直線方程x=my+a在解題中的應用

方程x=my+a表示經過點（a，0）的直線，注意該方程可以表示經過點（a，0），斜率不存在的直線，但不表示經過點（a，0）斜率為0的直線，所以若能判斷直線過（a，0），且斜率可能不存在但不為0，可考慮設其方程為x=my+a，這樣可以避免討論斜率是否存在.

例1（2017年高考課標Ⅲ，理20）已知拋物線C：y2=2x，過點（2，0）的直線l交C與A，B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓.

（1）證明：坐標原點O在圓M上；

（2）設圓M過點P（4，-2），求直線l與圓M的方程.

分析：（1）設出點的坐標，聯立直線與圓的方程，由斜率之積為-1可得OA⊥OB，即得結論；（2）結合（1）的結論求得實數m的值，分類討論即可求得直線l的方程和圓M的方程.

解：（1）設A（x1，y1），B（x2，y2），直線l：x=my+2，

由x=my+2y2=2x，可得y2-2my-4=0，則y1y2=-4，

又OA的斜率與OB的斜率之積為y1x1·y2x2=-44=-1，所以OA⊥OB，

故坐標原點O在圓M上.

（2）由（1）可得y1+y2=2m，x1+x2=m（y1+y2）+4=2m2+4，

故圓心M的坐標為（m2+2，m），圓M的半徑r=（m2+2）2+m2，

由于圓M過點P（4，-2），因此AP·BP=0，故（x1-4）（x2-4）+（y1+2）（y2+2）=0，

即x1x2-4（x1+x2）+y1y2+2（y1+y2）+20=0，

由（1）可得y1y2=-4，x1x2=4，

所以2m2-m-1=0，解得m=1或m=-12.

當m=1時，直線l的方程為x-y-2=0，圓心M的坐標為（3，1），圓M的半徑為10，圓M的方程為（x-3）2+（y-1）2=10.

當m=-12時，直線l的方程為2x+y-4=0，圓心M的坐標為（94，-12），圓M的半徑為854，圓M的方程為（x-94）2+（y+12）2=8516.

點評：直線與拋物線的位置關系和直線與橢圓、雙曲線的位置關系類似，一般要用到根與系數的關系；在解決直線與拋物線的位置關系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況.中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證Δ>0或說明中點在曲線內部.

例2（2017年高考天津卷，理19）設橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左焦點為F，右頂點為A，離心率為12.已知A是拋物線y2=2px（p>0）的焦點，F到拋物線的準線l的距離為12.

（1）求橢圓的方程和拋物線的方程；

（2）設l上兩點P，Q關于x軸對稱，直線AP與橢圓相交于點B（B異于點A），直線BQ與x軸相交于點D.若△APD的面積為62，求直線AP的方程.