淺談與增根有關的分式方程解的問題

摘 要在學習了一元一次方程到一元二次的分式方程轉化以后，許多同學和我一樣都會陷入到有關增根問題的困惑之中。因此在這里我想淺談一下與增根相關的分式方程解的一系列問題，爭取做到對知識難點的有效突破。

【關鍵詞】分式方程解；增根；待定系數；取值范圍

在求解分式方程過程中一定會產生增根，所以在分式方程的求解過程中一定要重視驗根的重要性。在求解分式方程過程中，我們知道有增根的分式方程未必無解，但如果所解出的根都是增根，那么原分式方程就一定是無解的。

1 對待定系數的求解問題分析

待定系數求解是分式方程曾肯求解的關鍵步驟，也是我們在平時數學學習中比較常見的，這里我提出一道平時的練習例題，對待定系數的求解問題展開分析。

例：在x的分式方程

中含有增根，那么此時n的取值應該為多少？

在求解該題目過程中，應該在方程的兩邊都相應乘以最簡公分母（x-3），將原有的分式方程轉化為整式方程，轉化后就可以得到2-x-n=2（x-3）。然后根據分式方程中的增根項來使得最簡公分母等于0，在此條件下求值得出x=3，因此可知：

2-3-n=2（3-3），同時求得n=-1

在對待定系數的求解問題時，應該結合教師所教授基本知識點來首先求解該類方程的增根項問題，在確定最簡公分母為0的基礎上來再次確定增根項，將原有的分式方程轉化為整式方程，最后再將增根帶入到整式方程中就可以求得n的最終值。

2 對方程無解確定待定系數值的問題分析

基于方程無解來確定待定系數值在于增根有關的分式方程求解過程中也非常多見，這里同樣舉個平時遇到過的例題來加以解釋。

例：有x的分式方程：

，該方程無解，那么n值應該為多少？

如上題一樣，在分式方程的兩邊都乘以最簡公分母項（x+2）（x-2），可以得到x的一元一次方程為：

n-（x-2）=0

得到n=2+n，然后根據分式方程的增根來推斷x=2或x=-2。如果x=2，則有：2+n=2，由此可知n=0時方程無解；如果x=-2，由此可知2+n=-2，n=-4時方程無解，所以綜上所述n值有兩個：n=0或n=-4

在該例題中，分式方程無解的條件一共推斷總結出兩種，首先，分式方程本身是可以轉化為整式方程無解的，那么此時分式方程也同樣無解；再一點，整式方程的解代表了該分式方程的增根，可以舍掉，舍掉后分式方程也會無解。上述提出例題明顯屬于所描述推斷總結中的第二種情況。在解題過程中需要對分式方程中的兩個增根分別進行討論。

3 對方程有解確定待定系數值的問題分析

在分式方程有解情況下，要針對該分式方程對它的待定系數問題進行求解，進而獲得它的取值范圍。在練習過程中，同樣遇到這樣一道習題，這里提出來與同學共同分享。

例：在x的分式方程：

有解，那么b的取值范圍應該為多少？

在求解該問題時，首先需要在分式方程的兩邊乘以最簡公分母：x（x-2），得到有關x的一元一次方程為：

5（x-2）=bx

（b-5）x=-10

由于該分式方程是有解的，所以b≠5，就有解為：

再通過分式方程增根得出：x=2或x=0。如果x=2，就有b-5=-5；如果x=0，則b應該是無解的。考慮到分式方程有解這一基本條件，可以得出x≠2，b≠0，因此b的取值范圍應該為：b≠5，b≠0

根據過往解題經驗，在解決該問題過程中必須首先依據題目條件所給出的分式方程有解來對其進行轉化，將分式方程轉化為整式方程有解，然后再取值確定它其中的待定系數取值范圍，根據分式方程的有解隱含條件類判斷增根條件，最后可求得分式方程的待定系數值的取值范圍。再一點，如果分式方程無增根，也就說明它所對應的整式方程根能夠使得分式方程的公分母不等于0。基于這一條件規律也可以對系數值進行確定，并明確它的取值范圍。

4 對方程解取值待定系數取值范圍的問題分析

在分式方程求解過程中要考慮它的取值待定系數取值范圍，這也是我們學習與增根有關的分式方程解的一大重點問題。下面同樣舉例進行分析：

例：在x的分式方程

中，它的解是非負數，此時求解n的取值范圍。

在求解前要首先在該分式方程的兩邊乘以（x-1），將原有的分式方程轉化為以x為主的一元一次方程，即：2（x-1）=n-1，然后轉化求解得出：

此時結合已知條件來求解分式方程中的非負數內容，為其建立不等式為：

求解得出。根據該題目中分式方程的已知條件可了解到它的增根只能為：x=1，所以如果分式方程的解如果為：x≠1，就有

，所以n≠1，此時可得知n的取值范圍應該為：n≠1且。

在求解該題目過程中，應該首先思考所給出分式方程的全部已知條件，根據其分式方程解的取值來確定在轉化為整式方程解以后的取值范圍，進而確定待定系數的取值范圍。在該求解過程中，還要根據分式方程的隱含增根條件來求解待定系數的實際取值范圍，如果整式方程的解有且只有一個，則要根據它的原始分式方程來確定分母，此時不能讓原始分式方程的分母為0；如果整式方程的解有兩個，那么就說明原始分式方程中的分式分母部分不能為0。總而言之，要在明確與增根有關的分式方程解的問題后再尋求解決過程。

5 總結

在對上述4點問題的例證過程中，我們總結出了分式方程與增根相關時，需要對分式方程進行轉化（轉化為整式方程），然后再進行整式方程求解，得出最簡公分母為0的未知數取值范圍及最終取值，明確未知數與取值之間的具體關系，這就是我們今天學習破解與增根有關的分式方程解問題的具體方法。

參考文獻

[1]湯建明.例析與增根有關的分式方程解的問題[J].初中生世界（八年級），2016（06）：49-50.

[2]徐文波.我關于探究『分式方程的解法』的新思考[J].新課程·中學，2015（12）：256-257.

作者單位

湖南省長沙市南雅中學 湖南省長沙市 410000