龍門式工業機器人兩永磁伺服電機同步控制

董 令，李 巖，楊宏韜，劉克平

(長春工業大學,長春 130012)

0 引 言

近年來,龍門式工業機器人雙電機耦合同步控制越來越多地應用在工業、農業和交通運輸等行業中。由于2個永磁伺服電機之間存在速度、位置等約束，傳統的PID計算繁瑣求解困難，因此需要設計適當的控制器對各電機的轉速進行協調控制。自從1980年Koren提出交叉耦合控制器以來[1]，又有許多研究人員將魯棒控制[2]、滑模變結構[3]、神經網絡[4]與模糊控制[5]等現代控制方法應用到多電機協調控制中，采用速度和轉角(位置)雙重同步多電機協調控制，取得了很好的效果。

區間矩陣方法是研究線性時變系統穩定性的重要方法之一[6]。由于雙電機系統是一個多變量、強耦合、非線性時變系統，研究一種簡單的提高同步性能的控制方法，保證電機在負載發生變化時仍能保持良好的同步控制性能。

本文基于區間矩陣理論將電機不確定參數進行最大值最小值估計，然后進行狀態矩陣分解，并構造正定矩陣。考慮到雙電機的動態性能及交叉耦合特性，將雙電機的電流、速度和位置誤差信號加入耦合雙電機同步控制系統控制器中。設計負載轉矩觀測器辨識負載變化，依據負載變化調節變負載對轉速的影響，根據李雅普諾夫穩定性定理驗證了雙電機同步系統的穩定性。

1 雙電機同步數學模型建立

1.1 坐標變換

建立永磁伺服電機控制系統數學模型的坐標系通常分為2大類，一類是靜止坐標系，包括三相A-B-C坐標系和α-β坐標系；另一類是旋轉坐標系，常用的是兩相d-q坐標系。d-q坐標系與A-B-C坐標系變換關系：

(1)

(2)

利用坐標變換關系式(1)和式(2)以及永磁同步電動機(以下簡稱PMSM)在A-B-C坐標系中的數學模型[7]，可以得到PMSM在d-q旋轉坐標系中的數學模型：

(3)

式中:Lsd和Lsq分別表示d軸和q軸的電感;Rs是定子電阻;ψr是永磁電機的磁鏈;p是極對數;B是摩擦系數;J是慣性力矩;id,iq分別是d,q軸定子電流;ω是轉子速度;ud,uq分別是d,q軸的電壓;Tl是負載轉矩。

1.2 雙電機同步模型建立

龍門式工業機器人兩永磁伺服電機系統可以用如圖1所示的兩耦合伺服電機同步控制原理圖來描述[8]。該系統可分為控制器、驅動器和觀測器等幾部分，給定同步控制角速度ω*，控制器輸出ud1,uq1和ud2,uq2分別經過驅動器作用于永磁伺服電機PMSM1和PMSM2。兩電機實時的角速度反饋給控制器，同步控制系統是非線性耦合的，當負載發生變化時，角速度ω1和ω2以及各軸電流值都將發生變

圖1 兩耦合伺服電機同步控制原理圖

化，通過負載觀測器辨識得到2個負載的變化，并反饋給控制器，控制器調整ud1,uq1和ud2,uq2各值，從而完成雙電機非線性耦合同步控制。

如果轉子角位置相同，這種同步是理想狀態，此時兩電機的耦合力是不存在的。當2個電機中的負載發生變化，這時控制2個電機速度同步是比較困難的，相互之間的影響可能會導致系統的不穩定，所以設計同步控制器是必要的。為了得到較好的控制效果，永磁伺服電機的動態模型和雙電機之間的耦合關系有必要考慮。作用在轉子和定子上的耦合力直接影響同步速度，2個電機的耦合是多變量非線性的，根據單個電機的模型可以得出雙電機模型的表達式[8-9]：

(4)

式中:Lsdi和Lsqi分別表示d軸和q軸的電機i的電感;Rsi是電機i的電阻;ψri是電機i的磁鏈;p1i是電機i的極對數;Βi是電機i的摩擦系數;Ji是電機i的慣性力矩;idi和iqi分別是d,q軸電機i的定子電流;ωi是電機i的轉子速度;θi是電機i的轉子角速度;udi和uqi分別是d軸和q軸電機i的電壓;Tli是電機i的負載轉矩;f1(θ1-θ2)和f2(θ1-θ2)分別是作用在電機1和電機2上的耦合力，而且是非線性的。

實際應用中，通常作如下假設：

(5)

2 2臺耦合伺服電機同步控制器設計

為了保持2臺耦合伺服電機的同步運行，需要設計一個同步控制器，令：

(6)

(7)

(8)

(9)

(10)

式中:uffd1,uffd2分別是電機1和電機2的d軸正反饋信號;uffq1,uffq2分別是電機1和電機2的q軸正反饋信號;ufbd1,ufbd2分別是電機1和電機2的d軸負反饋信號;ufbq1,ufbq2分別是電機1和電機2的q軸負反饋信號。令 :

(11)

(12)

(13)

(14)

令:

(15)

ufb=[ui]4×1=[ufbd1ufbq1ufbd2ufbq2]T

(16)

uff=[uffd1uffq1uffd2uffq2]T

(17)

控制輸入：

U=Uff+Ufb=[ud1uq1ud2uq2]T

(18)

根據以上公式，可以表述成狀態方程的形式：

(19)

(20)

(21)

(22)

根據實際工程實驗,有如下不等式成立：

(23)

Δ*={Δ∈Rn2×n2|Δ=diag{χ11…χ1n…χn1χnnn}},(|χij|≤1,i,j=1,…,n)。

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

(31)

式中：α=ATc0Pc1+Pc1Ac0+KTcBTPc1+Pc1BKc+εMTcMc+L。

控制輸入U=Uff+KcXc，則有Ufb=Kcc，狀態方程式(19)可以寫成下式：

(32)

選擇李雅普諾夫函數：

Vc1=XTcPc1Xc

(33)

c(ATc0Pc1+Pc1Ac0+KTcBTPc1+Pc1BKc+

AXTcPc1GcAf1(θ1-θ2)

(34)

讓：

Zc=[XTcfT1(θ1-θ2)]T

(35)

根據式(23)，式(34)可以寫成如下不等式：

(36)

(37)

(1)s(x)<0；

根據等價不等式(3)，可得Qc1<0,可以寫成式(31)。根據李雅普諾夫函數，可知系統是穩定的。

3 負載轉矩觀測器模型建立

控制系統式(32)穩定的前提是電機1和電機2的負載轉矩是已知的，但是實際電機運行時，電機的負載轉矩是未知的，所以，需要設計負載轉矩觀測器。通常情況下負載轉矩是常數或者變化速度很慢，因此有下式：

(38)

(39)

Y=C0X0

(40)

式中:

Y=[id1iq1ω1id2iq2ω2]T

負載轉矩可以被表示：

(41)

( (42)

Ufb=KcXc=[ui]4×1

Kc=[kij]4×7

ki7(θ1-θ2)

ufbd1=χ11+χ12

ufbd2=χ31+χ32

ufbq2=χ41+χ42

其中:

χ11和χ21是電機1的自反饋，χ32和χ42是電機2的自反饋，χ12,χ22,χ31和χ41是雙電機交叉耦合信號。從表達式可以看出，交叉耦合信號包括電流信號、速度誤差信號和位置誤差信號。如果增強交叉反饋信號，那么同步性能和動態性能將會得到提高。把ufbd1表達式做如下處理：

改寫為：

k17(θ1-θ2)

4 實驗研究及結果分析

圖2 電機1轉速變化曲線

圖3 電機2轉速變化曲線

圖4 電機1轉矩變化曲線

圖5 電機2轉矩變化曲線

圖6 雙電機同步速度差變化曲線

為了驗證本文提出的龍門式工業機器人控制器的同步精度，本文基于KUKA龍門式工業機器人平臺進行了實際實驗研究。兩永磁伺服電機的給定轉速為250 r/min，帶動負載300 kg物體同步轉動，通過在線監控得到實驗結果，如圖7、圖8所示。從圖中可以看出，控制器實時調整兩電機編碼器的輸出值，保持兩電機同步狀態。為得到同步系統的控制精度，在檢測畫面上選取任意2個時刻t1和t2，采集2組編碼器輸出值和2組轉速值進行分析，可以得到表1和表2。可以看出，誤差在0.3 r/min左右。

圖7 編碼器位置輸出值變化曲線

圖8 同步轉速變化曲線

編碼器Y(t1)Y(t2)SERVO-03401417300401438300SERVO-04401417100401438000ΔY200300

表2 t1和t2時刻雙電機同步轉速

5 結 語

為了解決龍門式工業機器人多變量、非線性、強耦合雙電機的復雜同步控制問題，本文提出了基于區間矩陣及李雅普諾夫穩定性理論的雙電機同步控制方法。首先，為得到良好的監測效果，設計了負載轉矩觀測器，將負載力矩值反饋至控制器，調節編碼器的輸出。實驗結果顯示，負載轉矩觀測器可以有效地辨識負載力矩，反映負載力矩的變化情況。其次，采用PID積分的思想，增強耦合作用強度，進而調節同步轉速值。最后，通過仿真實驗驗證了控制器的合理性和有效性，基于實驗室龍門式工業機器人控制平臺進行實驗驗證，得到良好的控制效果，提高了雙電機控制系統的同步性能。

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