解析幾何最值問題的解題策略

解析幾何最值問題，歷來是新課標高考的重要考點.此類問題涉及的知識面較廣，解法靈活多變.常常令考生“望題興嘆”.那么，破解這類問題有何良方？總體上說，主要有兩種方法：一是利用幾何法，即通過利用曲線的定義、幾何性質以及平面幾何中的定理、性質等進行求解；二是利用代數法，即把要求最值的幾何量或代數表達式表示為某個（些）參數的函數（解析式），然后利用函數方法、不等式方法等進行求解.下文舉例說明，供同學們參考.

一、利用定義，直奔主題

例1已知雙曲線C的兩個焦點分別為F1（-2，0），F2（2，0），雙曲線C上一點P到F1，F2的距離差的絕對值等于2.

（1）求雙曲線C的標準方程；

（2）已知定點G（1，2），點D是雙曲線C右支上的動點，求|DF1|+|DG|的最小值.

解析：（1）依題意，得雙曲線C的實半軸長為a=1，半焦距為c=2，

所以其虛半軸長b=c2-a2=3.

又其焦點在x軸上，所以雙曲線C的標準方程為x2-y23=1.

（2）由已知，得|DF1|-|DF2|=2，即|DF1|=|DF2|+2，

所以|DF1|+|DG|=|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2，當且僅當G，D，F2三點共線時取等號.

因為|GF2|=（1-2）2+22=5，所以|DF2|+|DG|+2≥|GF2|+2=5+2，

故|DF1|+|DG|的最小值為5+2.

評注：利用曲線的定義，不僅可以求曲線方程，還可以將圓錐曲線最值問題轉化為幾何問題處理.

二、函數思想，為你著想

例2已知拋物線C的頂點為C（0，0），焦點F（0，1）.

（1）求拋物線C的方程；

（2）過點F作直線交拋物線C于A，B兩點.若直線AO與BO分別交直線l：y=x-2于M，N兩點，求|MN|的最小值.

解析：（1）由已知可得拋物線的方程為：x2=2py（p>0），且p2=1p=2，

所以拋物線方程是：x2=4y.

（2）設A（x1，x214），B（x2，x224），所以kAO=x14，kBO=x24，所以AO的方程是：y=x14x，

由y=x14xy=x-2，∴xM=84-x1，

同理由y=x24xy=x-2，∴xN=84-x2，

所以|MN|=1+12|xM-xN|

=2|84-x1-84-x2|

=82|x1-x216-4（x1+x2）+x1x2|（1）

設AB：y=kx+1，由y=kx+1x2=4y，∴x2-4kx-4=0，∴x1+x2=4kx1x2=-4，

且|x1-x2|=（x1+x2）2-4x1x2=4k2+1，代入（1）得，

|MN|=82|4k2+116-16k-4|=82k2+1|4k-3|，

設4k-3=t≠0，∴k=3+t4，

①當t>0時，|MN|=8225+t2+6t4t

=221+25t2+6t≥22，

所以|MN|的最小值是22；

②當t<0時，

|MN|=8225+t2+6t4t=221+25t2+6t=22（5t+35）2+1625≥22×45=825，

所以|MN|的最小值是825，此時t=-253，k=-43；

綜上所述，|MN|的最小值是825.

評注：函數法是研究數學問題……