平面解析幾何中的易錯點剖析

平面解析幾何研究的內(nèi)容是求曲線方程，再通過方程的特征研究曲線的幾何性質(zhì)，是數(shù)與形結(jié)合的典范，體現(xiàn)了用代數(shù)的方法研究曲線的思想方法.高考中重點考查直線、圓以及圓錐曲線的定義、方程、幾何性質(zhì)，直線與圓和圓錐曲線的位置關(guān)系，對同學(xué)們的思維能力、運算求解能力及數(shù)學(xué)思想方法的靈活運用要求較高.復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時要理清概念，掌握基本方法，特別要注意理清概念的內(nèi)涵與外延，對一些常見概念及公式的易錯點要了如指掌.本文從解析幾何的典型易錯知識與方法加以剖析，以提高大家的辨別能力，提高解題速度與正確率.

易錯剖析一：基本概念理解偏差致錯

例1設(shè)雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的虛軸長為2，焦距為23，則雙曲線的漸近線方程為.

錯解：由題意，b=2，c=23，故a=22，所以雙曲線的漸近線方程為y=±22x.

錯因分析：雖然結(jié)果正確，但是解決問題過程中概念不清晰，雙曲線的虛軸長為2b，焦距為2c.

正解：因為2b=2，所以b=1，因為2c=23，所以c=3，所以a=c2-b2=2，所以雙曲線的漸近線方程為y=±bax=±22x.

例2已知方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，且該雙曲線兩焦點間的距離為4，則n的取值范圍是.

錯解：方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，所以m2+n>0，3m2-n>0，所以-m2

∴焦距2c=2×2|m|=4，解得|m|=1，∴-1

錯因分析：方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，不一定是m2+n>0，3m2-n>0，應(yīng)正確轉(zhuǎn)化為（m2+n）·（3m2-n）>0，解得-m2

正解：∵方程x2m2+n-y23m2-n=1表示雙曲線，∴（m2+n）·（3m2-n）>0，解得-m2

由雙曲線性質(zhì)，知c2=（m2+n）+（3m2-n）=4m2（其中c是半焦距），∴焦距2c=2×2|m|=4，解得|m|=1，∴-1

評注：對于圓錐曲線的概念和性質(zhì)要準(zhǔn)確把握，其中雙曲線的實軸長、虛軸長，橢圓的長軸長、短軸長及焦距分別對應(yīng)是哪些量是易錯點，再有，橢圓、雙曲……