函數(shù)圖像的兩種對稱問題研究

摘 要函數(shù)是高中數(shù)學的基礎，也是學習的難點。函數(shù)對稱性是函數(shù)的基本性質(zhì)，是高考數(shù)學常考的知識點，由于題型變化比較多，所以很多學生在做這一類考題的時候，往往沒有仔細審題，導致題目出錯，成為丟分比較多的題目。本文主要分析了函數(shù)自身以及兩個函數(shù)圖像互對稱問題，希望能給大家在解題的時候提供一點啟示，提高大家解答函數(shù)題目的正確率。

【關鍵詞】函數(shù)圖像；對稱性問題；兩種對稱

函數(shù)圖像對稱問題是高中函數(shù)體系重要的內(nèi)容，函數(shù)圖像對稱可以分成兩類：一類是同一個函數(shù)圖像自身的對稱性，另外一類是兩個不同函數(shù)之間的對稱性。函數(shù)對稱性往往很容易將問題解決，從而快速得到答案，函數(shù)的對稱關系體現(xiàn)了數(shù)學之美。但是函數(shù)自身的對稱軸和對稱中心與兩個函數(shù)圖像關于某直線對稱有著本質(zhì)區(qū)別，在答題的時候，大家很容易混淆兩者之間的區(qū)別，導致答題思路上出現(xiàn)偏差，本文就這兩個問題的區(qū)別進行了談論，希望給大家的解題提供一些參考建議。

1 函數(shù)自身對稱性

例題1：將a、b設為常數(shù)，函數(shù)y=f（x），函數(shù)的x滿足f（a+x）=f（b-x），那么函數(shù)y=f（x）圖像關于直線

x=對稱。那么推論1則是直角坐標系中，f（a+x）=f（a-x）的函數(shù)圖像y=f（x）關于直線x=a對稱。推論2，在滿足f（a-x）=f（x-a）的函數(shù)圖像關于直線x=0對稱。如果函數(shù)的定義域為R，那么x能滿足f（x+2）=f（2-x），f=（x+7）=f（7-x）。如果x∈[2，7]，那么f（x）=（x-2）2，如果x∈[16，20]，那么g（x）=2x-f（x）函數(shù)表達式是什么？

解答：從上述題目中，得到已知條件f（x+2）=f（2-x），f=（x+7）=f（7-x），函數(shù)y=f（x）圖像關于直線x=2和x=7對稱，那么可以得到：

f（x）=f[（x-2）+2]=f[2-（x-2）]=f（4-x）=f[7-（3+x）]=f[7+（x+3）]=f（x+10）

如果x∈[16，17]，那么x-10∈[6，7]，那么可以得到f（x）=f（x-10）=（x-10-2）2=（x-12）2

如果x∈[17，20]，那么x-20∈[-3，0]，4-（x-20）∈[4，7]

所以得到f（x）=f（x-20）=f[4-（x-20）]=[4-（x-20）-2]2=（x-22）2

那么函數(shù)g（x）=2x-（x-12）2（16≤x≤17）或者2x-（x-22）2（16≤x≤17）

例題2 ： y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）的函數(shù)圖像與x軸有一個交點，那么x軸與直線ωx+?=kπ+π（k∈Z）的中心對稱圖形是？

解題思路：

根據(jù)上述題目的已知條件，得到函數(shù)y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）的對稱中心，那么只要讓ɑtan（ωx+?）=0或者ɑtan（ωx+?）沒有任何意義，那么就可以得到ωx+?=kπ或者ωx+?=kπ+π（k∈Z），那么得到了點

（，0）（k∈Z），點（，0）（k∈Z）就是函數(shù)y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）的圖像對稱中心。如果點（x=x0）是函數(shù)y=ɑtan（ωx+?）其中（ɑ≠0，ω≠0）圖像的對稱中心，如果x=x0則y=0或者y不存在。三角函數(shù)的對稱性其實是有一定的規(guī)律性，為了幫助大家快速掌握函數(shù)的對稱性，對函數(shù)幾種常見的三角函數(shù)進行總結(jié)，具體如下表：

函數(shù)對稱中心坐標對稱軸方程

y=sinx（kπ，0）X=kπ+π

y=cosx（kπ+π，0）X=kπ

y=tanx（kπ，0）無

注：表中的k∈Z

為了提高解題速度，在遇到正切或者余切等函數(shù)的時候，可以用這種比較簡便的方法，對照表中的公式，快速找到函數(shù)的對稱中心坐標和對稱軸方程，這樣省去了做題的時間，而且有利于提高做題的正確率。

2 兩個函數(shù)對稱性問題

例題1：函數(shù)y=f（x），那么證明函數(shù)y=f（x-a）和y=f（a-x）的圖像關于直線x=a對稱。

解題思路：在函數(shù)y=f（x-a）圖像上任取一點P（x，y）那么y=f（x-a），所以P（x，y）關于直線x=a的對稱點是Q（2a-x，y），所以得到f[a-（2a-x）]=f（x-a）=y，所以點Q（2a-x，y）在函數(shù)y=（a-x）的圖像上，那么就可以證明函數(shù)y=f（x-a）和y=f（a-x）的圖像關于直線x=a對稱。

例題2：求函數(shù)y=sinx和y=cosx的對稱中心？

解題思路：如果f（x）=sin（x-），那么就可以得到y(tǒng)=sinx=sin（x+-）=f（x+），關于y=cosx=-sin（--x）=-sin（--x-）=-f（--x），通過上述公式，可以得出函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=cosx與點（-，0）對稱。那么小于點（kπ-，0）都是函數(shù)y=sinx和函數(shù)y=cosx的對稱點。一般來說，兩個函數(shù)的y=Asin（ωx+ψ2）其中（A>0，ω>0），那么它的對稱中心點則是

（-，0）其中（k∈Z）

例題3f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，g（x）是定義在R上的奇函數(shù)，g（x）=f（x-1）如果f（-2）=a，其中的a為常數(shù)，那么f（2002）=？

解題思路：根據(jù)上述已知條件，可以得到以下結(jié)論：g（-x）=f（-x-1）=f（x+1）

g（-x）=-g（x）=-f（x-1）=-f（1-x）從而得到f（x+1）=-f（1-x）也就是

到f（x+1）+f（1-x）=0，函數(shù)到f（x）的圖像在點（1，0）對稱，所以4是函數(shù)到f（x）的一個循環(huán)周期，所以得到f（2002）=f（2）=f（-2）=a。

函數(shù)在高中階段學習的重要內(nèi)容，更是高中數(shù)學的基礎內(nèi)容，函數(shù)圖像對稱性是函數(shù)特點之一，通過上述例題可以看出，對函數(shù)圖像對稱性性質(zhì)的廣泛性有了一定的了解。雖然函數(shù)題型有多種，但是只有掌握它的基本內(nèi)容和特點，即便遇到復雜的函數(shù)，也可以按照函數(shù)的性質(zhì)，找到它的規(guī)律和特點，從而對函數(shù)的延展進一步的學習。

參考文獻

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作者單位

湖南省長沙市明德中學 湖南省長沙市 410000