基于解決抗生素危機(jī)的數(shù)學(xué)模型

肖樂(lè)樂(lè)，游仁青，呂 通，趙巧佳，呂 波

1吉林大學(xué)；2齊魯師范學(xué)院；3重慶師范大學(xué)；4長(zhǎng)安大學(xué)

基于解決抗生素危機(jī)的數(shù)學(xué)模型

肖樂(lè)樂(lè)1，游仁青2，呂 通3，趙巧佳2，呂 波4

1吉林大學(xué)；2齊魯師范學(xué)院；3重慶師范大學(xué)；4長(zhǎng)安大學(xué)

從供需角度分析抗生素動(dòng)態(tài)利益鏈，構(gòu)建蛛網(wǎng)動(dòng)態(tài)分析模型，采取二階差分，預(yù)測(cè)感染率并以此檢驗(yàn)?zāi)Ｐ秃侠硇?。預(yù)測(cè)危機(jī)的發(fā)展趨勢(shì)，及其危機(jī)性的強(qiáng)弱。在大自然環(huán)境制約下，基于大腸埃希菌對(duì)抗生素?cái)?shù)據(jù)構(gòu)建Logistic回歸模型，并對(duì)模型進(jìn)行了優(yōu)化，構(gòu)建M althus模型，最大限度的擬合抗生素耐藥菌的增長(zhǎng)狀況。設(shè)計(jì)一種使用抗生素的超級(jí)細(xì)菌可用的管理系統(tǒng)，進(jìn)行OLS估計(jì)，得到OLS估計(jì)方程，同時(shí)依據(jù)激勵(lì)相容約束與參與約束基本理論，給出建議。

Logistic回歸模型；抗生素利益鏈；二階差分模型

1 有關(guān)抗生素問(wèn)題分析

在抗生素利益鏈的基礎(chǔ)上建立一個(gè)“抗生素戰(zhàn)爭(zhēng)”模型。提供一個(gè)關(guān)于抗生素與敏感性利益鏈的量化模型，構(gòu)建影響供需主因子CGE模型，抗生素效果可用耐藥菌數(shù)目反應(yīng)，基于蛛網(wǎng)理論構(gòu)建蛛網(wǎng)模型，并優(yōu)化模型，采取二階差分預(yù)測(cè)同一季度不同年份的感染率來(lái)檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷目煽啃?。在完全?jìng)爭(zhēng)市場(chǎng)中預(yù)測(cè)抗生素危機(jī)發(fā)展趨勢(shì)，通過(guò)耐藥菌數(shù)量與增長(zhǎng)速度變化預(yù)測(cè)危機(jī)性強(qiáng)弱?；诖竽c埃希菌對(duì)抗生素?cái)?shù)據(jù)構(gòu)建Logistic回歸模型。設(shè)計(jì)使用抗生素的超級(jí)細(xì)菌管理系統(tǒng)，進(jìn)行OLS估計(jì)，得到OLS估計(jì)方程，同時(shí)依據(jù)激勵(lì)相容約束與參與約束基本理論，給出建議。

2 抗生素利益鏈的模型建立與求解

2.1 抗生素利益鏈

由于抗生素藥物是處方藥，國(guó)家對(duì)抗生素藥物使用具有一定的控制，但醫(yī)藥代表會(huì)根據(jù)藥店進(jìn)貨量給予相應(yīng)提成，藥企通過(guò)他們把抗生素流向藥店，至少藥店有30%的利潤(rùn)回扣。

2.2 模型建立

在抗生素利益鏈中存在三個(gè)經(jīng)濟(jì)主體，即抗生素的生產(chǎn)者、消費(fèi)者、政府，其中政府主要起到監(jiān)管作用，CGE模型以一般均衡理論為基礎(chǔ)，結(jié)合理性經(jīng)濟(jì)主體的行為假設(shè)來(lái)分析一般均衡條件，并在比較靜態(tài)框架下模擬政策干預(yù)和外生沖擊的影響。

（1）對(duì)消費(fèi)者行為進(jìn)行分析,效用函數(shù)采用柯布道格拉斯函數(shù)：

其中，ai是第i種抗生素在消費(fèi)中所占的比例，α1+α2+…+αN=1；Ac是規(guī)模參數(shù)，ci是消費(fèi)者對(duì)各種抗生素的消費(fèi)量。

消費(fèi)者在預(yù)算約束下最大化效用，其行為可描述如下：

其中，m是消費(fèi)者的要素稟賦收入，vfj是廠商j對(duì)第f種要素的支出，h是易感人群數(shù)目。

解得消費(fèi)者的各種抗生素需求為：

（2）廠商利潤(rùn)受收益和成本的影響，建立利潤(rùn)函數(shù)：

（3）對(duì)政府行為進(jìn)行分析，政府主要通過(guò)經(jīng)濟(jì)稅收手段，政府行為可用如下公式描述：

T=τy（其中，T為政府對(duì)濫用抗生素的處罰。）

2.3 基于蛛網(wǎng)模型的動(dòng)態(tài)分析

把長(zhǎng)周期內(nèi)量化的耐藥菌株數(shù)看做是時(shí)間的函數(shù)，抗生素產(chǎn)量也看做時(shí)間函數(shù)。

抗生素藥物產(chǎn)量視作經(jīng)濟(jì)單位產(chǎn)品，經(jīng)過(guò)易感人群產(chǎn)生的耐藥菌株數(shù)作為經(jīng)濟(jì)單位需求，細(xì)菌要取得耐抗生素付出的成本作為價(jià)格Pt。供給者根據(jù)上期的價(jià)格決定本期的產(chǎn)量，即本期的耐藥菌數(shù)受到上期抗生素的供給的影響，現(xiàn)實(shí)中只能按照本期的價(jià)格Pt出售由預(yù)期價(jià)格決定的產(chǎn)品。由此分析，當(dāng)隨時(shí)間的推移易感人群對(duì)抗生素的依賴程度小于細(xì)菌的耐藥基因遺傳速度時(shí)，抗生素的影響逐漸趨于減弱，最終趨向于均衡水平點(diǎn)E，是模型均衡穩(wěn)定的條件，如圖1所示；同理，當(dāng)隨時(shí)間的推移易感人群對(duì)抗生素的依賴程度大于細(xì)菌的耐藥基因遺傳速度時(shí)，抗生素的影響越來(lái)越強(qiáng)，最終遠(yuǎn)離均衡點(diǎn)E形成發(fā)散，如圖2所示；當(dāng)隨時(shí)間的推移易感人群對(duì)抗生素的依賴程度與細(xì)菌的耐藥基因遺傳速度一致時(shí)，其波動(dòng)將最終始終與均衡點(diǎn)保持一定的距離，就構(gòu)成了一個(gè)封閉型的蛛網(wǎng)，如圖3所示。

圖1

圖2

圖3

3 抗生素危機(jī)發(fā)展趨勢(shì)的預(yù)測(cè).

3.1 Logistic回歸模型構(gòu)建與預(yù)測(cè)

表示利益鏈?zhǔn)褂每股貭顩r，優(yōu)先選擇DDDS,即抗生素年消耗量，而直接觀測(cè)DDDS顯然不切實(shí)際，因此用耐藥率表示耐藥菌種數(shù)目，λ表示總菌種數(shù)，即DDDS）定量變化表征感染強(qiáng)度，感染輕度恰恰是在理想市場(chǎng)下的首要風(fēng)險(xiǎn)。該模型得到量化，在環(huán)境制約下，耐藥率ψ基本近似人口阻滯增長(zhǎng)模型，構(gòu)建Logistic模型：

設(shè)x（t）為t日的初始菌種數(shù)，（rx）為x的線性函數(shù)，r(x)=r-sx.

再設(shè)自然資源與社會(huì)制約之下，耐藥菌最大增加限度為xm

即當(dāng)x=xm時(shí)，增長(zhǎng)率r(xm)=0，得到：

構(gòu)建Logistic回歸模型：

聯(lián)立，解得：

3.2 模型求解

引入線性最小二乘估計(jì)法估算模型的參數(shù)r與xm，將Logistic方程轉(zhuǎn)化為：

向后差分，得到差分方程如下：

根據(jù)此方程，即可求解參數(shù)。

3.3 模型進(jìn)一步推廣與修正

3.3.1 Malthus模型在分析耐藥菌菌種數(shù)變化中的應(yīng)用基本假設(shè)：

（1）設(shè)x（t）表示t日的菌種數(shù)目，x（t）連續(xù)可微。

（2）假設(shè)耐藥菌平均增長(zhǎng)，即r為常量。

其解為：

根據(jù)表格：

年份耐藥菌數(shù)目2011 89124 2015 18431 2012 97926 2013 12368 2014 17896

該模型確實(shí)有可取之處，短期內(nèi)擬合的效果好，但長(zhǎng)期來(lái)看，預(yù)測(cè)耐藥菌菌種數(shù)量的變化不準(zhǔn)確，原因在于對(duì)增長(zhǎng)率r因子估計(jì)過(guò)高，需要修正r因子。

3.3.2 修正r因子優(yōu)化模型

考慮到r因子是常數(shù)時(shí)，擬合不好，因此，將r修正為a-bx,即加入競(jìng)爭(zhēng)項(xiàng)-bx2（規(guī)定b＞0）,建立方程如下：

4 便攜式管理抗生素的效用

為有效遏制過(guò)度使用抗生素藥物，衛(wèi)生部對(duì)抗生素藥物開(kāi)展專(zhuān)項(xiàng)整治。

4.1 對(duì)抗生素使用量與耐藥菌株關(guān)系的討論

采用1996-2010年的數(shù)據(jù)對(duì)抗生素的使用量與耐藥菌株數(shù)進(jìn)行OLS估計(jì)，得到OLS估計(jì)方程：

Y=-1690.29269633+0.421125021335*X

運(yùn)用EVIEWS軟件可得DW統(tǒng)計(jì)量為0.562497，即抗生素的使用量與耐藥菌株數(shù)具有顯著的正相關(guān)性。

4.2 政策性建議

對(duì)企業(yè)來(lái)說(shuō)，當(dāng)它生產(chǎn)均衡產(chǎn)量q時(shí)獲得的利潤(rùn)大于生產(chǎn)過(guò)多產(chǎn)量q’的利潤(rùn)時(shí)，它才會(huì)選擇以q產(chǎn)量進(jìn)行生產(chǎn)，否則它只會(huì)以q’產(chǎn)量生產(chǎn)；一般情況下，均衡產(chǎn)量獲得的利潤(rùn)比較小，政府為了鼓勵(lì)廠商生產(chǎn)均衡就需要給予廠商一定的補(bǔ)貼t。

激勵(lì)相容約束：

參與約束：

由此可知，合理使用抗生素是解決耐藥問(wèn)題的根本途徑。

[1]俞慎，王敏，洪有為.環(huán)境介質(zhì)中的抗生素及其微生物生態(tài)效應(yīng)[J].生態(tài)學(xué)報(bào).2011.

[2]王冉，劉鐵錚，王恬.抗生素在環(huán)境中的轉(zhuǎn)歸及其生態(tài)毒性.生態(tài)學(xué)報(bào)，2006,26（1）：265-270.

[3]章明奎,王麗平,鄭順安.兩種外源抗生素在農(nóng)業(yè)土壤中的吸附與遷移特性.生態(tài)學(xué)報(bào),2008,28（2）：761-766.

[4]鮑艷宇,周啟星，萬(wàn)瑩,謝秀杰.土壤有機(jī)質(zhì)對(duì)土霉素在土壤中吸附-解吸的影響.中國(guó)環(huán)境科學(xué),2009,29（6）：651-655.