走進南京市中考數學中的概率常見考法

孔小紅

（江蘇省南京市高淳區固城中學）

《義務教育數學課程標準》對概率部分的要求主要體現在兩方面：一是從事件本身發生的可能性來把握概率；二是通過大量重復試驗用頻率來估計概率。結合實際背景，考查概率知識的有關概念以及計算簡單隨機事件的概率等內容仍然是南京市近年數學中考的主要形式。這種考法上的變化，對教學具有正確的導向作用。

在解決初中概率統計中等可能性的結果的有關問題時，當等可能性結果的總數量不多時，我們通常把要計數的所有對象一一直接列舉出來，從而求出其總數，這種最簡單、最基本的計數方法叫做直接列舉法。有不少學生認為直接列舉法是“最煩、最繁、最差、最沒有技術含量”的方法，其實不然：第一，當基本事件總數較少但情況又稍復雜時，直接列舉法一清二楚；第二，直接列舉法應當是解這類題時首先想到的方法，其次是樹形圖、列表法等；第三，即使直接列舉失敗，也可由此發現部分規律，對解題亦有幫助。因此，解決計數問題時，應重視直接列舉法。

例1.（南京市2012中考題7分）甲、乙、丙、丁4名同學進行一次羽毛球單打比賽，要從中選2名同學打第一場比賽，求下列事件的概率。

（1）已確定甲打第一場，再從其余3名同學中隨機選取1名，恰好選中乙同學；

（2）隨機選取2名同學，其中有乙同學.

【解析】解：（1）已確定甲打第一場，再從其余3名同學中隨機選取1名，恰好選中乙同學的概率是1/3.

（2）從甲、乙、丙、丁4名同學中隨機選取2名同學，所有可能出現的結果有：（甲、乙）（甲、丙）（甲、?。ㄒ?、丙）（乙、?。ū?、丁），共有6種，它們出現的可能性相同，所有的結果中，滿足“隨機選取2名同學，其中有乙同學”（記為事件A）的結果有3種，所以P（A）=二分之一。

例2.（2015江蘇省南京市，22題，8分）某人的錢包內有10元錢、20元錢和50元錢的紙幣各1張，從中隨機取出2張紙幣。

（1）求取出紙幣的總額是30元的概率；

（2）求取出紙幣的總額可購買一件51元的商品的概率。

【解析】解：某人從錢包內隨機取出2張紙幣，可能出現的結果有3種，即（10，20）、（10，50）、（20，50），并且它們出現的可能性相等。

（1）取出紙幣的總數是30元（記為事件A）的結果有1種，即（10，20），所以P（A）=三分之一。

（2）取出紙幣的總額可購買一件51元的商品（記為事件B）的結果有2種，即（10，50）、（20，50）。所以P（B）=三分之二。

例3.（2016江蘇省南京市， 8分）某景區7月1日—7月7日一周天氣預報如下，小麗打算選擇這期間的一天或兩天去該景區旅游，求下列事件的概率：

（1）隨機選擇一天，恰好天氣預報是晴；

（2）隨機選擇連續的兩天，恰好天氣預報都是晴。

【解析】解：（1）隨機選擇一天，天氣預報可能出現的結果有7 種，即7 月1 日晴、7 月2 日晴、7 月3 日雨、7 月4 日陰、7 月5 日晴、7 月6 日晴、7 月7 日陰，并且它們出現的可能性相等。恰好天氣預報是晴（記為事件A）的結果有4 種，即7 月1 日晴、7 月2 日晴、7 月5 日晴、7 月6 日晴，所以P（A）=七分之四。

（2）隨機選擇連續的兩天，天氣預報可能出現的結果有6 種，即（7 月1 日晴，7 月2 日晴）（7 月2 日晴，7 月3 日雨）（7 月3 日雨，7 月4 日陰）（7 月4 日陰，7 月5 日晴）（7 月5 日晴，7 月6 日晴）（7 月6 日晴，7 月7 日陰），并且它們出現的可能性相等。恰好天氣預報都是晴（記為事件B）的結果有2 種，即（7月1 日晴，7 月2 日晴）、（7 月5 日晴，7 月6 日晴），所以P（B）=六分之二=三分之一。

小結：在學習等可能性條件下的概率計算和等可能性的結果計數時，不遵循數序規律，東舉一個，西舉一個，不按順序列舉，往往會出現遺漏或重復，有序地思考、合理地分類，才是解決這類問題最關鍵的思維。使用直接列舉法進行計數時，要注意以下幾點：（1）初步估計，總的數目不太多，又沒有更簡捷的辦法；（2）為了使枚舉的結果不重復又不遺漏，我們要抓住對象的特征，選擇適當的標準分類，有次序、有規律地列舉。

編輯 李建軍