關于算術平均數計算方法的思考

袁勝波

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2016）34-0167-02

平均分析的方法在整個統計方法體系中占有十分重要的地位，很多統計分析方法都以平均分析為依托。譬如動態分析，指數分析，抽樣估計，回歸分析等等，無一不與平均分析相關聯，具有基礎性作用。而算術平均數又是所有平均數里面最為基本最為重要的一種平均數。但一直以來，在統計學教科書的編寫上，對于算術平均數計算方法的闡述，卻存在較大的弊端，以至于對教學產生了不利影響。

一、算術平均數是否存在“基本公式”？

幾乎所有的統計教材都會在具體介紹算術平均數的計算方法之前，先給出一個算術平均數的基本公式，即：算術平均數=標志總量/總體總量。可以舉出許多例子，說明算術平均數的計算符合這個基本公式。譬如，三個學生的身高分別為1.7m，1.6m，1.5m，身高的算術平均數=總身高/總人數=Σx/n=（1.7+1.6+1.5）/3=1.6m。符合“基本公式”。如果在已分組（變量數列）條件下，譬如有30名學生的身高資料：

身高（m.） 人數（人）f. 組中值x. 總身高xf

1.5～1.6 10 1.55 15.5

1.6～1.7 18 1.65 29.7

1.7～1.8 2 1.75 3.5

Σ 30 — 48.7

30名學生身高的算術平均數=Σxf/Σf=48.7/30=1.62m。不管是未分組或是已分組，不管是簡單算術平均數或是加權算術平均數，都是用總身高比總人數，符合“標志總量/總體總量”這一“基本公式”的算法。

但只要稍加推廣，這個“基本公式”并不“基本”，并不具備任何普遍意義，計算上存在很大的局限性，實際上只適用于對絕對數計算平均數。比如上面學生身高就是絕對數，平均身高的算法就符合所謂基本公式的算法。如果平均的對象即各單位變量值是對相對數或平均數，這個基本公式就不適用了。譬如，三個班的學生考同一科的及格率分別為90%，85%，80%，求平均及格率。這是對3個單位的3個相對數計算平均數，這個時候能不能用“標志總量/總體總量”？回答顯然是否定的。首先，不能計算標志總量。因為三個單位的變量值是相對量，不是絕對量，不具有可加性；其次，總體總量為3，這個3也不能加入計算。即不能把3個百分比相加除以3得到3個班的平均及格率。再譬如，3個班考同一科的平均成績分別為90分，85分，80分，求總平均成績。這是對3個單位的3個平均數計算平均數。同樣，不能將3個平均成績相加除以3得到總平均成績。3個單位的變量值是平均量，不是絕對量，不能相加得到標志總量。總體總量3也不能加入計算。所以，這個所謂基本公式，原本就沒有廣泛的適用性。

二、統計教材未能就算術平均數的計算方法闡述清楚

闡述方法先從概念入手。一般教材都把平均數的概念表述為變量值的一般水平。這固然是正確的。但這還不夠，還應當進一步指出，變量值的數值形式是多種多樣的，可以是絕對數，也可以是相對數，還可是平均數本身。平均數不是基本的統計指標，它是各種各樣的統計指標的代表值。它可以是絕對數的代表值，如此3個學生的平均身高，也可以是相對數的代表值，比如3個班的平均及格率，還可以是平均數的代表值，比如3個班的總平均成績。這正是統計教材闡述算術平均數時所缺失的內容，從而導致了理解和掌握算術平均數的困難。

在統計教材里面，一般都先使用對絕對數計算平均數的例子引出簡單算術平均數和加權算術平均數的計算公式，然后再舉一個已分組（變量數列）條件下對相對數計算平均數的例子。以下就是最常見的例子：

計劃完成 企業數 計劃數. 組中值. 實際數

（%） （家） （萬元）f. （%）x （萬元）xf

80～90 5 1000 85 850

90～100 15 10000 95 9500

100～110 10 8000 105 8400

Σ. 30 19000 - 18750

30個企業的平均計劃完成程度=總實際數/總計劃數=Σxf/Σf=18750/19000=98.7%。每當編寫到此，編者都要給讀者指出一個“重要問題”，即：“此處存在一個權數選擇問題，似乎企業數可以作權數，實際上不能作權數，只能將計劃數作權數”等等。編者似乎忘記了或者回避了前面已經交代過的算術平均數的“基本公式”。但到底是什么原因不能用“基本公式”去計算這30個企業的平均計劃完成程度？為什么這里的企業數不能作權數加入計算，而要用計劃數作權數加入計算？從來都沒有一個使人信服的說法。這就使讀者產生很大的疑惑，甚至是一頭霧水：到底按不按“基本公式”計算？“基本公式”還有沒有用？這就無形中加大了統計學的教學難度。

縱觀林林總總的統計教材，在闡述算術平均數的部分，幾乎都普遍存在幾個奇怪的現象：其一，幾乎所有編者都一成不變的這樣寫，從來沒有花樣翻新；其二，幾乎所有編者都去舉例說明在已分組條件下對相對數計算平均數，都不去舉例說明在已分組條件下對平均數計算平均數；其三，幾乎所有編者都不涉及在未分組條件下對相對數或平均數計算平均數，比如上面所舉3個班的及格率的平均數，3個班的平均成績的平均數。似乎原本就不存在這樣的問題，這是很讓人匪夷所思的事情。

三、在統計學中，應當如何闡述算術平均數的計算方法？

（一）應當徹底擯棄算術平均數的“基本公式”。正是這個所謂基本公式的存在和一直沿襲，產生了嚴重的誤導作用，導致了算術平均數計算方法的教學困惑和迷茫。

（二）應當按平均對象的數值形式（絕對數，相對數，平均數）分別介紹算術平均數的計算方法。

先闡述對絕對數計算平均數。闡明兩點：其一，對絕對數計算平均數的確存在一個統一的計算公式，即：標志總量/總體總量。其二，在未分組條件下使用簡單算術平均數的方法，在已分組條件下使用加權算術平均的方法，各組次數（頻數或頻率）就是權數。顯然，開始就用對絕對數計算平均數的例子引出簡單算術平均數和加權算術平均數的公式，比較淺顯易懂。

再闡述對相對數或平均數計算平均數。闡明兩點：其一，對相對數或平均數計算平均數，無論是否已分組，都不能采用簡單算術平均法，要采用加權算術平均法。比如，對前面3個班及格率計算平均數，不能簡單相加除以3，要用3個班的參考人數作權數加權平均。因為及格率的計算，無論是各個班計算，或是將3個班合起來計算，都是用及格人數比參考人數。同理，3個班的總平均成績的計算，同樣要用3個班的參考人數作權數加權計算。沒有權數，就不能計算平均數。其二，對相對數或平均數計算平均數，不存在統一的計算公式。由于相對數和平均數都是派生指標，要根據具體的相對數和平均數本身的算法去計算。因為平均數是平均對象的代表值，平均的結果不能擺脫平均對象的本來屬性。比如上面計算的平均計劃完成程度98.7%，其本身仍然是一個計劃完成相對數，只不過是30個企業的計劃完成程度的代表值。各個企業的計劃完成程度是用實際數比計劃數，把30個企業合起來計算一個計劃完成程度，也同樣是用總實際數比總計劃數。因而，在已分組條件下，必然要用各組計劃數作權數加權平均。假如給出的是未分組資料，即給出30個企業的計劃完成百分比，也不能采用簡單算術平均的方法，把30個百分比相加除以30。所以，作為總體總量的30個企業，原本就不能加入計算。因此，就不存在權數的“選擇問題”。再譬如，有30個企業生產同一種產品，給出的是按單位成本分組的資料，要計算30個企業的平均單位成本。這是在已分組條件下對平均數計算平均數。各組的產量自然是權數。因為單位成本的計算，無論是各個企業計算，或是30個企業合起來計算，都是總成本比總產量。作為總體總量的30個企業不能加入計算，同樣不存在“權數的選擇問題”。

以這樣的思路去闡述算術平均數的計算方法，或許更為合理更為準確，對教學更為方便。

隨著經濟快速發展和社會全面進步，統計學的運用越來越廣泛，尤其是即將到來的大數據時代，更需要人們掌握和運用各種各樣的統計方法和技能，以適應時代的要求。同時，統計學也必然迎來前所未有的發展機遇，統計方法的研究和創新有著更為廣闊的空間，對于統計學里面一些帶基礎性的方法問題更有必要澄清和理順，這正是本文的初衷。