新高考背景下數(shù)列與解析幾何的綜合形勢(shì)

例題如圖1所示，拋物線 C:y²=4x 的焦點(diǎn)為 F ，斜率為1的直線 ξ_l 經(jīng)過(guò) F 且與 C 交于 A₁，B₁ 兩點(diǎn) (A₁ 位于第一象限）.

（1）求 A₁，B₁ 的坐標(biāo)與 |A₁B₁| 的長(zhǎng)；

（2）設(shè) ，如下構(gòu)造 A_n，B_n ：直線 P_n-1B_n-1，P_n-1A_n-1 分別與 c 交于 B_nJA_n 證明：

(i)B_n 的縱坐標(biāo) y_n 是等差數(shù)列 {y_n} ：(ii) ?n∈N^* A_nB_n+1 // A_n+1B_n+2

分析本題主要考查的知識(shí)點(diǎn)有：一是拋物線的性質(zhì)，需要學(xué)生理解拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其焦點(diǎn)的性質(zhì)；二是直線與拋物線交點(diǎn)問(wèn)題如何求解；三是等差數(shù)列有關(guān)知識(shí)內(nèi)容，如怎樣證明某點(diǎn)的坐標(biāo)構(gòu)成等差數(shù)列，考查學(xué)生等差數(shù)列的證明方式；四是數(shù)學(xué)歸納法，需利用數(shù)學(xué)歸納法證明等差數(shù)列的性質(zhì).

已知拋物線方程及直線斜率與過(guò)拋物線焦點(diǎn).

第（1）問(wèn)簡(jiǎn)單基礎(chǔ)，首先根據(jù)直線斜率及過(guò)點(diǎn)F ，求出直線方程，再將直線方程與拋物線方程聯(lián)立即可求出交點(diǎn)坐標(biāo)，最后應(yīng)用兩點(diǎn)間距離公式，問(wèn)題就迎刃而解了.

第（2)問(wèn)難度較大，其中涉及兩小問(wèn)，需要構(gòu)造A_n，B_n 來(lái)證明結(jié)論成立.在(i)中，要證明 B_n 的縱坐標(biāo) y_n 是等差數(shù)列，即證明 y_n-1+y_n+1=2y_n .首先設(shè) a_n 這樣直線 P_nB_n 的方程就可表示出來(lái)，移項(xiàng)化簡(jiǎn)可得到關(guān)于 y 的一元二次函數(shù)，接著利用韋達(dá)定理可求出 y_n ·（20 2y2-4yn??\"，等式兩邊同時(shí)除以y，，可得到 ，代數(shù)變換后可求出 y_n 與 y_n-1 ，這樣即可求出 y_n-1+y_n+1 .因此對(duì)于 y_n-1+y_n+1= 2y_n ，化簡(jiǎn)可求出 ，最后利用數(shù)學(xué)歸納法證明此時(shí) y_n 是等差數(shù)列即可.在(ii）中，要證明 A_nB_n+1//A_n+1B_n+2 ，即證明出 k_AnBn+1= k An+1Bn+2，設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，代人計(jì)算即可證明.

解題指導(dǎo) （1）由斜率為1的直線 l 經(jīng)過(guò)拋物線 C:y²=4x 的焦點(diǎn) F ，因此直線 l 方程為 y=x-1 聯(lián)立 （20得 x²-6x+1=0 再根據(jù)二次函數(shù)求根公式，

因此

（20(2)(i)設(shè) P_n(a_n，.2) ，其中 B_n(x_n，y_n)，B_n+1(x_n+1，y_n+1)， 此時(shí)可寫(xiě)出直線 P_nB_n 的方程為： 化簡(jiǎn)得， 根據(jù)韋達(dá)定理，可求出 （20等式兩邊同時(shí)除以 y_n ，即可得到 因此 求解上式可得 ①+② 式可得， 要證明 B_n 的縱坐標(biāo) y_n 是等差數(shù)列，即證明

y_n-1+y_n+1=2y_n， 即證明4yn-4(an+an-1） 化簡(jiǎn)有 y_n²-4y_n-(2n²+4n-2)=0 此時(shí)利用求根公式及點(diǎn) B_n 始終在第四象限，可得 這時(shí)利用數(shù)學(xué)歸納法歸納推理，當(dāng) n=1 時(shí)， 成立；假設(shè)當(dāng) n=k 時(shí) 成立，則當(dāng) n=k+1 時(shí)， 所以 為等差數(shù)列.(ii）設(shè) A_n(x_n^′，y_n^′) ， （204號(hào)此時(shí)kABn+1 同理可求出kAn+1Bn+2 因此同(i）中證明過(guò)程，可得 A_n 的縱坐標(biāo) y^′ n

滿(mǎn)足 ，也為等差數(shù)列，因此 現(xiàn)在要證明 A_nB_n+1//A_n+1B_n+2 即證明 k_An^Bn+1=k_An+1^Bn+2 ，也就是證明 1化簡(jiǎn)后即為， y_n+1+y^′_n=y^′_n+1+y_n+2 顯然

成立.因此 ?n∈N^*，A_nB_n+1//A_n+1B_n+2.

結(jié)語(yǔ)

綜上所述，新高考背景下有關(guān)數(shù)列問(wèn)題的考查，不僅局限于傳統(tǒng)的單一知識(shí)點(diǎn)考查，而是逐步轉(zhuǎn)變?yōu)榕c其他知識(shí)融合，在新的情境下呈現(xiàn)相關(guān)問(wèn)題.試題難度有所提升，綜合性強(qiáng).在分析、解決此類(lèi)數(shù)列問(wèn)題時(shí)，需要學(xué)生將各種知識(shí)融會(huì)貫通，找尋解題關(guān)鍵，將已知關(guān)鍵信息與數(shù)列有關(guān)知識(shí)相結(jié)合，學(xué)會(huì)舉一反三，進(jìn)一步發(fā)展數(shù)學(xué)思維能力.