高等數學的概念與定理的教學

　　摘要：本文就高等數學的概念與定理如何進行教學才能有利于學生理解與掌握，談談體會與做法。
　　關鍵詞：高等數學；概念；定理
　　
　　高等數學具有概念和原理高度抽象，推理和判斷的邏輯性強，應用范圍廣泛和靈活的特點。教師在教學中應該抓住這些特點，在充分了解學生實際的基礎上，鉆研教材，引導學生找出一條容易理解、掌握和應用的簡捷途徑，并總結出規律，使學生牢固地、靈活地記住所學的知識，這樣才真正能使學生獲得較好的學習效果。本文從下面幾方面來談談如何把抽象性、系統性以及應用廣泛性都很強的數學，講授得較為具體，易于理解，以及如何開拓學生思維，使學生能靈活掌握所學的數學知識，從而提高學生能力。
　　一、利用幾何圖形來解釋數學概念
　　利用幾何圖形來幫助學生理解和記憶概念，可使數形結合，對發展學生的想象能力很有幫助。在此過程中，把數學的各個分科有機地聯系起來，對開拓思維，靈活運用也起著重要作用，同時也使學生明確各科之間的辯證關系。比如:極限概念是高等數學中最基本的概念，也是最抽象的概念。如果教師只是定量地講解，學生很難掌握與理解。倘若教師結合函數圖像做定性分析與研究，讓學生結合函數圖像來了解當x→∞或當x→a時，函數是如何變化的，即函數的極限是什么，那么，學生就非常容易地理解極限的概念了。定積分的概念是高等數學中最長的概念，如果開始就講這個概念，學生就會如入霧里，不明白“做乘積、求和、再求極限”到底是怎么回事。教師結合教材，利用函數的幾何圖形，從幾何意義先來分析“乘積”是什么，為什么“求和”，求什么樣的自變量變化趨勢下的“極限”，學生就一目了然，接著再講定積分的概念，也就容易理解與掌握了。
　　二、利用具體事例來講解概念
　　講課時從具體的fF3PfNnw/oqKiMzHtl1l4t5MIpT3b4otdSP0pBgbdr4=事例講起，引出概念，可使學生迅速理解所學知識，并且可以激發學生學習的興趣。如“導數就是函數的變化率”這一概念太數學化了，教師在引入導數的概念時，可以先從分析物體運動的平均速度的求法、即時速度的求法開始講解，學生就容易接受了。講解微分概念時，先從求面積增量這一大家都很熟悉的概念講起，自然引出線性主部的概念， 進而來定義微分。再如，定積分概念從求曲邊梯形的面積引出，二重積分從求曲頂柱體的體積引出，三重積分從求曲頂柱體的質量引出等等。這樣學生容易理解，又可激發他們的學習興趣，同時也使學生了解了概念的應用。
　　三、利用對比來區別概念
　　對比記憶可以避免記憶的混淆。只有記憶清晰，應用才會有把握。教師在講授概念時，應該多用對比方法，區分比較概念。高等數學中的相似或相近的概念很多，如導數與微分、偏導數與全導數、內積與外積、第一類曲線積分與第二類曲線積分、第一類曲面積分與第二類曲面積分，梯度、散度與旋度等等。教師通過對比講解，使學生分清它們的區別與聯系，這樣就便于學生理解與記憶。
　　四、利用反例來講解定理、公式與性質
　　高等數學中的公式、定理和法則的條件非常重要，學生在學習中，如果只記結論，忽略條件，往往就會出錯誤。教師在講解這些公式、定理時，就應從學生記憶理解的角度，考慮到這些。在講授過程中，既要從正面證明這些命題，又要充分利用反例來加以強調。這樣既可以增強學生的記憶力，又培養了學生的逆向思維，鍛煉了學生的推理論證能力。如“有限個無窮小量的和仍是無窮小量”是一個真命題，它是無窮小量的一條性質。教師在講這條性質時，應該舉反例來強調命題中的“有限”二字是不可缺少的，也就是說“無窮多個無窮小量的和是無窮小量”是一個假命題。又如，連續、可導與可微三個概念是高等數學中的基本概念，三者之間的相互關系，兩兩之間有差別，一元函數與多元函數也不一樣，關系很復雜。一般教材有如下結論：（一元函數）可導函數必連續，可導與可微等價；（多元函數）可微函數必連續；可微函數必可導。在講授時要通過反例，闡明上述結論的逆命題未必成立。即(一元函數) 連續函數未必可導，（多元函數）可導函數未必連續，連續函數未必可微，可導函數未必可微即可導與可微不等價。通過反例教學，非常簡潔明了地把概念的關系弄清楚了，教學效果很好。
　　五、利用發展和聯系的觀點來串聯公式與法則
　　教師在講完一個單元或者一章甚至一本書后，要用發展和聯系的觀點把所學內容的知識尤其公式法則串聯一下， 這樣可以減輕學生的記憶壓力，縮短學生的理解記憶過程，也可培養學生的辯證唯物主義觀點。也只有這樣，書才會越念越薄，越讀越精。導數的運算，就有四則運算法則、復合函數的運算法則、隱函數的運算法則等16個基本公式，微分運算也有與之相對應的法則和16個基本公式。學生如果死記這些公式和法則，就比較困難。教師在講解時，既要把兩個概念的區別講清楚，又要把二者的聯系交代明白。尤其應該幫助學生分清運算法則與公式上的區別和聯系，使學生明白二者的公式與法則可以互推。于是，兩方面的公式和法則，就可以合成一方面來記憶，減輕了學生的負擔。再如，求不定積分的運算，基本公式有近二十個，這也給學生記憶帶來了很大的困難。教師在講授時，要讓學生知道不定積分運算與微分運算是互逆的運算，由于有了求微分運算這個基礎，所以對不定積分運算的公式的記憶也就容易了。這樣，既讓學生從心理上減輕了畏難的情緒，又減輕了學生學習的負擔。
　　六、利用綜合性的練習題加深對所學知識的理解
　　綜合性的練習題帶有總結性質，它能把所學知識連貫起來。教師在每個單元講完后，應該多講一些綜合性練習題，讓知識融會貫通起來。如在講完函數單調性、凹凸性、極值的判定與求法后，可以舉一些研究函數性態的綜合性例題；在講完零點定理、羅爾定理及單調性后，可以講些研究方程唯一根的綜合性題目。這樣既可以把前后內容貫穿起來，又能便于學生掌握、應用所學知識。
　　
　　（山東科技大學泰安校區公共課部）
　　（基金項目：山東科技大學立項課題資助項目-2010）