有關恒成立問題的解題策略與技巧

摘 要在高中數學學習過程中，恒成立數學問題較為常見，也是綜合性較強的問題，常常成為困擾我們的難題，為了有效提高數學解答問題的水平，我們要在做題中不斷總結技巧，從而確保在高考中面對相關問題時有效解決。本文利用兩種不同的方法對恒成立問題解題進行了分析，希望和同學們分享。

【關鍵詞】恒成立問題；一次函數；數形結合

高中數學中，恒成立問題涉及到函數的性質以及函數圖像，在解題過程中，我們要秉持化歸、換元以及數形結合的思路，應用多元化數學解題方法有效解決實際問題，尤其是近幾年，高考中恒成立問題的論證成為了熱點，我們更要對其給予重視。

1 從一次函數角度解決恒成立問題

之所以成為恒成立，數學表達式一定是具備相應特征后才能滿足條件，因此，證明其條件準確性以及條件的完整性就是證明恒成立的關鍵點。若是一次函數表達式是，而y=f（x）在區域[x1，x2]內恒成立，且y=f（x）>0，則能結合函數性質對其進行判斷，也就是說，將

和進行結合討論，合并后能得出

的結論。相反的，而y=f（x）在區域[x1，x2]內恒成立，且y=f（x）<0，則能結合函數性質對其進行判斷，將

和進行結合討論，合并后能得出

的結論。這個結論正好迎合了一次函數單調性質，特征相似，從側面證明了恒成立問題的正確性。也就是說，借助一次函數的單調性進行求解，能滿足證明條件。

例題1：奇函數的導函數是，并且，在x等于-1時，函數為零，若是x大于零，則滿足。因此，若是函數大于零，則求解x的取值區間。

例題解析：在分析題目后，設定

，則能導出若是x大于零，且滿足的關系式，則能導出在x大于零的情況下g'（x）小于零，那么，g'（x）就是在區間內單調遞減的函數。由于題目中提到，奇函數的導函數是f'（x），則函數g（x）本身是偶函數，能得出，在區間內，g（x）呈單調遞減的狀態，代入已知條件，就能最終結論。即：（1）當x大于零小于1時，g（x）大于零，f（x）也大于零。（2）當x小于-1時，g（x）小于零，則f（x）大于零，證明了f（x）大于零整個問題恒成立的x取值區間就在。

結合題目對實際問題進行分析，正是借助了一次函數在某一區間內圖像的表示形式對其進行了判斷，由于存在遞變關系，就能結合圖像判斷并推理恒成立問題。另外，若是題目的已知條件表示線段的兩端點在橫軸上方，則能保證x大于零，若是已知條件表示線段的兩端點在橫軸下方，則證明x小于零。正是借助這種思想，能保證題目求解的完整性和有效性，從而保證恒成立證明題解答的完整程度符合要求。

2 從數形結合角度解決恒成立問題

在數學證明題中，數形結合思想的應用范圍較為廣泛，也是我們高中數學學習方法中的重點，我們要想有效提高問題解答的效率和準確性，就要更加靈活的應用數形結合機制，確保在一定條件下能完成有效的形式轉變。只有將抽象的數學語言轉化為明確的直觀圖形，才能建立數量關系和空間形式，從而驗證恒成立問題。除此之外，我們在解題過程中還要注意，由于高中數學中函數值域以及極值問題較為常見，因此，應用數形結合能避免進行大量重復的計算，簡化解題思路和步驟，值得我們在解題中有效應用。

例題2：函數為，其中a小于1，若是函數本身存在唯一的整數解，且，則對a的取值范圍進行判斷。

例題解析：在對題目已知條件進行分析后，繪制圖形，見圖1。

設定且y=ax-a，在題目中說函數本身存在唯一的整數解，就使得g（x0）在y=ax-a的下方，由于則，在x小于

-時，g'（x0）小于零，若是x大于-時則g'（x0）大于零，而當x等于

-時，。另外，當x等于零時，g（x）等于-1，且g（e）=3e大于零，那么，直線y=ax-a就會恒過（1，0）點，其直線的斜率為a，證明經過公式的化簡和推導，則能得出，最終推導得出結論，a的取值范圍表示為：

。正是借助這種數形結合的解題方式，能對題目進行全面分析和解讀，讀取圖像中的相關信息，從而建構函數圖像和題目之間的關系，結合區間中函數圖像自身的性質，能對題目相關條件進行整合，最后借助分類討論的方式得出最終的結論，確保參數范圍能符合實際標準。

結合題目和具體條件，借助實例以及解題技巧，能在提高做題準確率的同時，保證效率。也就是說，證明恒成立問題時，要對充分條件予以利用，結合圖像的性質和特點，確保使用方法的有效性，也能為處理過程的全面開展提供保障，減少證明題帶來的負擔。也就是說，在恒成立證明試題解答過程中，要借助中間條件建立復雜問題簡單化的等價轉化機制，從而一定程度上完善我們的做題思路， 更好地應對高考中的相關問題。

3 結束語

總而言之，在高中數學學習過程中，我們要想提高成績以及數學能力，就要靈活應用相關數學知識，由于多數數學理念都是相通的，因此，提高解題技巧的關鍵就在于保證解題流程的完整和思路的清晰，應用函數性質以及數形結合的方式證明恒成立問題具有較好的效果，值得同學們在實際做題中有效使用。

參考文獻

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作者單位

湖南省長沙市南雅中學 湖南省長沙市 410000