極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)的Bayes方法

董峰輝， 程 進(jìn)

(土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(同濟(jì)大學(xué)), 上海 200092)

極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)的Bayes方法

董峰輝， 程 進(jìn)

(土木工程防災(zāi)國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室(同濟(jì)大學(xué)), 上海 200092)

為提高極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)精度，在Jeffreys準(zhǔn)則的基礎(chǔ)上，采用Bayes估計(jì)中的Lindley近似方法推導(dǎo)極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)表達(dá)式.采用Monte Carlo法產(chǎn)生服從極值-I型分布的偽風(fēng)速母樣，基于偽風(fēng)速母樣分別采用基于Bayes理論和最大似然估計(jì)理論的極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)方法進(jìn)行風(fēng)速預(yù)測(cè)，并與偽風(fēng)速母樣的理論值進(jìn)行對(duì)比分析.結(jié)果表明：與最大似然估計(jì)法相比，采用基于Bayes理論建立的極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)模型進(jìn)行風(fēng)速預(yù)測(cè)的精度更高，且精度隨著偽風(fēng)速母樣樣本量的增加而提高，位置參數(shù)先驗(yàn)樣本數(shù)量的增加以及先驗(yàn)方差的增大對(duì)計(jì)算精度沒有影響.

橋梁工程；風(fēng)速預(yù)測(cè)；Bayes理論；極值-I型；偽風(fēng)速母樣；最大似然估計(jì)

風(fēng)工程中，建筑結(jié)構(gòu)不但要承受過去某一段時(shí)間的風(fēng)速，還要保證在某一規(guī)定的時(shí)間期限內(nèi)安全可靠地承受可能經(jīng)受的風(fēng)速.自然界中的風(fēng)速具有隨機(jī)性，不同時(shí)間有不同的規(guī)律，因此有必要根據(jù)數(shù)理統(tǒng)計(jì)的方法來求出建筑結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)風(fēng)速，尤其是對(duì)一些重要的對(duì)風(fēng)敏感的結(jié)構(gòu)，如輸電塔、橋梁、桅桿等[1-3].大多數(shù)荷載規(guī)范只能較好地用于建筑結(jié)構(gòu)的風(fēng)荷載靜力分析或是擬靜力分析，所以，估算工程場(chǎng)地處重現(xiàn)期內(nèi)的極值風(fēng)速是工程抗風(fēng)設(shè)計(jì)的首要任務(wù).當(dāng)以某種極值分布概型擬合風(fēng)速母樣的極值漸近分布時(shí)，對(duì)重現(xiàn)期內(nèi)極值風(fēng)速的估算結(jié)果往往與擬合概型和抽樣數(shù)量有關(guān)，橋梁設(shè)計(jì)規(guī)范中規(guī)定極值風(fēng)速分布服從極值-I型[4].

目前進(jìn)行極值-I型分布風(fēng)速預(yù)測(cè)的方法主要有最大似然估計(jì)法、矩估計(jì)法和概率權(quán)矩法，這3種估計(jì)方法均屬于經(jīng)典統(tǒng)計(jì)范疇.在對(duì)極值-I型分布風(fēng)速預(yù)測(cè)時(shí)，采用矩估計(jì)法獲得的極值風(fēng)速偏保守，概率權(quán)矩法偏危險(xiǎn)，最大似然估計(jì)法雖然較前兩種方法的精度高，但是公式復(fù)雜[5].此外，經(jīng)典統(tǒng)計(jì)有3個(gè)共同的局限性：一是提高統(tǒng)計(jì)推斷的精度，主要靠數(shù)據(jù)多少?zèng)Q定，這對(duì)于小樣本，往往發(fā)生很大困難甚至無能為力；二是在對(duì)極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)的過程中均假定位置參數(shù)和尺度參數(shù)是各自獨(dú)立的參數(shù)，而在理論上的極值-I型分布模型中，位置參數(shù)和尺度參數(shù)不是相互獨(dú)立的；三是僅僅依靠樣本信息對(duì)參數(shù)進(jìn)行估計(jì)，而沒有依靠模型的先驗(yàn)信息.因此，前述的最大似然估計(jì)法、矩估計(jì)法和概率權(quán)矩法在對(duì)極值-I型分布風(fēng)速進(jìn)行預(yù)測(cè)時(shí)的精度就受到了限制.為了彌補(bǔ)現(xiàn)有極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)方法的不足，本文采用Bayes統(tǒng)計(jì)理論[6]建立了極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)方法.該方法有以下特點(diǎn)：1)Bayes統(tǒng)計(jì)理論利用樣本信息對(duì)先驗(yàn)信息進(jìn)行修正而得到后驗(yàn)信息；2)Bayes統(tǒng)計(jì)由于利用了模型的先驗(yàn)信息，因而對(duì)于小樣本一般也有較好的統(tǒng)計(jì)推斷效果；3)Bayes統(tǒng)計(jì)對(duì)于極值-I型模型中的位置參數(shù)和尺度參數(shù)是否相互獨(dú)立均適用.最后，通過算例驗(yàn)證了該方法的準(zhǔn)確性與有效性.

1 基于Bayes理論的極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)方法

1.1 極值-I型分布

極值-I型分布[7-8]的概率密度函數(shù)和累計(jì)分布函數(shù)為

式中μ、σ分別為位置參數(shù)和尺度參數(shù).

從而，得到百年一遇的風(fēng)速預(yù)測(cè)值t0.01為

1.2 Bayes理論

Jeffreys用Fisher信息矩陣行列式的平方根作為(μ,σ)先驗(yàn)密度的核，用Jeffreys準(zhǔn)則尋找無信息先驗(yàn)分布[6,9]的步驟如下.

步驟1 寫出樣本似然函數(shù)的對(duì)數(shù)：

(5)

步驟2 求Fisher信息矩陣：

步驟3 求(μ,σ)的無信息先驗(yàn)密度函數(shù)：

對(duì)于極值-I型分布，F(xiàn)isher信息矩陣為

由Jeffreys準(zhǔn)則可得

其中θ=(θ1,θ2,…,θk)為參數(shù)向量，L為似然函數(shù)的對(duì)數(shù).需要注意的是，I為在給定先驗(yàn)分布v(θ)的情況下u(θ)的后驗(yàn)期望.

根據(jù)Lindley近似方法，由式(10)可得

進(jìn)一步可得

(11)

極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)表達(dá)式為

(13)

所以

(14)

1.3 極值-I型風(fēng)速的預(yù)測(cè)

從上述Bayes估計(jì)理論可得極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值為

(15)

2 數(shù)值算例

本文調(diào)查和收集了安徽安慶宿松縣、望江縣兩個(gè)氣象站1971—2011年實(shí)測(cè)的風(fēng)速資料(共計(jì)744個(gè)風(fēng)速樣本)，以此提供偽風(fēng)速母樣概率分布模型中位置參數(shù)μ和尺度參數(shù)σ的合理取值.基于上述偽風(fēng)速母樣概率分布模型參數(shù)的合理取值，建立偽風(fēng)速母樣理論模型，然后將Bayes估計(jì)和最大似然估計(jì)[12-16]的重現(xiàn)期為100a極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值與理論模型值進(jìn)行比較分析.

在偽風(fēng)速母樣理論模型的建立過程中，首先，假定偽風(fēng)速母樣概率分布模型中的位置參數(shù)μ和尺度參數(shù)σ為相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，位置參數(shù)μ服從正態(tài)分布，尺度參數(shù)σ服從均勻分布[7]；其次，考慮樣本數(shù)量、位置參數(shù)μ的先驗(yàn)方差和尺度參數(shù)σ的變化對(duì)極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)結(jié)果的影響；最后，基于位置參數(shù)μ和尺度參數(shù)σ，采用MonteCarlo法產(chǎn)生偽風(fēng)速母樣.本文采用的極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)流程如圖1所示.

由表1～3可以看出：1)當(dāng)位置參數(shù)先驗(yàn)樣本數(shù)為50，極值-I型風(fēng)速Bayes估計(jì)值比最大似然估計(jì)值更接近偽風(fēng)速母樣理論值.2)隨著位置參數(shù)先驗(yàn)樣本數(shù)和偽風(fēng)速母樣樣本數(shù)的增加，尺度參數(shù)的增大，極值-I型風(fēng)速Bayes估計(jì)值與最大似然估計(jì)值之間的差異越來越小.3)極值-I型風(fēng)速Bayes估計(jì)精度隨著偽風(fēng)速母樣樣本數(shù)的增加而提高.4)位置參數(shù)先驗(yàn)樣本數(shù)量的多少和先驗(yàn)方差的大小對(duì)Bayes估計(jì)精度沒有影響.5)在大多數(shù)情況下，極值-I型風(fēng)速Bayes估計(jì)比最大似然估計(jì)精度高.

3 工程場(chǎng)地極值風(fēng)速預(yù)測(cè)

選擇安徽安慶市宿松縣和望江縣氣象站作為采樣測(cè)站，調(diào)查和收集了兩個(gè)氣象站1971—2011年原始風(fēng)速記錄共2×372個(gè)，包含了1971年1月至2011年12月的全部372個(gè)月的月最大風(fēng)速值.選取31個(gè)年最大風(fēng)速值進(jìn)行百年一遇極值風(fēng)速預(yù)測(cè)，采用本文提出的Bayes估計(jì)方法預(yù)測(cè)的安徽安慶宿松縣和望江縣的百年一遇最大風(fēng)速值分別為27.89m/s和24.20m/s，為安全起見，取27.89m/s作為本文貝葉斯理論預(yù)測(cè)的安徽安慶市百年一遇風(fēng)速值.該計(jì)算結(jié)果與《公路橋梁抗風(fēng)設(shè)計(jì)規(guī)范》[4]附表A規(guī)定的安徽安慶市百年一遇風(fēng)速值27.1m/s相比誤差較小，這表明采用本文提出的貝葉斯方法進(jìn)行實(shí)際工程場(chǎng)地極值風(fēng)速預(yù)測(cè)是合理可行的.

圖1 極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)流程

mnμBμ-σBσ-t1Tt-1Tt-Be-/%eB/%505015.284014.754111.218719.620.360119.99003.881.995010015.284014.897110.885819.618.971819.35893.211.235020015.284014.930310.919219.619.158619.76272.250.83505015.284015.421822.220924.225.637924.97925.943.225010015.284015.378222.186624.225.436624.67925.111.985020015.284015.362221.902824.224.115124.17340.350.11505015.284015.029943.192833.434.462133.70733.180.925010015.284014.967243.072733.433.049333.64721.050.745020015.284015.317942.882233.433.660533.32320.780.23

表2 μ～N(15,2),σ=1,2,4,.01,風(fēng)速預(yù)測(cè)值比較

表3 μ～N(15,3),σ=1,2,4,.01,風(fēng)速預(yù)測(cè)值比較

4 結(jié) 論

1)基于Bayes理論提出了極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)方法，采用Monte Carlo法產(chǎn)生偽風(fēng)速母樣，分別進(jìn)行極值-I型風(fēng)速Bayes估計(jì)和最大似然估計(jì)，并將兩者的估計(jì)結(jié)果與偽風(fēng)速母樣理論值進(jìn)行比較.

2)與最大似然估計(jì)相比，采用Bayes估計(jì)進(jìn)行極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)精度更高.隨著極值-I型偽風(fēng)速母樣樣本數(shù)增加，Bayes估計(jì)極值-I型風(fēng)速的誤差變小.極值-I型分布中位置參數(shù)的先驗(yàn)樣本數(shù)和先驗(yàn)方差均不影響B(tài)ayes估計(jì)極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)精度.

3)在大樣本和大尺度參數(shù)下，采用Bayes估計(jì)極值-I型風(fēng)速預(yù)測(cè)值與最大似然估計(jì)值的差異較小.

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(編輯 魏希柱)

Wind speed prediction of extreme value type I distribution based on the Bayes method

DONG Fenghui，CHENG Jin

(State Key Laboratory for Disaster Reduction in Civil Engineering (Tongji University)，Shanghai 200092, China)

In order to improve prediction accuracy of wind speed of extreme value type I distribution, the wind speed prediction model was proposed based on Jeffreys criterion and the Lindley approximation method of Bayesian theory. Monte Carl method was used to generate the pseudo wind speed samples, and the maximum likelihood parameter estimation method and Bayes statistical theory were used to estimate the wind prediction value of the extreme value type I distribution, then the prediction value was compared with the theoretical extreme value. The result indicates that the wind speed prediction model of extreme value type I distribution is more accurate than the maximum likelihood estimation. The accuracy increases with the increasing of pseudo wind speed sample numbers, but is not affected by the numbers of prior samples and prior variance for location parameter.

bridge engineering; wind speed prediction; Bayes theory; extreme value type I distribution; pseudo wind speed sample; maximum likelihood estimation

10.11918/j.issn.0367-6234.2017.03.015

2016-03-09

科技部國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室基金(SLDRCE14-B-08)

董峰輝(1987—)，男，博士研究生； 程 進(jìn)(1971—)，男，研究員，博士生導(dǎo)師

程 進(jìn)，chengjin@tongji.edu.cn

U441+.2

A

0367-6234(2017)03-0093-05