基于Logistic模型的均值突變時間序列臨界預警研究

【摘要】突變理論由托姆在1972年創立，是系統在不同穩定狀態之間的轉變，廣泛存在于在氣候變化、傳染病暴發等復雜非線性系統中，通過系統的控制參數、狀態變量進行描述。本文首先分析了構造和臨界分析，然后分析了模型的可行性，最后分析了了模型的突變及其臨界行為。

【關鍵詞】Logistic模型 均值突變時間 臨界預警

【中圖分類號】O241.8 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）34-0236-02

1.構造與臨界分析

Logistic模型又稱為蟲口模型，是一種基于有限資源下，蟲口向一個有限數量的非線性進行擴展的過程，其方程可以表述如下：

x=ωx-kx2=xω-kx （1）

其中代表蟲口的數量，ω-kx代表增長系數，ω代表資源總量，k代表單位蟲口的消耗量，上式的解析解是：

x=ω/k1+ce-ωt （2）

其中c為常數，與初值x0、t0、ω、k相關，c=ω-kx0kx0eωt0

本文在方程（1）的求解過程中，構造如下差分格式：

xi+1=xi+τωxi-kx2i （3）

數值求解的結果存在于數組xi中。

方程（1）對系統狀態變量隨時間的增長速率進行表征，這是其物理意義。在變量不再發生改變的情況下，系統實現兩個平衡態，也就是 x=0時，x1=0，x2=ω/v。其中一個為暫時平衡態，另一個是穩態平衡態，這個模型中系統初值只能取正值，相關參數也只能取正值，為了對一般意義上的情況進行討論，代換（1）式，令μ=ω/k，在全空間取值，得到x=kxμ-x。

2.模型的可行性分析

通過上文構造的差分格式對數值結果進行求解，控制于該模型的系統狀態變量如果與反向平衡態有所偏離，則意味著其無法穩定存在，發散速度很快，系統狀態變量的變化趨勢是無窮大，否則趨向于，在控制參數k較小，且大于零的情況下，系統總是穩定存在，并且其變化趨勢為；在k<0的情況下，系統總是穩定存在，變化趨勢是 x=0，發現系統初始狀態系統總是趨向于x；在x=0，在系統初值變化區間為0-的情況下，無法對系統的趨向進行準確判斷。

3.模型的突變分析及其臨界行為

對Logistic的模型參數不同，對突變情況進行分析的結果也不同，如圖1所示，其中圖1（a）是在固定k=0.01的情況下，取值不同的情況下系統的突變情況，參數對其突變程度進行了描述，突變程度越大，系統狀態變量趨近于的時間隨著突變程度的增大而縮短，圖1（b）是在固定的情況下，系統狀態變量隨著參數K的取值的不同不斷趨向于平衡態的情況，k值對狀態變量向平衡態趨近的速率進行了描述，系統完成突變的時間隨著速率的增加而縮短。突變過程越大，危害程度也相應越大。

為了對系統突變造成的危害進行進一步描述，本文對突變強度進行定義：

η=x0.95μ-x0.05μt0.95-t0.05

系統初值取x0=0.01，t0=0，η的數值結算隨著參數μ，k的不同取值結果得出不同的數值結果，控制參數的取值不斷變大，系統突變強度也不斷變強，且系統突變強度的增長速度和μ2、k呈現出正相關關系。

η=α-βμ2kInχ，χ=α1-ββ1-α （4）

其中α=0.95，β=0.05，參數μ，k共同決定系統的突變強度。

系統初值取，的數值結算隨著參數，k的不同取值結果得出不同的數值結果，控制參數的取值不斷變大，系統突變強度也不斷變強，且系統突變強度的增長速度和2、k呈現出正相關關系。

方程（1）等號兩邊對時間同時求導，求導之后能夠得到系統回復力的函數表達式：

x=μkx-2kxx=2k2xx-μ/2x-μ （5）

系統的回復力在x=0，x=μ/2，x=μ處為零。如圖2所示，各參數取值分別為：x0=0.01，μ=4.0，k=0.001

（a）系統狀態變量隨時間的演化；（b），（c）分別是對應的回復速率和回復力隨時間的演化情況

本文通過非線性方程構造突變模型，定義強度指數，研究了系統回復力變化情況，由于受制于資料長度，本文僅檢驗了一次突變個例，是否對其他突變依舊具有警示意義尚需要更加深入的驗證，除此之外，多種要素耦合之下產生實際突變，怎樣及早確定預警信號，在今后的實際工作中亟需解決。

參考文獻：

[1]陳忠升.中國西北干旱區河川徑流變化及歸因定量辨識[D].華東師范大學，2016.

作者簡介：

王艷（1985-），女，寧夏人，碩士研究生，研究方向：代數表示論。