中學(xué)數(shù)學(xué)不等式證明的方法

摘 要不等式在高中學(xué)習(xí)中，是我們面對的難點(diǎn)，也是我們需要掌握的重點(diǎn)知識。進(jìn)行不等式證明，學(xué)會應(yīng)用到生活和學(xué)習(xí)中，還需要我們具備較強(qiáng)的邏輯思維能力和觀察能力。因此，作為一名高中生，在文章中，針對數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的不等式，對幾個證明方法做出分析。

【關(guān)鍵詞】中學(xué)數(shù)學(xué)；不等式；證明方法

不等式是利用“<”“>”“≠”表示的一種不等式關(guān)系式子。當(dāng)發(fā)現(xiàn)不等式的兩邊同時乘以、加上相同的正數(shù)和負(fù)數(shù)的時候，其獲得的結(jié)果都為不等式。但是，在實(shí)際變形的時候，主要變換不等式的不等號方向。在高中對不等式進(jìn)行證明期間，都存在一定規(guī)律，所以，需要利用不同方法對其證明，保證能解決學(xué)習(xí)中遇到的問題。

1 證明不等式的思想

第一，分類思想。是基于主要的研究對象和屬性之間的差異點(diǎn)、相同點(diǎn)，對研究對象進(jìn)行劃分，也能在期間對其討論和分析?；诜诸愃枷?，能使我們對數(shù)學(xué)知識充分應(yīng)用，也能提高我們的知識獲取能力，保證數(shù)學(xué)知識網(wǎng)絡(luò)的嚴(yán)密性。

第二，數(shù)形結(jié)合思想。在高中學(xué)習(xí)中，數(shù)與形為交叉知識，基于數(shù)與形的結(jié)合性，能解決數(shù)學(xué)問題。同時，數(shù)形結(jié)合思想能簡化復(fù)雜問題，也能實(shí)現(xiàn)抽象問題的具體化。當(dāng)我們對不等式證明的時候，也可以利用圖形和圖像的方式，學(xué)會對知識的有效運(yùn)用。

第三，函數(shù)方程思想。當(dāng)我們對一些數(shù)學(xué)問題進(jìn)行解決期間，為其構(gòu)造相關(guān)函數(shù)和方程，能求解出其中的問題。其中，可以將不等式看做函數(shù)、方程，在這種形式下，能更為合理的分析出函數(shù)與方程的單調(diào)性。例如：數(shù)列的通項(xiàng)a，可以將其看做為正整數(shù)。

第四，轉(zhuǎn)化思想。根據(jù)已經(jīng)存在的數(shù)學(xué)知識，對其進(jìn)行觀察喝類比，并轉(zhuǎn)換求解的問題，保證能對其簡化，是問題解決的主要思想。當(dāng)我們掌握轉(zhuǎn)化思想后，能實(shí)現(xiàn)各個轉(zhuǎn)換。比如：利用化歸思想，對多元方程進(jìn)行轉(zhuǎn)變，并產(chǎn)生一元方程，也能對高次方程進(jìn)行轉(zhuǎn)換，將其應(yīng)用到不等式證明中，也能促使其作用的發(fā)揮。

2 不等式證明的主要方法

2.1 比較法

比較法是對兩個實(shí)數(shù)進(jìn)行比較，對其作差或者作商，為大小比較的主要方法。作差方法是利用常用語多項(xiàng)式、分類式；作商法是利用常用語含有冪指數(shù)類比較，作差方法使用的時候，對其差值與零進(jìn)行比較。比如：分析作商法的應(yīng)用。

例題：設(shè)x大于0，y大于0，對y2/x+x2/y≥x+y進(jìn)行求證。根據(jù)對該例題進(jìn)行詳細(xì)分析，其必要條件為x大于0，y大于0，發(fā)現(xiàn)不等式的兩邊數(shù)值都會大于0。為了對該題進(jìn)行證明，可以使用作差法、作商法。最差法為，作商法為。針對一個相同的例題，利用這兩種方法，能使我們在學(xué)習(xí)中對其靈活運(yùn)用。

2.2 均值不等式證明

例題：不等式公式為：，其中，x、y不屬于R。

對于該例題對其證明，使用均值不等式，其兩端的次數(shù)相等，也能促使其對稱性和排比性的實(shí)現(xiàn)。當(dāng)發(fā)現(xiàn)該不等式具備這些特征的時候，使用均值不等式方法進(jìn)行證明最為合理。

2.3 換元法證明

換元法在對不等式進(jìn)行證明的時候，需要根據(jù)不等式的變量，對其合理替換，保證能為不等式證明提供更為有效的方法。一般情況下，經(jīng)常使用的換元手段為代數(shù)換元法、三角換元法。這兩種方法其存在不同的公式。如：三角換元方法：，其中的等。

例題：當(dāng)，證明

基于對的分析，將其做為主要條件，將x、y表示為Rsinφ，Rsinφ，其的R大于0小于1，其中的φ大于0小于2π。因?yàn)椋瑇、y表示為Rsinφ，Rsinφ，所以，。根據(jù)對該題的分析，發(fā)現(xiàn)其中的R值為常數(shù)，能對sinφ，sinφ進(jìn)行替換，所以，在替換的時候，要重點(diǎn)分析變量，保證原來的變量范圍不會產(chǎn)生變化。

2.4 函數(shù)法證明

構(gòu)造函數(shù)法的利用，是對一個函數(shù)進(jìn)行構(gòu)造，表明正在證明的不等式，也能根據(jù)該函數(shù)具備的單調(diào)行，對不等式進(jìn)行證明。該方法在使用期間，構(gòu)造表征不等式的函數(shù)還存在一些難點(diǎn)，為了能滿足不等式的證明需要，一定要促使其為單調(diào)函數(shù)，并對不等式進(jìn)行觀察和證明，保證能利用這些特征對不等式進(jìn)行構(gòu)造。

例題：如果實(shí)數(shù)a大于0小于1，b大于0小于1，c大于0小于1。證明。為了對其證明，可以將其整理成a函數(shù)。當(dāng)1-b-c大于-1大于0的時候，發(fā)現(xiàn)f（a）在0和1之間為單調(diào)函數(shù)。當(dāng)1-b-c=0的時候，發(fā)現(xiàn)f（a）=。當(dāng)1-b-c大于0小于1的時候，發(fā)現(xiàn)f（a）在0和1之間為增函數(shù)。實(shí)現(xiàn)合理的構(gòu)造函數(shù)，主要是針對構(gòu)造的函數(shù)單調(diào)性，能為不等式、函數(shù)進(jìn)行解決，也能對其證明。實(shí)現(xiàn)函數(shù)單調(diào)性與不等式理論的結(jié)合性，能簡化其中的問題。

在實(shí)際學(xué)習(xí)過程中，要有針對性分析其存在的問題，鼓勵我們的主動性和積極性，重點(diǎn)培養(yǎng)我們的思維能力。但我們對不等式證明的時候，要全方位的了解例題規(guī)律，并利用概念、公式和相關(guān)定理對其分析，培養(yǎng)我們的解題能力，也能增強(qiáng)我們的綜合能力。

3 總結(jié)

不等式的證明是我們高中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重點(diǎn)，由于不等式的證明方法多種多樣，在實(shí)際應(yīng)用中，要對其靈活應(yīng)用，掌握其存在的規(guī)律，并做出有效思考和總結(jié)，以達(dá)到有效的應(yīng)用目標(biāo)。

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作者單位

湖南省長沙市麓山國際實(shí)驗(yàn)學(xué)校 湖南省長沙市 410000