淺談數學中輔助函數的構造與應用

徐秋倉

【摘 要】本文簡要論述了輔助函數在解決數學中利用輔助函數來解決數學問題的作用。

【關鍵詞】高等數學；構造；輔助函數

在解決數學問題的時候，輔助函數是一種常用且很重要而又很巧妙的一種方法，它的主要思維方式是：利用條件與結論的特殊性，構造出一個新的輔助函數，架起條件與結論之間的橋梁，從而使我們在困難中找到一條通往目標的道路。以下我們舉例來說明輔助函數的一些構造方法與應用。

1借助幾何圖形構造

例1【拉格朗日中值定理】：如果函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，在開區間（a，b）內可導，那么在（a，b）內至少有一點 使等式 成立。

分析：直接證明該定理難度很大。從定理的幾何意義（各教材都有，略）上來看，羅爾中值定理是拉格朗日中值定理的特殊情況。既然它們之間有這樣的特殊關系，我們自然而然的就會想到利用羅爾定理來證明拉格朗日中值定理，但在拉格朗日中值定理中，函數f（x）不一定滿足羅爾定理中的條件f（a）=f（b），為此我們就設想構造一個輔助函數φ（x），且它與f（x）有密切的關系而又滿足羅爾定理中的條件φ（a）=φ（b）。然后對φ（x）應用羅爾定理，再把對φ（x）所得的結論轉嫁到f（x）上，從而證得我們想要的結果來。我們從拉格朗日中值定理的幾何解釋中可以尋找到輔助函數 。

下面我們就利用這個輔助函數來證明拉格朗日中值定理。

證明：引進輔助函數

容易驗證φ（x）滿足羅爾定理的條件：①φ（x）在閉區間[a，b]上連續，②φ（x）在開區間（a，b）內連續，③ 。

由羅爾定理知，在（a，b）內至少有一點 使等式 。

由此可得 。

即 。

定理得證。

同理，我們可以借助于幾何意義通過構造輔助函數

滿足羅爾定理的條件，用羅爾定理對φ（x）的結論轉化為柯西中值定理的結論。從而證明柯西中值定理。

2根據題目的結論構造

例2. 設函數f（x）在 上可導，且 證明：存在 ，使得

。

此結論直接證明不好找方向，但我們把結論變形一下

我們就不難想到羅爾定理的結論了，只需要證明函數F（x）=xf（x）滿足羅爾定理的條件，用羅爾定理的結論就可以得到所要證明的。

證明：設輔助函數F（x）=xf（x）

（1）由題意知f（x）在 上可導，則f（x）在 上連續，從而F（x）=xf（x）在 上連續；（2）f（x）在 上可導，則f（x）在 內可導，易證F（x）=xf（x）在 內可導；（3）F（0）=0，f（0）=0，F（1）=1，f（1）=0。F（x）=xf（x）滿足羅爾定理的三個條件，所以在 內至少存在一點ξ，使得

即 得證。

例3. 設 ，證明存在 使得 。

此證明題似乎證明難度比較大，但我們對所需要證明的式子進行等價變形

從這個變形的等式左邊看，很容易讓人想起柯西定理的結論，所以設想用柯西定理來證明。自然而然的就會想到引入輔助函數 。

證明：引入輔助函數：

很顯然引入的兩個輔助函數在 上連續，在 內可導，且

由柯西定理，在 內至少存在一點ξ，使得

即

3根據所解決問題的目的聯想

例4證明當 時，

。

此題要求證明對數函數介于有理函數之間，兩類函數如何發生關系呢？最好把對數函數用有理函數表示出來，同類函數比較要容易一些。而這個對數函數的導數是一個有理函數，所以設想找出該函數與其導數的等式關系來，容易想到拉格朗日中值定理。所以引入輔助函數，應用拉格朗日中值定理來證明。

證明：設輔助函數 ，顯然函數在區間 上滿足拉格朗日中值定理的條件，根據定理，應有

， 。

由于 ， ，因此上式即為

又由 ，有 ，

即 。

例5.證明當 時，

。

分析：欲直接證，此證明不好證，思路不容易有，若把此問題轉化為函數問題，就是比較函數 在 處函數值的平均值與 的平均值處的函數值，這個問題不難想到利用函數的凹凸性來解決。

證明：設輔助函數 ，則 ， ，當 時 ，所以曲線 在 時為凹弧。根據凹弧定義，設x，y是 范圍內的兩點，則有 。

即有 。得證。

參考文獻：

[1]《高等數學》.同濟大學編.高等教育出版社，1988年版

[2]數學分析原理.格馬菲赫金哥若次著.丁壽田譯.人民教育出版社，1960