船舶推進軸系縱橫耦合非線性動力學分析—葉頻激勵下橫向主共振響應

鄒冬林，張建波，塔 娜，饒柱石

（上海交通大學 a.振動、沖擊、噪聲研究所；b.機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

船舶推進軸系縱橫耦合非線性動力學分析—葉頻激勵下橫向主共振響應

鄒冬林a，b，張建波a，b，塔 娜a，b，饒柱石a，b

（上海交通大學 a.振動、沖擊、噪聲研究所；b.機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240）

在考慮Von Karman非線性位移—應變關系下，基于Hamilton變分原理建立了船舶推進軸系縱橫耦合非線性動力學方程。利用Galerkin方法，導出系統第一階模態振動微分方程，采用多尺度法求解該方程。獲得了葉頻激勵下橫向主共振響應方程組，利用偽弧長延拓法數值求解了該方程組的平衡解并分析了其穩定性。探討了支承剛度、激勵載荷、螺旋槳質量、阻尼比以及細長比對軸系縱橫耦合效應的影響。研究表明：細長比越小，激勵載荷越大，阻尼比越小，系統縱橫耦合效應越強；增加后艉軸承剛度可以抑制縱橫耦合效應，增加前艉軸承以及推力軸承剛度則增強縱橫耦合效應，而中間軸承對其沒有明顯影響；與線性模型相比，縱橫耦合效應使軸系橫向共振時的頻率大于其線性固有頻率，在某些激勵頻率處，幅頻響應曲線上存在多解使幅值出現跳躍現象。分析結果對船舶推進軸系的設計有指導意義。

船舶軸系；縱橫耦合；多尺度法；主共振

0 引 言

船舶推進軸系作為船舶水中航行的動力系統，是船舶組件中非常重要的部件，因此對推進軸系的動力學特性分析一直以來都是國內外研究的熱點[1-3]。早期對推進軸系的研究集中在線性振動問題的分析上，包含了固有頻率、模態分析以及不平衡響應等等。當軸系跨度小、激勵力較小而產生的振動幅值較小時，縱向與橫向振動耦合作用較弱，兩者分別為線性振動，可以采用線性振動理論進行分析計算。如文獻[4]分析了不同中間軸承布置方案對船舶軸系力學性能的影響。文獻[5]分析了不同位置不同支承長度的軸承條件下固有振動特性。文獻[6]分析了艉軸承單點和雙點支承下軸系的振動特性。然而簡單的線性近似不能精確地給出系統動力學行為，也無法解釋工程實際中的一些非線性現象。例如，多頻現象，組合共振，參激振動，自激振動，極限環，分岔，振幅跳躍甚至混沌運動等非線性振動特有的現象。這些現象給工程設計帶來隱患。僅研究線性振動問題無能為力，因此有必要建立系統的非線性動力學模型來加以分析。對于船舶軸系，一方面由于其跨度大，細長比小，當激勵力較大時，容易引起軸系較大振動；另一方面其葉頻有可能落在軸系第一階橫向固有頻率內而引起共振，此時橫向振動變得很大，進而其縱、橫向變形之間的彈性耦合作用變得相當嚴重，從而引起軸系異常振動，所以研究軸系縱橫耦合非線性振動有重要的意義。近年來國內外學者對縱橫耦合引起的非線性現象給予了極大的關注。文獻[7-8]利用有限差分法研究了海洋平臺的立柱在縱橫耦合下的自由振動與強迫響應。文獻[9-10]利用偽弧長延拓法與數值積分法研究了軸向運動梁在縱橫耦合作用下產生內共振時的能量滲透問題。文獻[11]利用有限元法研究了簡支梁在縱橫耦合作用下的強迫振動。文獻[12]利用增量諧波平衡法研究了軸向運動梁在縱橫耦合作用下的內共振問題。文獻[13]研究了變質量梁（火箭發射）在縱橫耦合作用下的系統動力學行為。文獻[14-16]利用多尺度法研究了轉子在縱橫耦合作用下的自由振動與主共振響應。文獻[17]應用多尺度法研究了勻轉速、順臂安裝下懸臂梁的主參激共振與外激勵1/2次亞諧共振同時作用時梁的動力學響應。這些文獻都充分揭示了梁或轉子在縱耦合作用下的豐富的非線性動力學特性。

目前大多數模型都是針對簡支梁或者懸臂梁模型，邊界條件比較簡單，難以滿足工程實際需要。同時由于簡支梁和懸臂梁的一階縱向振動頻率遠離一階橫向振動頻率，因而多數研究都是直接忽略縱向慣性的影響。然而船舶推進軸系是一個典型的多支承多質量系統，同時由于端部螺旋槳以及縱向推力軸承的影響，其縱向慣性很大，縱向振動對系統振動的影響將不可忽略。基于上述原因，本文針對船舶實際結構，考慮多支承及端部集中質量的影響，建立軸系縱橫耦合動力學模型，考慮縱向慣性效應，研究當葉頻接近第一階橫向固有頻率軸系發生主共振時的動力學特性。分析結果對船舶推進軸系的設計具有一定的指導借鑒意義。

1 動力學模型

典型的船舶推進軸系由螺旋槳、后艉軸承、前艉軸承、中間軸承以及推力軸承組成，如圖 1所示。為了簡化分析，假設軸系具有均勻截面，螺旋槳簡化為集中質量，各軸承簡化為具有剛度的彈簧。

采用瑞利梁力學模型，考慮轉動慣量忽略剪切變形的影響，利用Hamilton變分原理建立相應的非線性動力學方程。考慮Von Karman位移-應變關系[7]，同時設O（u）～O（ v2）～O（w2），即軸系縱向應變與橫向應變相比為高階小量。

圖1 船舶推進軸系簡圖Fig.1 Schematic ofmarine propulsion shafting

軸系的勢能由軸段應變能和支承彈簧的彈性勢能組成，其表達式為：

式中前兩項為線性應變能，后兩項為彎縱耦合引起的非線性應變能。其中：E為彈性模量；A為軸段截面積；Id為截面慣性矩；L為軸系長度；u，v，w為分別為軸的縱向（x向），橫向（y向）與垂向（z向）振動位移。

式中：kj為各徑向軸承剛度；xj為螺旋槳到各徑向支承的距離；kt為推力軸承剛度。類似地，軸系動能也由軸段動能與螺旋槳動能兩部分組成：

上式中沒有包括旋轉動能，因為旋轉動能屬于剛體轉動，不產生變形。同時也忽略了陀螺效應的影響。

式中：M1為螺旋槳質量；Jd1為螺旋槳直徑轉動慣量。

外載荷做功包括隨轉頻激勵的不平衡載荷、隨葉頻激勵的流體載荷以及縱向脈動載荷。由于本文只研究葉頻激勵下的軸系橫向（垂向）主共振，為了簡化分析，設其它載荷為零，只考慮葉頻載荷。因此外載荷做功為：

式中：F為葉頻激勵載荷；α為相位；Ω為轉速，假設為7葉槳。由Hamilton變分原理可得：代入動能、勢能與外載荷功，引入狄拉克函數δ（）x描述支承剛度的影響，可推得軸系彎縱耦合下

的振動偏微分方程為：

對應的線性邊界條件為：

式中理論上應該是非線性邊界條件，取為線性邊界條件時一方面簡化了分析，另一方面對系統全局動力學不會帶來影響[18]。

2 方程無量剛化與離散

將（9）式代入（7）式中，去掉星號得：

同理，（8）式也可以變為：

利用Galerkin方法將偏微分方程離散為常微分方程，試探函數采用線性模態振型。選取一階模態，記

式中：φ1（x）為縱向第1階模態振型；φ1（x）為垂向與橫向第1階模態振型。將（12）式代入（10）式得：

將（13）式乘以φ1（x），并積分得：

將（15）式分部積分并結合邊界條件（11）式可得：

同理，（14）式也可化為：

由于模態向量關于質量與剛度正交[19]，假設模態振型按質量歸一化，則有：

式中：ωun為縱向第n階無量綱固有頻率。

式中：ωzn為橫向第n階無量綱固有頻率。

利用（18）式、（19）式，（16）式和（17）式分別可化為：

引入阻尼比，則（20）式與（21）式進一步可化為：

3 多尺度法求解方程

本文采用多尺度法來求解（23）式這一弱非線性問題。與正則攝動法相比，多尺度法的明顯優點是不僅能計算周期運動，而且能計算耗散系統的衰減振動；不僅能計算穩態響應，而且能計算非穩態過程；可以分析穩態響應的穩定性，描繪非自治系統的全局運動性態[20]。本文只考慮一次近似解。引入小參數ε和兩個時間尺度Tn=εn（t）（n=0,2），由求導法則得：

式中：Dn為偏微分算子符號，定義為

由于在推導軸系縱橫耦合動力學方程時，假設O（u）～O（ v2）～O（w2），所以設解的形式為：

為了獲得一致有效的近似解，必須使橫向阻尼、激勵載荷與非線性項均出現在同一階方程上，為此設ξz1=ε2，f=ε2f*，代入（23）式并去掉星號后得各階近似方程：

將一次近似方程的通解寫成：

式中：A為待定復函數，由消去長期項得到。代入二次近似方程右邊得：

其特解為：

代入三次近似方程得：

設7Ω-ε2σ=ωz1，其中σ為頻率失調參數。代入（30）式消去長期項得：

把復數A寫成極坐標形式：

代入上式，并分離實部與虛部：

令r=-θ+σT2+α，將上式化為自治系統得：

結合（12）式、（25）式、（27）式和（32）式，橫向振動的一階近似解為：

式中：a，r由（36）式決定。

對穩態解進行穩定性分析，對（34）式右端關于a，r求Jacobian矩陣：

式中：a0，r0為滿足（35）式的平衡解。（38）式的特征多項式為：

由穩定性理論可知，當（39）式的根全為負數時，平衡解穩定。由此可得穩定性條件為：

4 算例分析

以某一船舶推進軸系為算例，軸系長度14.5 m，外徑240 mm，內徑120 mm，軸系細長比s為 0.004 6，材料彈性模量210 GPa，密度7 800 kg/m3。軸系各支承參數：后艉軸承徑向剛度2.5×108N/m；前艉軸承徑向剛度0.8×108N/m；中間軸承徑向剛度3×108N/m；推力軸承剛度3×108N/m。螺旋槳質量為6 t，直徑轉動慣量為3 000 kg·m2。假設橫向葉頻載荷F為1 000 N，阻尼比ξz1為0.01。表1是采用有限單元法求得軸系彎曲方向前兩階與縱向第一階線性固有頻率（不考慮軸向靜推力）。

表1 軸系固有頻率Tab.1 The frequency of the shaft

本文探討各支承剛度、螺旋槳質量以及細長比對非線性參數γ的影響，揭示軸系縱橫耦合效應的影響因素與規律。由（22）式可知，求取γ時要對各階振型進行求導和積分運算。對于船舶推進軸系，由于邊界條件復雜，難以求得振型的解析解，只能獲取數值解。本文利用有限單元法求得振型的數值解，再將這些離散點擬合成B樣條曲線，進而對B樣條曲線進行求導與積分運算[21]。大量實例表明B樣條曲線在數據較為稀疏的情形下擬合效果也很理想。

圖2反應了軸系各參數對非線性參數 的影響。從圖中可以得出：在一定范圍內增大后艉軸承剛度可以抑制縱橫耦合效應；在一定范圍內增大前艉軸承剛度和推力軸承剛度可以增加縱橫耦合效應；中間軸承對縱橫耦合效應影響不明顯；增大螺旋槳質量，減少細長比可以增加縱橫耦合效應。

圖2 軸系各參數對縱橫耦合效應的影響Fig.2 Effectof the shaft parameters on the geometric nonlinear

采用偽弧長延拓法[22]數值求解（36）式，以σ為分岔參數，得到幅值頻率響應曲線（計算參數由前面給出）。圖3是考慮與不考慮縱橫耦合作用下幅頻響應曲線對比（本文所計算的響應均為靠螺旋槳處）。左邊的圖是不考慮縱橫耦合時的幅頻曲線，右邊是考慮其影響時的幅頻曲線。由此可得，縱橫耦合效應使軸系共振時的頻率略大于其線性固有頻率，從而使幅頻曲線向右彎曲。對于某些σ值，系統存在三個解，其中有兩個解是穩定的，一個解是不穩定的（CD間的解不穩定），使得幅頻曲線上出現了振幅跳躍現象。在升速時，軸系振幅沿A→B→C跳躍到E→F路徑變化；降速時沿F→E→D跳躍到B→A路徑變化；在BE以內，軸系振幅在BC與DE間來回變化。這種跳躍性會使軸系產生應力突變，引起疲勞斷裂，工程中應避免。

圖3 線性與非線性下幅頻響應曲線對比Fig.3 Comparison of linear and nonlinear response curves

圖4反應不同載荷下的幅頻響應曲線對比，其中計算參數在上面已給出；圖 5反應不同阻尼比，不同載荷下的幅頻響應曲線對比，計算時細長比取為0.004 6；圖 6反應軸系不同細長比，不同載荷時幅頻響應曲線對比，計算時阻尼比取為0.01。從各圖中可以得出，隨著載荷的增加，縱橫耦合效應越強；阻尼比越小時，縱橫耦合效應越強；細長比越小時，縱橫耦合效應越強。

圖4 不同載荷下幅頻響應曲線對比Fig.4 Response curve comparison of different excitation loads

圖5 不同阻尼比下幅頻響應曲線對比Fig.5 Response curve comparison of different damping ratios

圖6 不同細長比下幅頻響應曲線對比Fig.6 Response curve comparison of different slender ratios

5 結 論

本文應用Hamilton變分原理建立了軸系縱橫耦合非線性動力學方程。利用多尺度法研究了橫向振動在葉頻激勵下的主共振動力學特性，研究表明：（1）與線性模型相比，由于縱橫耦合效應使軸系橫向產生共振時的頻率略大于其線性固有頻率，同時在幅頻響應曲線上存在多解使幅值出現跳躍現象；（2）在一定范圍內增大后艉軸承剛度可以抑制縱橫耦合效應，增大前艉軸承剛度與推力軸承剛度可以增加縱橫耦合效應，而中間軸承對縱橫耦合效應影響不明顯；（3）增大螺旋槳質量，減少細長比可以增加縱橫耦合性效應；激勵載荷越大，阻尼比越小時，系統縱橫耦合效應越強。

[1]鄒冬林,劉 翎,饒柱石,塔 娜.利用有限元法與打靶法的縱橫耦合軸系主共振分析[J].振動工程學報,2016(29): 87-95. Zou Donglin,Liu Ling,Rao Zhushi,Ta Na,Primary resonance of shaftswith coupled longitudinal transverse vibration by finite elementand shootingmethods[J].Journal of Vibration Engineering,2016(29):87-95.

[2]鄒冬林,荀振宇,饒柱石,塔 娜.主共振與內共振下縱橫耦合軸系動力學分析[J].振動工程學報,2016(29):511-520. Zou Donglin,Xun Zhenyu,Rao Zhushi,Ta Na,Dynamics of the coupled longitudinal-transverse shafts under primary and internal resonances[J].Journal of Vibration Engineering,2016(29):511-520.

[3]Zou D L,Liu L,Rao Z S,Ta N.Coupled longitudinal-transverse dynamics of amarine propulsion shafting under primary and internal resonances[J].Journal of Sound and Vibration,2016(372):299-316.

[4]王宏志,魏海軍,關德林,等.中間軸承對船舶軸系力學狀態影響的數字模擬[J].船舶力學,2006,10(1):98-105.Wang Hongzhi,Wei Haijun,Guan Delin,et al.Numerical simulation on ship shaftingmechanics condition of intermediate bearing[J].Journal of Ship Mechanics,2006,10(1):98-105.

[5]周春良,劉占生,鄭洪濤.軸承支承長度及間距對船舶軸系振動特性影響[J].船舶工程,2007(05):16-18. Zhou Chunliang,Liu Zhansheng,Zheng Hongtao.Bearing stiffness to ship shafting system vibration performance[J].Ship Engineering,2007(05):16-18.

[6]Murawski.Shaft line whirling vibrations:Effects of numerical assumptions on analysis results[J].Marine Technology,2005, 42(2):53-60.

[7]Han SM,Benaroya H.Non-linear coupled transverse and axial vibration of a compliant structure,Part 1:Formulation and free vibration[J].Journal of Sound and Vibration,2000,237(5):837-873.

[8]Han SM,Benaroya H.Non-linear coupled transverse and axial vibration of a compliant structure,Part 2:Forced vibration [J].Journal of Sound and Vibration,2000,237(5):875-900.

[9]Ghayesh M H,Kazemirad S,AmabiliM.Coupled longitudinal-transverse dynamics of an axiallymoving beam with an internal resonance[J].Mechanism and Machine Theory,2012,52(12):18-34.

[10]Ghayesh M H,Farokhi H,AmabiliM.In-plane and out-of-planemotion characteristics ofmicrobeamswithmodal interactions[J].Composites Part B:Engineering,2014,60(1):423-439.

[11]胡 義,楊建國.梁縱橫耦合振動研究[J].武漢理工大學學報（交通科學與工程版）,2010(03):537-541. Hu Yi,Yang Jianguo.Studies on the longitudinal and lateral coupled vibration of beam[J].Journal ofWuhan University of Technology,2010(03):537-541.

[12]黃建亮,陳樹輝.縱向與橫向振動耦合作用下軸向運動梁的非線性振動研究[J].振動與沖擊,2011(08):24-27. Huang Jianliang,Chen Shuhui.Study on nonlinear vibration of an axiallymoving beam with coupled transverse and longitudinalmotions[J].Journal of Vibration and Shock,2011(08):24-27.

[13]梁 昆,邢譽峰.變質量梁縱橫耦合振動特性研究[C]//北京力學會第20屆學術年會.中國北京,2014.

[14]Hosseini SA A.Dynamic stability and bifurcation of a nonlinear in-extensional rotating shaftwith internal damping[J]. Nonlinear Dynamics,2013,74(1-2):345-358.

[15]Hosseini SA A,Zamanian M.Analytical solution for general nonlinear continuous systems in a complex form[J].Applied Mathematical Modelling,2013,37(3):1163-1169.

[16]Hosseini SA A,et al.Vibration analysis of geometrically nonlinear spinning beams[J].Mechanism and Machine Theory, 2014,78(0):15-35.

[17]吳 濤,馮志華,胡海巖.定軸轉動與基礎激勵下梁的非線性動力學[J].振動工程學報,2003(01):15-20. Wu Tao,Feng Zhihua,Hu Haiyan.Nonlinear dynamics of flexible beam under rotation and axially parametric joint excitation[J].Journal of Vibration Engineering,2003(01):15-20.

[18]Pesheck E,Pierre C,Shaw SW.Modal reduction of a nonlinear rotating beam through nonlinear normalmodes[J].Journal of Vibration and Acoustics,2002,124(2):229-236.

[19]克拉夫R,彭津 J.結構動力學[M].北京:高等教育出版社,2006. Clough R,Penzien J.Dynamics of Strcutures[M].Beijing:Higher Education Press,2006.

[20]劉延柱,陳立群.非線性振動[M].北京:高等教育出版社,2001. Liu Yanzhu,Chen Liqun.Nonlinear vibration[M].Beijing:Higher Education Press,2001.

[21]薛定宇,陳陽泉.高等應用數學問題的MATLAB求解[M].北京:清華大學出版社,2008. Xue Dingyu,Chen Yangquan.Advanced applied mathematical problem solutions with MATLAB[M].Beijing:Tsinghua University Press,2008.

[22]Nayfeh A H,Balachandran B.Applied nonlinear dynamics:Analytical,computational,and experimentalmethods[M]. JohnWiley&Sons,Inc.1995.

Coupled longitudinal-transverse nonlinear dynam ics of amarine propulsion shafting—Primary resonance under blade frequency excitation

ZOU Dong-lina,b,ZHANG Jian-boa,b,TA Naa,b,RAO Zhu-shia,b
(a.Insitute of Vibration,Shock and Noise;b.State Key Laboratory ofMechanical System and Vibration, Shanghai Jiao Tong University,Shanghai200240,China)

Based on Hamilton’s principle and considered the Von Karman’s nonlinear strain-displacement relationship,a coupled longitudinal-transverse nonlinear dynamic model of amarine propulsion shafting is established.The firstmode equations are obtained by Galerkin method and are solved by themethod of multiple scales.The primary resonance equations are derived under the blade frequency excitation.Then, these equations are numerically solved by pseudo-arclength continuationmethod to obtain the steady-state response and the stabilities are analyzed.The influence to the nonlinear effect is discussed about the support stiffness,load,mass of propeller,damping ration and slender ration.Research shows the smaller the slender ration,the bigger the load and the smaller the damping ration is,then the bigger the nonlinear effect is. The nonlinear effect is reduced by increasing the back stern bearing stiffness and increased by increasing the front stern bearing and thrust bearing stiffness.While themiddle bearingmakes no influence to it.Compared with the linearmodel,the lateral resonant frequency is bigger than the linear natural frequency.Insome frequencies,there are multiple solutions in amplitude-frequency curve and has jump phenomena. These analyses have a reference and guidance to the design ofmarine propulsion shafting.

marine shafting;coupled longitudinal-transverse;multiple scales;primary resonance

O322 TH113.1

：Adoi:10.3969/j.issn.1007-7294.2017.02.010

2016-07-21

鄒冬林（1987-），男，博士研究生，E-mail:zoudonglin.520@sjtu.edu.cn；

饒柱石（1962-），男，教授，博士生導師，E-mail:zsrao@sjtu.edu.cn。

1007-7294（2017）02-0201-10