高考立體幾何基本題型聚焦

常言道：知己知彼，百戰(zhàn)不殆.在高考中，立體幾何有哪些基本題型呢？本文舉例說明，供同學(xué)們參考.

題型一、判斷命題的真假

給出幾個有關(guān)立體幾何直線與平面位置關(guān)系的命題，要求判斷其真?zhèn)危@類問題一般在小題中出現(xiàn)，難度不大.

例1設(shè)a、b是兩條不同的直線，α、β是兩個不同的平面，則下列四個命題

①若a⊥b，a⊥α，則b∥α

②若a∥α，α⊥β，則a⊥β

③若a⊥β，α⊥β，則a∥α

④若a⊥b，a⊥α，b⊥β，則α⊥β

其中正確的命題的個數(shù)是.

答案：1個；

解析：注意①中b可能在α上；②中a可能在β上，也可能平行于β；③中a可能在α上；④中b∥α，或b∈α均有α⊥β，

故只有一個正確命題.

評注：線線、線面、面面垂直與平行的判定和性質(zhì)定理，是解決此類問題的依據(jù)，實物的簡單演示法、特例法，是解決問題的法寶.

題型二、計算幾何體的體積

計算旋轉(zhuǎn)體、椎體、柱體或其組合體的體積或體積比，一般以小題形式出現(xiàn)，或出現(xiàn)在解答題中，難度中等或中等偏上.

例2（1）如圖，在三棱柱A1B1C1ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，AC，AA1的中點，設(shè)三棱錐FADE的體積為V1，三棱柱A1B1C1ABC的體積為V2，則V1∶V2=.

（2）已知△ABC的三邊長分別是AC=3，BC=4，AB=5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積和體積.

解析：（1）三棱錐FADE與三棱錐A1ABC的相似比為1∶2，故體積之比為1∶8.又因三棱錐A1ABC與三棱柱A1B1C1ABC的體積之比為1∶3.所以，三棱錐FADE與三棱柱A1B1C1ABC的體積之比為1∶24.

（2）如圖，在△ABC中，過C作CD⊥AB，垂足為D.

由AC=3，BC=4，AB=5，知AC2+BC2=AB2，則AC⊥BC.

∵BC·AC=AB·CD，∴CD=125，記為r=125，那么△ABC以AB所在直線為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐，且底半徑r=125，母線長分別是AC=3，BC=4，所以S表面積=πr·（AC+BC）=π×125×（3+4）=845π，

V=13πr2（AD+BD）=13πr2·AB=13π×（125）2×5=485π.

所以，所求旋轉(zhuǎn)體的表面積是845π，體積是485π.

評注：（1）求組合體的表面積與體積的關(guān)鍵是弄清組合體中各簡單幾何體的結(jié)構(gòu)特征及組合形式，對于與旋轉(zhuǎn)體有關(guān)的組合體問題，要根據(jù)條件分清各個簡單幾何體的底面半徑及母線長，再分別代入公式求解.（2）對于規(guī)則的幾何體的體積計算，可直接利用體積公式；……