關(guān)于算術(shù)平均數(shù)計(jì)算方法的思考

袁勝波

【中圖分類(lèi)號(hào)】G633.6 【文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼】A 【文章編號(hào)】2095-3089（2016）34-0167-02

平均分析的方法在整個(gè)統(tǒng)計(jì)方法體系中占有十分重要的地位，很多統(tǒng)計(jì)分析方法都以平均分析為依托。譬如動(dòng)態(tài)分析，指數(shù)分析，抽樣估計(jì)，回歸分析等等，無(wú)一不與平均分析相關(guān)聯(lián)，具有基礎(chǔ)性作用。而算術(shù)平均數(shù)又是所有平均數(shù)里面最為基本最為重要的一種平均數(shù)。但一直以來(lái)，在統(tǒng)計(jì)學(xué)教科書(shū)的編寫(xiě)上，對(duì)于算術(shù)平均數(shù)計(jì)算方法的闡述，卻存在較大的弊端，以至于對(duì)教學(xué)產(chǎn)生了不利影響。

一、算術(shù)平均數(shù)是否存在“基本公式”？

幾乎所有的統(tǒng)計(jì)教材都會(huì)在具體介紹算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法之前，先給出一個(gè)算術(shù)平均數(shù)的基本公式，即：算術(shù)平均數(shù)=標(biāo)志總量/總體總量。可以舉出許多例子，說(shuō)明算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算符合這個(gè)基本公式。譬如，三個(gè)學(xué)生的身高分別為1.7m，1.6m，1.5m，身高的算術(shù)平均數(shù)=總身高/總?cè)藬?shù)=Σx/n=（1.7+1.6+1.5）/3=1.6m。符合“基本公式”。如果在已分組（變量數(shù)列）條件下，譬如有30名學(xué)生的身高資料：

身高（m.） 人數(shù)（人）f. 組中值x. 總身高xf

1.5～1.6 10 1.55 15.5

1.6～1.7 18 1.65 29.7

1.7～1.8 2 1.75 3.5

Σ 30 — 48.7

30名學(xué)生身高的算術(shù)平均數(shù)=Σxf/Σf=48.7/30=1.62m。不管是未分組或是已分組，不管是簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)或是加權(quán)算術(shù)平均數(shù)，都是用總身高比總?cè)藬?shù)，符合“標(biāo)志總量/總體總量”這一“基本公式”的算法。

但只要稍加推廣，這個(gè)“基本公式”并不“基本”，并不具備任何普遍意義，計(jì)算上存在很大的局限性，實(shí)際上只適用于對(duì)絕對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù)。比如上面學(xué)生身高就是絕對(duì)數(shù)，平均身高的算法就符合所謂基本公式的算法。如果平均的對(duì)象即各單位變量值是對(duì)相對(duì)數(shù)或平均數(shù)，這個(gè)基本公式就不適用了。譬如，三個(gè)班的學(xué)生考同一科的及格率分別為90%，85%，80%，求平均及格率。這是對(duì)3個(gè)單位的3個(gè)相對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù)，這個(gè)時(shí)候能不能用“標(biāo)志總量/總體總量”？回答顯然是否定的。首先，不能計(jì)算標(biāo)志總量。因?yàn)槿齻€(gè)單位的變量值是相對(duì)量，不是絕對(duì)量，不具有可加性；其次，總體總量為3，這個(gè)3也不能加入計(jì)算。即不能把3個(gè)百分比相加除以3得到3個(gè)班的平均及格率。再譬如，3個(gè)班考同一科的平均成績(jī)分別為90分，85分，80分，求總平均成績(jī)。這是對(duì)3個(gè)單位的3個(gè)平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)。同樣，不能將3個(gè)平均成績(jī)相加除以3得到總平均成績(jī)。3個(gè)單位的變量值是平均量，不是絕對(duì)量，不能相加得到標(biāo)志總量。總體總量3也不能加入計(jì)算。所以，這個(gè)所謂基本公式，原本就沒(méi)有廣泛的適用性。

二、統(tǒng)計(jì)教材未能就算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法闡述清楚

闡述方法先從概念入手。一般教材都把平均數(shù)的概念表述為變量值的一般水平。這固然是正確的。但這還不夠，還應(yīng)當(dāng)進(jìn)一步指出，變量值的數(shù)值形式是多種多樣的，可以是絕對(duì)數(shù)，也可以是相對(duì)數(shù)，還可是平均數(shù)本身。平均數(shù)不是基本的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)，它是各種各樣的統(tǒng)計(jì)指標(biāo)的代表值。它可以是絕對(duì)數(shù)的代表值，如此3個(gè)學(xué)生的平均身高，也可以是相對(duì)數(shù)的代表值，比如3個(gè)班的平均及格率，還可以是平均數(shù)的代表值，比如3個(gè)班的總平均成績(jī)。這正是統(tǒng)計(jì)教材闡述算術(shù)平均數(shù)時(shí)所缺失的內(nèi)容，從而導(dǎo)致了理解和掌握算術(shù)平均數(shù)的困難。

在統(tǒng)計(jì)教材里面，一般都先使用對(duì)絕對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù)的例子引出簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算公式，然后再舉一個(gè)已分組（變量數(shù)列）條件下對(duì)相對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù)的例子。以下就是最常見(jiàn)的例子：

計(jì)劃完成 企業(yè)數(shù) 計(jì)劃數(shù). 組中值. 實(shí)際數(shù)

（%） （家） （萬(wàn)元）f. （%）x （萬(wàn)元）xf

80～90 5 1000 85 850

90～100 15 10000 95 9500

100～110 10 8000 105 8400

Σ. 30 19000 - 18750

30個(gè)企業(yè)的平均計(jì)劃完成程度=總實(shí)際數(shù)/總計(jì)劃數(shù)=Σxf/Σf=18750/19000=98.7%。每當(dāng)編寫(xiě)到此，編者都要給讀者指出一個(gè)“重要問(wèn)題”，即：“此處存在一個(gè)權(quán)數(shù)選擇問(wèn)題，似乎企業(yè)數(shù)可以作權(quán)數(shù)，實(shí)際上不能作權(quán)數(shù)，只能將計(jì)劃數(shù)作權(quán)數(shù)”等等。編者似乎忘記了或者回避了前面已經(jīng)交代過(guò)的算術(shù)平均數(shù)的“基本公式”。但到底是什么原因不能用“基本公式”去計(jì)算這30個(gè)企業(yè)的平均計(jì)劃完成程度？為什么這里的企業(yè)數(shù)不能作權(quán)數(shù)加入計(jì)算，而要用計(jì)劃數(shù)作權(quán)數(shù)加入計(jì)算？從來(lái)都沒(méi)有一個(gè)使人信服的說(shuō)法。這就使讀者產(chǎn)生很大的疑惑，甚至是一頭霧水：到底按不按“基本公式”計(jì)算？“基本公式”還有沒(méi)有用？這就無(wú)形中加大了統(tǒng)計(jì)學(xué)的教學(xué)難度。

縱觀林林總總的統(tǒng)計(jì)教材，在闡述算術(shù)平均數(shù)的部分，幾乎都普遍存在幾個(gè)奇怪的現(xiàn)象：其一，幾乎所有編者都一成不變的這樣寫(xiě)，從來(lái)沒(méi)有花樣翻新；其二，幾乎所有編者都去舉例說(shuō)明在已分組條件下對(duì)相對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù)，都不去舉例說(shuō)明在已分組條件下對(duì)平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)；其三，幾乎所有編者都不涉及在未分組條件下對(duì)相對(duì)數(shù)或平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)，比如上面所舉3個(gè)班的及格率的平均數(shù)，3個(gè)班的平均成績(jī)的平均數(shù)。似乎原本就不存在這樣的問(wèn)題，這是很讓人匪夷所思的事情。

三、在統(tǒng)計(jì)學(xué)中，應(yīng)當(dāng)如何闡述算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法？

（一）應(yīng)當(dāng)徹底擯棄算術(shù)平均數(shù)的“基本公式”。正是這個(gè)所謂基本公式的存在和一直沿襲，產(chǎn)生了嚴(yán)重的誤導(dǎo)作用，導(dǎo)致了算術(shù)平均數(shù)計(jì)算方法的教學(xué)困惑和迷茫。

（二）應(yīng)當(dāng)按平均對(duì)象的數(shù)值形式（絕對(duì)數(shù)，相對(duì)數(shù)，平均數(shù)）分別介紹算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法。

先闡述對(duì)絕對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù)。闡明兩點(diǎn)：其一，對(duì)絕對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù)的確存在一個(gè)統(tǒng)一的計(jì)算公式，即：標(biāo)志總量/總體總量。其二，在未分組條件下使用簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)的方法，在已分組條件下使用加權(quán)算術(shù)平均的方法，各組次數(shù)（頻數(shù)或頻率）就是權(quán)數(shù)。顯然，開(kāi)始就用對(duì)絕對(duì)數(shù)計(jì)算平均數(shù)的例子引出簡(jiǎn)單算術(shù)平均數(shù)和加權(quán)算術(shù)平均數(shù)的公式，比較淺顯易懂。

再闡述對(duì)相對(duì)數(shù)或平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)。闡明兩點(diǎn)：其一，對(duì)相對(duì)數(shù)或平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)，無(wú)論是否已分組，都不能采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均法，要采用加權(quán)算術(shù)平均法。比如，對(duì)前面3個(gè)班及格率計(jì)算平均數(shù)，不能簡(jiǎn)單相加除以3，要用3個(gè)班的參考人數(shù)作權(quán)數(shù)加權(quán)平均。因?yàn)榧案衤实挠?jì)算，無(wú)論是各個(gè)班計(jì)算，或是將3個(gè)班合起來(lái)計(jì)算，都是用及格人數(shù)比參考人數(shù)。同理，3個(gè)班的總平均成績(jī)的計(jì)算，同樣要用3個(gè)班的參考人數(shù)作權(quán)數(shù)加權(quán)計(jì)算。沒(méi)有權(quán)數(shù)，就不能計(jì)算平均數(shù)。其二，對(duì)相對(duì)數(shù)或平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)，不存在統(tǒng)一的計(jì)算公式。由于相對(duì)數(shù)和平均數(shù)都是派生指標(biāo)，要根據(jù)具體的相對(duì)數(shù)和平均數(shù)本身的算法去計(jì)算。因?yàn)槠骄鶖?shù)是平均對(duì)象的代表值，平均的結(jié)果不能擺脫平均對(duì)象的本來(lái)屬性。比如上面計(jì)算的平均計(jì)劃完成程度98.7%，其本身仍然是一個(gè)計(jì)劃完成相對(duì)數(shù)，只不過(guò)是30個(gè)企業(yè)的計(jì)劃完成程度的代表值。各個(gè)企業(yè)的計(jì)劃完成程度是用實(shí)際數(shù)比計(jì)劃數(shù)，把30個(gè)企業(yè)合起來(lái)計(jì)算一個(gè)計(jì)劃完成程度，也同樣是用總實(shí)際數(shù)比總計(jì)劃數(shù)。因而，在已分組條件下，必然要用各組計(jì)劃數(shù)作權(quán)數(shù)加權(quán)平均。假如給出的是未分組資料，即給出30個(gè)企業(yè)的計(jì)劃完成百分比，也不能采用簡(jiǎn)單算術(shù)平均的方法，把30個(gè)百分比相加除以30。所以，作為總體總量的30個(gè)企業(yè)，原本就不能加入計(jì)算。因此，就不存在權(quán)數(shù)的“選擇問(wèn)題”。再譬如，有30個(gè)企業(yè)生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，給出的是按單位成本分組的資料，要計(jì)算30個(gè)企業(yè)的平均單位成本。這是在已分組條件下對(duì)平均數(shù)計(jì)算平均數(shù)。各組的產(chǎn)量自然是權(quán)數(shù)。因?yàn)閱挝怀杀镜挠?jì)算，無(wú)論是各個(gè)企業(yè)計(jì)算，或是30個(gè)企業(yè)合起來(lái)計(jì)算，都是總成本比總產(chǎn)量。作為總體總量的30個(gè)企業(yè)不能加入計(jì)算，同樣不存在“權(quán)數(shù)的選擇問(wèn)題”。

以這樣的思路去闡述算術(shù)平均數(shù)的計(jì)算方法，或許更為合理更為準(zhǔn)確，對(duì)教學(xué)更為方便。

隨著經(jīng)濟(jì)快速發(fā)展和社會(huì)全面進(jìn)步，統(tǒng)計(jì)學(xué)的運(yùn)用越來(lái)越廣泛，尤其是即將到來(lái)的大數(shù)據(jù)時(shí)代，更需要人們掌握和運(yùn)用各種各樣的統(tǒng)計(jì)方法和技能，以適應(yīng)時(shí)代的要求。同時(shí)，統(tǒng)計(jì)學(xué)也必然迎來(lái)前所未有的發(fā)展機(jī)遇，統(tǒng)計(jì)方法的研究和創(chuàng)新有著更為廣闊的空間，對(duì)于統(tǒng)計(jì)學(xué)里面一些帶基礎(chǔ)性的方法問(wèn)題更有必要澄清和理順，這正是本文的初衷。