“詩詞與數理”雜談

陳述爵

詩詞和數理學科，看起來二者有些不搭界，前者屬于形象思維，后者屬于邏輯思維，怎能把它們糅合到一起呢？其實，各學科往往互相聯系，彼此相通。如果說詩詞是描寫事物的形象，說明“怎么樣”，那么數理學科則是揭示了事物的內涵，說明“為什么”。二者結合起來，相輔相成，數理得益于詩詞而傳播，詩詞有賴數理而印證說明。我們現舉一組古代流傳的詩詞中的數學題為例：

一、寶塔紅燈

遠望巍巍塔七層， 紅光點點倍加增；

共燈三百八十一， 且問尖頭幾盞燈？

此詩最初未見文字，但口頭流傳很廣。寶塔，使人崇敬；紅燈，給人以遐想。它常常立于高高山上，遠遠的道旁，舉目遠眺，會產生一種肅穆之情。這又是一道簡單的一元一次方程題，欲求簡便，也可以用等比數列求和公式解（答案為3）。以七層寶塔數紅燈設題，采用古詩七言絕句的形式，平仄合律，鏗鏘押韻，既形象鮮明，又含義雋永，學到了語文，也學到了數學。

二、百鳥歸巢圖

天生一只又一只， 三四五六七八只。

鳳凰何少鳥何多， 啄盡人間千萬石（dan 量詞）。

相傳這是明代文人倫文敘為蘇軾畫的《百鳥歸巢圖》寫的一首題畫詩。作者借鳳少鳥多、啄盡人間口糧，揭露當時嚴重的階級對立，暗諷官吏多如牛毛，百姓不堪重負的黑暗現實，以抒發其激憤之情。這是一道小學的四則運算題，第一句兩數相加，第二句三組兩數相乘，它們的和剛好為100。數字巧用，工穩入轍，讀后耐人尋味。

三、風吹紅蓮

湖平如鏡一紅蓮， 出水亭亭五寸遠。

風吹觸波長二尺， 請問湖水多深淺？

這是流傳的印度紅蓮問題。平靜如鏡的湖面，托映出亭亭玉立的紅蓮，這種如詩如畫的景色，給人以美的享受。以此設題，情智兩絕。本題并不難解，難的是要運用語文知識正確理解題意。“觸波長二尺”，系指蓮頂至原生長地點共長二尺。可用平面幾何等腰三角形定理求得（答案為1.5尺）。此題意境頗佳，出水芙蓉，惹人憐愛，未符答案，不忍釋手。

四、海島測量

竿長為一測海島， 相距五十設兩標。

各退二三目落地， 分求島距與島高？

這是晉人劉徽所撰《海島算經》第一題，可用平面幾何相似三角形對應邊成比例的原理求得（答案為：島高51；島距分別是100與150，如題圖）。1600多年前，我們祖先就能把該原理運用到經濟、軍事、政治的實際生活中，中國無愧為科學技術之鄉。

五、百錢買百雞

公雞值五母雞三， 三只雞雛值一錢。

今有百錢買百雞， 問君大小各若干？

此題為《張丘建算經》中最后一題——有名的“百雞問題”。這類題在日常生活中常常碰到，用行列式線性方程組的原理可解（因求雞數須為正整數，所以答案有三：①如果公雞為4，母雞則為18，雞雛則為78；②如果公雞為8，母雞則為11；雞雛則為81；③如果公雞為12，母雞則為4，雞雛則為84）。可參閱李儼的《中國古代算學研究》。

六、李白沽酒

李白無事街上走，提壺去買酒。

遇店加一倍，見花喝一斗。

三遇店和花，喝光壺中酒。

試問壺中原有多少酒？

這是民間流傳甚廣的數學趣題。這里用了一個連鎖三段論推理，答案為0.75斗。其看似復雜，實則簡單，用初一代數法可解。該詩以名人故事為題，饒有趣味。

七、孫子問題

三歲孩兒七十稀， 五留廿一事尤奇，

七度上元重相會， 寒食清明便可知。

為后人增益的先秦古書《孫子算經》中的“孫子問題”，長期流傳民間，有“秦王暗點兵”“韓信點兵”“翦管術”“鬼谷算”等名稱。宋人把它的解法寫成上面四句詩。由于后人對“上元”（古時稱正月十五日為“上元”，所以“上元”暗指“15”）與“寒食清明”（古習俗“冬至”到“清明”為106天，“寒食”為“清明”前一天，所以“寒食清明”暗指“105”）不易理解，故而明代數學家程大佐所著《算法統宗》改為：

三人同行七十稀， 五樹梅花廿一枝。

七子團圓正半月， 除百零五便得知。

題意及演算式為：用3除余2，用5除余3，用7除余2，那么，這個最小正整數為：2×70+3×21+2×15-2×105=23。

前三句是點出了三、五、七與七十、廿一、十五的關系，后一句說明為了尋求最小正整數解，還須減一百零五或減一百零五的二倍，最后得出來的正為23。1852年《孫子算經》傳入歐洲，人們發現2000年前的中國人孫子的方法和當時歐洲著名數學家高斯的方法完全一樣，大為驚奇，便稱這個方法為“中國剩余定理”或“孫子剩余定理”。

當然，以詩詞形式設題，要受到字句的限制，今天我們也不提倡那種文字過簡妨礙理解的做法。但它可以說明科學與文學、語文和數學滲透的道理。沒有好的語文基礎，要正確理解數學應用題是有困難的。同樣，以數學為基礎和核心的自然科學就在我們的日常生活中，文學中的許多問題需要自然科學才能說明和辨正。我們亦舉數例。

唐代詩人白居易在初夏到江西廬山游大林寺，發現“人間四月芳菲盡，山寺桃花始盛開”，就寫了《大林寺桃花》這首詩，并寫了《游大林寺序》加以說明。但一些在平原生活的人還是不相信。到了北宋，當時的著名科學家沈括親臨廬山，目睹這一景象，便以山上山下氣候不同的理由加以說明；現代人倘從物候學角度加以闡明就更加清楚了。再如唐李商隱的《夜雨寄北》，為什么巴山常下“夜雨”？宋代蘇軾寫的“八月十八潮，壯觀天下無”，為什么這天錢塘江大潮特別壯觀呢？唐代來鵠的詩《云》：“無限旱苗枯欲盡，悠悠閑處作奇峰”，為什么有云卻不下雨呢？再如宋黃庭堅的《清平樂·晚春》：

春歸何處？寂寞無行路。

若有人知春去處，喚取歸來同住。

春無蹤跡誰知？除非問取黃鸝。

百囀無人能解，因風飛過薔薇。

春天到底什么時候來到人間，又在什么時候悄悄離去的呢？我國幅員廣闊，地形復雜，南北氣候差異很大。南方廣州，頭年十一月就春意盎然了；而后是四川盆地，二月下旬就入春了；接著是江西南昌、湖南長沙，三月八日至十日入春，武漢三月十二日入春。上海一帶的江南，三月二十八日入春；新疆吐魯番也是三月中旬進入春天。北方的春天來得較晚。北京開春約四月五日，沈陽四月十五日，哈爾濱四月二十七日，春到黑龍江漠河已是五月二十日了。更有些地方沒有春天，如南海諸島，海南島三亞一年四季都是夏天。而青藏高原北部海拔4000米以上，南部海拔4300米以上也沒有春天。詞人們問“春歸何處？”感嘆“寂寞無行路”，其實春天的蹤跡以自然科學的知識是可以找到的。

唐代張繼《楓橋夜泊》是一首好詩，寂寞的游子，金秋的深夜，淡月西沉，寒鴉唳聲，繁霜遍野，詩人無半點睡意。舉目望去，岸上颯颯紅楓，河畔星星漁火，仿佛相對愁眠。此時傳來寒山寺悠揚的鐘聲，更增添幾分夜境的凄涼。但到了宋代，歐陽修則認為：“句則佳矣，其如三更不是打鐘時。”后來一些詩人學者大多不贊同歐陽修的說法，紛紛提出證據，說明蘇州寒山寺確有半夜鐘，叫作“無常鐘”。宋代詩人孫覿為證實此事，寫有一首《過楓橋寺》的詩，其中寫道：“烏啼月落橋邊寺，倚枕猶聞半夜鐘”，證明半夜鐘聲不是張繼虛構的。不過，楓橋與寒山寺相隔數里之遙，鐘聲能傳那么遠嗎？從聲學角度探討則復雜得多。聲音在攝氏零度的空氣中傳播的速度每秒331米，空氣溫度升高，傳播速度就會加快；反之，傳播速度就會減慢。此外，聲音的傳播還與空氣的濕度、風向、風速、地形等都有關系，白天和夜晚聲波行進的路線凹形與凸形曲線不同。這夜半鐘聲越過“寂靜區”，到達了楓橋江畔，當是符合聲波傳播原理的。

在古代詩文中常出現作者留下的一些質疑，用現代數理科學則迎刃而解。如清代姚鼐名文《登泰山記》中有一段日觀亭觀日出的精彩描述：“極天云一線異色，須臾成五彩。日上，正赤如丹，下有紅光，動搖承之，或曰，此東海也。回視日觀以西峰，或得日，或否，絳皓駁色，而皆若僂。”這里的“或曰”，即有人說，這紅光動搖承接的地方是東海的波濤。究竟是不是東海，作者回避了它，給我們留下一個疑點。我們已知泰山的高度（玉皇頂海拔1545米，日觀峰略低于此，今亦按1545米計算）和它與東海的距離，用勾股定理即可求得斜邊之長（答案為140千米）。一般人視力所限為5千米左右，那么，作者站在泰山頂上，是肯定看不到那么遠的；所見到的是云海，絕非東海。這個文學上的疑問，用數學的知識就給辨正了。此外，我們還可以根據詩詞設題，如李白《送孟浩然之廣陵》：“孤帆遠影碧空盡，惟見長江天際流。”孤帆即將從眼底消失時，黃鶴樓與它的距離究竟有多遠呢？我們可以以此設題，亦用幾何中的勾股定理求得，借以鞏固語文、數學所學的知識，活躍思維，鍛煉靈活運用解決問題的能力。

魯迅先生在1936年寫給愛好文學的青年顏黎民的信中曾說道：“但我的意思，是以為你們不要專門看文學，關于科學的書以及游記（偏重理科知識的）之類，也應該看看的。”他在第二封信中又說：“專看文學書，也不好。先前的文學青年，往往厭惡數學、理化、史地、生物學，以為這些都是無足輕重，后來變成連常識也沒有，研究文學固然不明白，自己做起文章來也糊涂，所以我希望你們不要放開科學，一味鉆在文學里。譬如說罷，古人看見月缺花殘，黯然淚下，是可恕的，他那時自然科學還不發達，當然不明白這是自然現象。但如果現在的人還要下淚，那他就是糊涂蟲。”在今天，隨著科學技術的飛躍發展，出現了不少邊緣學科、交叉學科。我們既要掌握所學專業有關學科的知識，又要注意綜合技能的運用，應文理并重。聯系當前中學為了應試過早進行文理分班的現象，前輩于半個多世紀前諄諄告誡的話，對我們，尤其對青年學生仍有警示和現實教育作用。

作者單位：成都教育學院