不等式恒成立問題解法直通車

新課標下的高考越來越注重對考生的綜合素質的考查，恒成立問題便是一個考查考生綜合素質的很好途徑，它常以函數、方程、不等式和數列等知識點為載體，滲透著換元、化歸、分類討論、數形結合、函數與方程等思想方法，在培養思維的靈活性、創造性等方面起到了積極的作用.近幾年的數學高考中頻頻出現恒成立問題，其形式逐漸多樣化，但都與函數、導數知識密不可分.解決高考數學中的恒成立問題常用以下幾種方法：①函數性質法；②主參換位法；③分離參數法；④數形結合法；⑤消元轉化法.下文舉例說明.

一、函數性質法

二次不等式恒成立問題，往往采用這個方法.它主要有以下幾種基本類型：

二、分離參數法

若所給的不等式能通過恒等變形使參數與主元分離于不等式兩端，從而問題轉化為求主元函數的最值，進而求出參數范圍.利用分離參數法來確定不等式f（x，λ）≥0（x∈D，λ為實參數）恒成立中參數λ的取值范圍的基本步驟：

（1）將參數與變量分離，即化為g（λ）≥f（x）（或g（λ）≤f（x））恒成立的形式；

（2）求f（x）在x∈D上的最大（或最小）值；

（3）解不等式g（λ）≥f（x）max（或g（λ）≤f（x）min），得λ的取值范圍.

適用題型：（1）參數與變量能分離；（2）函數的最值易求出.

三、反客為主法

某些含參不等式恒成立問題，在分離參數會遇到討論的麻煩或者即使能容易分離出參數與變量，但函數的最值卻難以求出時，可考慮變換思維角度“反客為主”，即把習慣上的主元變量與參數變量的“地位”交換一下，換個視角重新審查恒成立問題，往往可避免……