基于EGARCH模型的滬深300指數波動性及其收益率分布的研究

康凱

基于EGARCH模型的滬深300指數波動性及其收益率分布的研究

康凱

波動率衡量的是資產收益的不確定性，它代表了金融資產的風險，成為金融資產一個非常重要的特征，因此利用金融時間序列對金融產品的波動進行估計和建模不論是在現代資產定價理論方面，還是在風險管理理論方面，都是十分重要且必要的。文章基于滬深300指數的收盤價數據，利用EGARCH模型成功地擬合了其對數化后的收益率數據，并分析了滬深300指數的波動特征。

滬深300指數；EGARCH；杠桿效應；t分布

一、研究背景和意義

隨著世界經濟的不斷增長，各國金融市場不斷成熟和完善，金融創新層出不窮，每天都有大量新的金融產品問世，金融產品尤其是股票的收益率是很難預測的，但是收益率的波動率卻相對比較容易預測，因此利用金融時間序列對金融產品的波動進行估計和建模不論是在現代資產定價理論方面，還是在風險管理理論方面，亦或是其他相關方面，都是十分重要且必要的。

二、GARCH族模型的簡介與發展

（一）ARCH模型

自回歸條件異方差(ARCH)模型是Engle于1982年提出的，當時由于該模型能很好地擬合金融資產收益率的時間序列中的異方差問題，迅速在計量經濟學理論體系中站穩腳跟，隨后被許多實證所證明。Engle和Kraft(1983)指出，ARCH模型對時間序列波動率的擬合程度，在一定程度上取決于能得到的信息的完整度。其數學表達如下：

ARCH模型也僅僅是一種比較簡單的線性模型，對金融市場的時間序列數據擬合能力有限，為了彌補理論與現實的差距，ARCH模型有了進一步的擴展與改進。

（二）GARCH模型

Bollerslev(1986)擴展了Engle的原始模型，引入了一種允許條件方差轉化為一個ARMA過程的方法。假定，且。由于{ZT}是白噪聲過程，所以其條件和無條件均值均等于零。

GARCH模型相對于標準的ARCH模型有很多優點，一個高階的ARCH模型可能有一個更為簡潔且更易識別和估算的GARCH表達式。顯然，模型越簡潔，對系數的限制越少。當然，GARCH模型也有其限制，為保證條件方差是有限的，GARCH模型的波動方程的所有特征根必須都在單位圓內。

（三）EGARCH模型

Glosten、Jaganathan和Runkle(1994)提出了一個考慮好消息和壞消息對波動不同影響的門限GARCH(Threshold-GARCH, TGARCH)過程，這個模型在一定程度上解決了杠桿效應的問題，但是仍不能突破所有估計系數都為正的問題。Nelson(1991)提出了一個不需要非負限制的表達式，即指數GARCH (EGARCH)模型。

該模型具有以下優點：條件方差為線性對數形式，可以允許系數為負；EGARCH模型使用標準化的rt-1值（即rt-1/ht-10.5），用這種標準化的值能夠更準確地解釋沖擊的大小和持續性；考慮了杠桿效應，如果rt-1/ht-10.5為正，沖擊對取對數的條件方差的影響是α1+λ1，反之則是-α1+λ1。

三、EGARCH模型的實證結果

本文選取滬深300指數05.04.08至15.12.31共2610個交易日的日收盤數據。

（一）滬深300指數的統計特性

收盤價很序列明顯是非平穩的，所以我們將其收益率構造為rt=100×ln(ct/ct-1)。對新得到的收益率序列進行ADF單位根檢驗，結果得到統計量的值為-49.07542，其對應的p值為0.0001，在α=0.05的條件下拒絕存在一個單位根的原假設，說明序列平穩。

觀察序列{rt}的基本統計量，2609個觀測值的均值為0.0503，樣本標準差為1.0890，同時，偏度為-0.4774、峰度為6.0859，呈現尖峰厚尾的特征。從下圖可以看出，收益率的分布比正態分布陡峭，與分布的形狀更加相似，因此我們猜想，用t分布來估計{rt}序列是有意義的，這在下文中得到了驗證。

（二）均值方程的擬合分別構造{rt}序列的ARIMA(p,d,q)模型的幾種情況，結果見表1：

表1 幾種ARIMA(p,d,q)模型對{rt}序列的擬合情況

ARMA(1,1)的AIC和SBC最小，同時結合簡練性原則，可以得出上述均值方程應使用ARMA(1,1)的結論。

（三）EGARCH模型的實現和檢驗

杠桿效應的存在，使得我們必須用非對稱模型來解決收益率序列的擬合。同時，杠桿效應的大小并不只取決于方向，更取決于沖擊的幅度。用EGARCH模型來擬合序列的波動方程，同時上文已經證明均值模型為ARMA(1,1)較合適，故整個模型為：

表2 EGARCH(1,1)擬合結果

表2中的擬合結果，分別是假設其殘差服從正態分布、T分布、GED分布下的結果，無論是哪種結果都不能令我們滿意。T分布和GED分布下的擬合結果在AIC和SBC下均比正態分布的結果好，但是在T分布下，均值方程的常數項不顯著；在GED分布下，波動方程的的一階自回歸系數不顯著。

進一步觀察可以發現，對比三種分布，均值方程的常數項在取值較小時會比較顯著，換句話說，α0對序列{rt}的影響較小。同理，γ1也具有相同的性質。故考慮令二者系數為零，再次擬合結果見表3。

表3 加入約束后的EGARCH(1,1)擬合結果

再次觀察加入限定后的結果，各個系數均有顯著性影響，對比三種分布下的AIC和SBC，發現T分布下的情況最好，這也與上文對殘差分布的分析吻合。

四、總結

通過以上對滬深300指數的EGARCH實證分析，可以得出以下結論：

（一）對滬深300指數的收盤價進行平穩處理后，其收益率序列在分布上具有尖峰厚尾和波動聚集的特性，通過比較，發現實際觀測值并不像我們想象中的一樣服從正態分布，而是對于Student-t分布和GED分布具有較好的吻合度。實證結果也證明，在這兩個分布的假設下擬合得到的結果較好，其中尤其出色的是Student-t分布。

（二）ARMA(1,1)模型特征如下：根據所建立的ARMA(1,1)模型，AR過程和MA過程出現了共軛復根，此時對數收益率的自相關函數呈現出減幅的正弦或余弦波圖像，其中AR過程的周期性約為1，說明對數收益率受自身影響的內生波動周期為1天；MA過程的周期性為1，說明對數收益率受外在影響的外生波動周期為1天。以上結果說明，對數收益率只受上一交易日的內在和外在的影響，這與當前大多數金融分析師認為的資本市場運作規律十分吻合。

[1]Engle R F.Autoregressive Conditional Heteroscedasticity with Estimates of the Variance ofUnited Kingdom inflation[J]. Econometrica,1982，50(4):987-1007.

[2]Bollerslev T.Generalized Autoregressive Conditional Heterosceda sticity[J].Journal ofEconometrics,1986，（31）:307-327.

[3]Fama E F.The behavior of stock-market prices[J].Journal of Business,1965，31(5):34-105.

[4]賴艷麗.GARCH模型族在滬深300中的比較研究[J].上海管理科學,2012，(04).

[5]王未卿,李秋夢,邢德鑫.基于GARCH模型族的滬深300波動率實證分析[J].中國證券期貨,2013，(05).

康凱，男，河南新鄉人，天津商業大學碩士在讀，研究方向：數量經濟學理論與方法。

F830.91

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1008-4428（2017）04-73-02