) 11，-7，2，-1，5，-4，8.

圖1

問題2 如何計算圖1中的鋼管數？對問題1中的2個問題你有何感想?

設計意圖 使用學生熟悉的學習內容來提供支持，即使是學習有困難不情愿學習的學生，也可以讓他們發現自己可以利用過去的知識來參與學習活動，激發學生的原有經驗，并在學習討論中感到愜意.若按教材直接拋出求“1+2+3+…+100”，學生對此相當熟悉，甚至能背出結果5 050.這樣會導致學生對本節課的學習缺少新鮮度.

問題1、問題2以“如何計算”和“有何感想”提出問題，具有問題性、思考性、啟發性，問題1第1)小題之所以求和方便是因為“式子美”，每項相同,也是等差數列求和的歸宿.問題1第2)小題中的式子結構沒有第1)小題這樣良好，不愛思考的學生按習慣思維處理，一個勁地按原式排列順序然后逐項相加，因此感到繁鎖.而愛思考的學生會問：有無簡捷的算法？雖然和式中各數排序有點“亂”，但又覺得不亂.通過調整各項次序，讓式子變“美”，結果發現“好”的計算方法，體會加減運算也有巧妙方法.問題2以貼近學生日常生活，但又不俗落套，通過情境啟發，發現每堆鋼管數雖不同，但經過補形可成為一個平行四邊形.簡單的問題也有值得思考的地方，激起學生學習的好奇心，最大限度地調動學習主動性和自覺性.同時，溯源高斯的算法，為下面探索等差數列求和公式提供支持.

機遇2 親身經歷發現規律——自信

若按教材先介紹高斯的算法，學生聽后只是佩服高斯小時候聰明，情感上對高斯進行贊嘆,但沒有發現自己的能力,沒有給自己增加學習自信.其實束縛了學生的思維，把學生的思維捆死在一條路上，嚴重阻礙了學生的思維發展,創新能力被扼殺.

問題3 如何求1+2+3+…+n?

問題3中雖然各項的數是自然數，比較簡潔，但項數處于動態中，其和隨n的變化而變化,變化規律怎樣？學生通過探究得到以下幾種處理方法:

接著，教師介紹高斯算法及他的數學研究成就.

設計意圖 高斯算法通過加法運算結合律與交換律，對各項重新組合化為統一.學會使用一種方法并不是學習的目的，學習應該超越掌握這個方法的本身東西——具有發現創建這些方法的本領.問題3雖然還是求和，但其和隨項數變化而變化，起到了從常量到變量的過渡，自然滲透了函數思想,并讓學生親身發現數列的和與n的變化關系規律及二次函數有緊密聯系.通過開放式教學，讓學生發表不同的想法，對于學生個人來說，各種方法都有一定的思維價值.學生完成了與高斯一樣的創造活動，感覺自己像科學家一樣，偉人能行我也行，增強自我勝任感，鼓足了探索和解決新問題的勇氣，把教師的知識和責任內化為自己學習的動力.問題3還為等差數列求和公式的推導起到拉動思維引擎的作用.

機遇3 大膽探索新的方法——好勝

學習等差數列求和公式,僅僅是為了得到公式的結果嗎?教育是讓人去思考、學知識，又讓思維技能得到發展.因此,等差數列求和公式教學不能匆促結束,教師要幫助學生對知識重建“再創造”的情境,讓學生親自去經歷、探索問題解決的方法.

問題4 你能求等差數列{an}前n項的和Sn嗎？希望大家有新的方法發現.對各種推導方法你有什么想法？

在問題3的啟發下，得到以下思路：

思路1 根據等差數列通項公式，將問題4化歸為問題3進行處理：

Sn=a1+a2+…+an=

na1+(1+2+3+…+n-1)d=

思路2 根據等差數列{an}的性質，可得

ak+an-k+1=a1+an(其中k∈N且1≤k≤n),

從而

2Sn=n(a1+an).

以上2種方法多數學生都能獨立完成.

圖2 圖3

思路3 受問題2的啟發，借助圖形處理,如圖2，將梯形補成矩形,得

2(a1+a2+…+an)=n(a1+an).

思路4 如圖3，在直角坐標系中，通過線段平移及迭加的方法，直接找點Pn(n,Sn)的位置，當公差d均為正數時，隨n不斷增大點Pn不斷升高,但上升速度并不是均速直線上升，而是越來越陡峭，貌似二次函數圖像的特征.又因為S1=a1,所以猜想Sn=(n-1)(An+B)+a1.

圖4

思路5 如圖4，從面積入手，將大梯形分割成n-1個小梯形,由于每個小梯形的高均為1，因此

從而

思路6 類似思路5，也可將大梯形分割成n-1個小矩形和n-1個全等小三角形進行處理.

以上6種方法均體現了數與形相互協調對稱之美.

設計意圖 問題4中求Sn涉及到n個不同的字母，需要學生尋找這些字母之間的聯系以及它們的變化規律.有了問題3的探究經歷,絕大多數學生會利用高斯算法或化歸為問題3進行處理.問題4中“希望大家有新的方法發現”,對一些會思考的學生,在追求創新目標驅動下，投入到新方法探索中.思路3和思路4通過函數思想和數形結合方法進行處理.思路5和思路6從面積角度著手，對數列各項的“和”理解為區間[1,n]函數值之和，其函數值的和與各“小塊”的面積之和密切相關(積分就是一種無限分割求和的極限計算).思路3～6角度獨特、新穎，跨越經驗型思維定勢，超越權威.這些方法來自學生經過自己的艱難探索而獲得，更堅信我能行.孤立方法形成不了能力，注重學科知識間的融合，加強各種方法的聯系，讓各種各樣的聯系滋生出不可思議的美妙問題，有利于提高學生的綜合應用能力.因此,在探索各種方法之后,接著讓學生總結各方法之間的內在聯系,隨著學生的深入探究，公式更加鮮活，課堂更富有生命.

機遇4 敢于提出新的問題——創新

教科書上安排的5個例題所涉及的內容都是特殊的等差數列，問題也比較簡單，直接應用公式就可解決，其意圖是鞏固公式，這僅是強調雙基的落實.若就此收官,思考力的培養將失去一次肥沃土壤.優質的教學能極大地促進學生持續發展，高成就的學生往往在接受具有挑戰的學習任務方能得到發展.

問題5 結合教科書中的4個例題，請你對{an}和{Sn}這2個數列談談哪些問題值得你關注?你發現了哪些結論？你解決了哪些問題？

1)由例1和例2可知確定等差數列只需要2個獨立條件.

2)由例3知{an}的通項an可以由Sn確定,并且它們的關系為an=Sn-Sn-1(其中n≥2).

3)等差數列前n項和的形式一定是Sn=pn2+qn.反過來,Sn=pn2+qn+r并不是等差數列的前n項求和的結果，除非r=0.

5)在例2的條件下，求S30特別方便，因為S10,S20-S10,S30-S20成等差數列.不僅如此，有更一般的結論：Sn，S2n-Sn,S3n-S2n和Sm,S2m+t-Sm+t,S3m+t-S2m+t仍然成等差數列.

6)若{an}的公差為正數,則{Sn}一定是遞增數列嗎?反之,若{Sn}是遞增數列,則{an}的公差一定為正嗎?

7)等差數列前n項和的最大(小)值是在|an|最小處或附近達到.

設計意圖 學生在自主學習教科書中的4個例題后，教師設計具有挑戰性的任務，給充足的思考時間，鼔勵學生拓展思路，自由暢想，激發創新熱情，對各個問題大膽假設，求索未知，認真求證，創造新事物,讓創新成為習慣.

4 感悟

創新意識的培養機遇不是靠等待的，機遇掌握在每位教師心中，需要教師去挖掘、去捕捉、去把握、去落實.因此，教師應長期致力于創造一個有激發力的課堂.

4.1 創新意識人人常有

弗蘭登塔爾先生曾說：“即使是兒童，也已經具有某種‘潛在的發現能力’，他們的思維和行為方式已經具備了某些教師甚至研究人員的特征.”主動學習是創新教育的核心,因此，教師首先要走進學生，懂得學生，理解學生，喚醒學生，激活生命內力的教育才算成功教育開始.其次,教師要尊重學生,由于各個學生生活經驗背景不同，對問題的理解和想法也存在一定差異，教師設置問題的起點要低,貼近學生實際,激發創新活力，把每位學生的創造力激發出來.第三,課堂上開放學生的思維，給學生留足思考的時空,鼔勵求異求活,讓各個學生有機會交流對問題的質疑、思維過程及探索過程的各種困難、感受，共同分享.

4.2 創新意識處處常在

教材在很大程度上決定著學生的學和教師的教，而每個概念、定理、公式、例題，每種解法都蘊涵著深厚的意義，有其發生、形成的過程.《課標》指出：“使學生的學習過程成為在教師引導下的‘再創造’過程”“讓學生體驗數學發現和創造的歷程，發展他們的創新意識.”因此，教師首先要讀懂教材，理解教材，挖掘教材，用好教材.教學時通過創設反映數學事實的恰當情境，引導和組織學生經歷和體驗知識再創造的過程.其次,開啟數學思想方法的導航燈,數學思想方法是數學的靈魂，也是培養創新意識的基礎和源泉，數學創新思維是以數學思想為支撐點.本節課的教學展現了數列求和公式的認識過程：算式→變化→對應，在公式探索過程中，運用化歸、函數、數形結合等重要數學思想方法發現問題、提出問題、解決問題，展示數學思維的美妙，體驗數學力量感，滿足了學生求新求異的欲望，孕育了不斷創新的意識.

4.3 創新意識時時常問

維系創新意識運行的生命是問題，問題是思維的起點.劉紹學先生語：“問題使我們的學習更主動、更生動、更富探索性.要善于提問，學會提問，‘凡事問個為什么’，用自己的問題和別人的問題帶動自己的學習.”讓問題始終伴隨著創新思維的發展,如何讓學生學會問？提出“好”的問題？學起源思，思起源疑.首先,要鼓勵學生敢于質疑.在想每一件事時要有疑：疑大與小，疑新與老，疑異與同，疑優與劣，疑靜與動，疑有與無.其次,要引導學生善于發問.在做每一件事時要會問：是什么？做什么？會什么？為什么？怎么做？還有什么?經常這樣疑和問，不僅把當前的問題弄明白了，而且把相關的問題加深了理解.長期下去，不僅可以提高思維能力，還可以提升思維品質,養成科學的思維態度，最后不知不覺發現自己聰明起來了，為繼續學習打下扎實的基礎，創新熱情也愈來愈高.

數學概念是數學基礎知識的核心,是學好數學知識和提高數學能力的關鍵.“數學是玩概念的，不是玩技巧的，技巧不足道也”“概念是數學的細胞”，數學的建構完全依賴于一個一個明確的概念，沒有數學概念就沒有系統的數學思維,因此對數學概念的充分理解往往能從本質上抓住解決數學問題的關鍵所在.因此在概念教學時，教師要不惜時、不惜力，充分考慮學生的學習心理和認知規律,做到自然平和,并且能深刻揭示概念的本質,挖掘概念的內涵和外延，讓學生對數學教材能看懂、吃透，讓學生真正理解教材、掌握教材.

(2015年浙江省數學高考文科試題第15題)

進一步挖掘橢圓概念的內涵與外延，發現還有一種方法可以獲得橢圓概念：平面內與2個定點連線的斜率乘積為一個負常數的點的軌跡為橢圓.將圖形上升為一種理念，充分挖掘圖形的性質，建立圖形化思想，從本質入手，對問題的研究引向更高的層次.

圖1

分析 有的學生直接將斜率“翻譯”成

因此

這樣的轉化得益于對橢圓概念的深刻理解.章建躍博士曾經說過：“要讓學生養成‘回到概念去’思考和解決問題的習慣.”概念理解越深刻，解題越簡潔越流暢，抓住了概念也就抓住了解決問題的關鍵.

教師把握教材編寫意圖，整體把握教材，對教材按照教師教和學生學的視角進行重構，將教材適度拓展和改造，幫助學生把蘊藏在教材中那些隱含的知識點挖掘出來，深刻理解概念,就能使學生真正看懂、吃透數學教材，讓學生真正理解教材、掌握教材.只有從概念出發解決問題,回本溯源,培養學生“回到概念去”的思維習慣,才能真正理解數學本質.

1.2 善于數形互助，讓思維回歸“自然”

世界數學大師波利亞強調：“我們必須不斷變換你的問題，重新敘述它，變換它，直到最后成功找到某些有用的東西為止.”[1]在求解運動型問題時，要努力抓住一些運動過程中保持不變的量或變量之間的相互依賴與聯系，去發現量和量之間的關系，探求規律，使問題向有利于解決的方向轉化.

例3 已知平面向量a,b,c,滿足|a|=|b|=2,|c|=1,(a-c)·(b-c)=0,求|a-b|的取值范圍.

圖2

|r-1|≤|OM|≤r+1.

解得

故

本題得益于徹底理解概念、曲線的幾何意義和曲線的代數特征.點C雖在動，但解題過程抓住不變性，對題目的條件和所求既分析其代數意義，又分析其幾何意義，挖掘圖形的幾何性質，把數量關系的問題轉化為圖形的性質問題去研究，找準突破點，可以少做很多無用功.

(2016年浙江省數學高考理科試題第15題)

圖3

分析 問題表征是解決問題的前提，本題若能抓住問題的圖形性質,運用數形結合思想進行分析，理清問題的數形關系，關注圖形背后隱含的性質或結論，則可觸及問題的本質.本題實際上是考查向量投影的問題(如圖3),解法如下：

而向量|a·e|=|OA1|,|b·e|=|A1B1|分別表示向量a,b在e上的投影，從而

即

a2+b2+2a·b=5+2a·b≤6,

故

對某一問題迅速、靈活、正確、完整地處理并加以創造性地運用，不僅能提升學生分析問題的能力，也能真正內化成為自己的思想智慧，從而提升學生的“自我生長”能力.

2 合理建立模型,讓思維回歸“自然”

數學建模是一種數學的思考方法，是運用數學的語言和方法，通過抽象、簡化建立能近似刻畫并解決實際問題的一種強有力的數學手段.教師要促使學生能合理建模，在抓住問題本質的同時，真正領悟對數學形式化的要求和應用，提升學生的數學思維能力，提高問題解決能力.

教師根據題設條件和結論所具有的一些特點和性質，引導學生展開聯想，跳出常規思路，創造性地建構恰當的“載體”，進一步構造出符合條件和結論的數學形式，化歸為原有的數學模型，從而使問題向有利于解決的方向轉化.

例5 設正實數a,b,c滿足

求a,b,c的值.

(2014浙江省高中數學競賽試題第22題)

分析 該題是一個解方程組的問題，直接消元無從下手.該題貌似與解三角形毫無關系，但只要回顧比較余弦定理的形式特點就能將問題轉化為容易解決或者更能反映問題本質特征的另一種形式，使比較隱蔽的問題直觀化.將方程組化為

構造如圖4所示的圖形，其中OA=a，OB=b，OC=c，∠AOB=90°,∠AOC=120°,∠COB=150°,則

圖4

著名數學教育家波利亞說過，問題表征是問題解決的前提[1].學生以何種形式在頭腦中呈現問題具有決定性的作用，甚至可以說如果一個問題被正確表征，問題解決就成功了一半.數學模型的構建是建立在深刻理解所學知識的基礎上的，解題過程閃爍著思維的火花和創造的靈感.

例6 已知實數a,b,c，滿足a+b+c=0和abc=2，求證：a,b,c中至少有1個不小于2.

即

a≥2.

例7 已知a,b是實數，且eba.

章建躍博士曾指出：“數學育人要用數學的方式，為發展學生的核心素養而教，而數學建模是數學核心素養的重要要素，是用數學知識解決數學內外的問題.”[3]在教學中，教師要及時歸納比較，幫助學生積累一些解題中常見的數學模型，引導學生從不用的角度進行分析，理清解題思路并按照題型的問題條件與所積累的模型建立聯系，從而實現構造，提高學生的思維能力和創造力.

3 善于聯系遷移，讓思維回歸“自然”

布魯納曾說過：“學生獲得的知識如果沒有完整的結構把它聯系起來，那是一種多半會遺忘的知識.”章建躍博士在數學核心素養闡述時指出:“‘性質—結構’主要是指數學推理，是建立相關知識之間的聯系而形成結構功能良好、遷移能力強大的數學認知結構的過程.”[3]在解題教學中，教師要引導學生不能總是簡單地重復，應該加入自己的思考和主動探究，不能只停留在“聽懂”“看懂”，數學學習不能只停留在表面，要從實質上進一步深入研究，加強探尋數學知識和方法之間的聯系和規律，形成知識網絡，在反思中總結與聯想，逐步實現“一題多解，多解歸一，多題歸一”，即站在系統的高度解題分析和整體把握，達到解題方法的遷移、解題能力的提升.

例8 1)若f(x)=(x+a)(|x-a|+|x-4|)的圖像是中心對稱圖形，則a=______.

(2013年上海市春季數學高考試題第31題改編)

分析 函數的對稱性是函數的一個基本性質，對稱關系不僅廣泛存在于數學問題之中，而且利用對稱性往往能更簡捷地使問題得到解決，對稱關系還充分體現了數學之美.這是一個關于函數中心對稱問題的題組，解決此類問題要聯想奇函數圖像的性質，所有的中心對稱本質上都是奇函數圖像的平移.回歸清楚的思路和自然的聯系,將3個問題回歸轉化成奇函數問題.

1)化簡得

f(x-a)=x(|x-2a|+|x-a-4|).

要使f(x)為中心對稱圖形，而g(x)=x是奇函數，因此只要h(x)=|x-2a|+|x-a-4|為偶函數，即

2a+a+4=0，

從而

2)聯想到函數y=f(x)的圖像關于點A(a,b)對稱的充要條件是

f(x)+f(2a-x)=2b，

即“函數y=f(x+a)-b是奇函數”與“y=f(x)的對稱中心為(a,b)”等價的本質，得出a=2,b=1.

例9 設a為實數，函數f(x)=|x2-ax|在區間[0,1]上的最大值記為g(a)，當a=______時，g(a)的值最小.

(2015年湖北省數學高考文科試題第17題)

這樣的例子在高中數學中還有很多，通過探究反思，揭示聯系，進而形成遷移，不僅能使學生形成良好的認知結構，還能使學生建立知識網絡，掌握數學知識的內在聯系與規律，更能使學生真正抓住數學思維的內在本質，從而提升對數學思想方法的理解，并引領學生走出題海.教師應從數學學科的特點出發，在知識上指導學生注意追根究底，尋找知識之間的聯系和規律，在比較中學習新知識，站在哲理的高度思考問題，注重聯想.教師在平時的教學中應引導學生善于聯系，善于追根究底，明白命題者的思路，探尋知識與方法之間的聯系和規律，尋找條件和結論之間的差異和本質聯系，達到解題方法的遷移、解題能力的提升，提升對問題的本質認識，讓學生在不斷地聯系和整合中，豐富認知結構中的內容，站在系統的高度理解數學，構建更廣更有效的解題經驗.

4 反思與總結

把數學教好是落實核心素養的前提，關鍵是要“示以學生思維之道”，強調數學的理解和本質的揭示[4].讓學生經歷完整的“獲得對象—研究性質—應用拓展”過程,并在運用數學知識解決問題的過程中培養創新精神和實踐能力，使學生能深刻、理性并靈活地思考問題，能用數學的方式認識問題和解決問題.

培養學生的理性思維是數學課程的核心任務，這就是教學的“宗”.在實施解題教學中，要盡可能地引導學生展示數學解題的思維過程，在“清楚”如何做的基礎上，更要理解“為何這樣做”，讓學生感悟解題的思維過程，避免機械地、盲目地生搬硬套[3].一個優秀的思維水平較高的學生能運用所學知識清晰地分析問題，能直接道出問題的本質和解決問題所用的思想方法，建立知識之間的聯系、對比、分析，并能合理遷移.

解題教學不是教師自己解題,更不是僅僅幫助學生解出一道題的結果,也不是方法的堆積.它是以典型的案例為載體,通過具體問題的解決,引導學生學會運用知識,同時領悟解題策略和方法,提升學生的解題能力和數學核心素養,促進學生“自我生長”能力的提高.

[1] 波利亞.怎樣解題[M].閻育蘇，譯.北京：科學出版社，1982.

[2] 江志杰.“圓”來如此精彩[J].高中數學教與學，2016(4):12-14.

[3] 章建躍.樹立課程意識,落實核心素養[J].數學通報,2016(5):1-4.

[4] 曹鳳山.講好數字背后的故事[J].中學教研(數學)，2016(6):1-4.

2017-01-09；

2017-02-20

洪昌強(1963-)，男，浙江臺州人，中學高級教師.研究方向：數學教育.

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1003-6407(2017)05-01-04