應對函數導數零點不可求的非常規策略

摘 要在高考數學中，函數導數零點不可求問題往往在最后的大題中出現，要想保證答題準確性，就要循序漸進的分析相關條件，有效減少思考難度，尤其是在探知零點和虛設零點后，要從根本上了解導數的正負，提高答題準確率。

【關鍵詞】函數導數；零點；多次求導

1 找零點

在應對導數零點不可求的題目時，我們不要盲目做題，而是要細化分析已知條件，借助特殊值對其進行試探性判斷，在對特殊值進行選取的過程中，我們也要按照標準化步驟和要求，按照相關原則進行選擇。首先，要對知識點進行回顧，并且按照已知條件分析題目，在含有lnx的復合函數中，要借助x=ek的關系式對其進行分析，試探性設定x=e0=1。其次，針對含有ex的復合函數，則需要設定x=lnk（k>0），從而借助相應的關系式假定x=ln1=0對零點進行試探。

例題01：若函數f（x）=（x-a）2lnx，則需要對實數a的取值范圍進行分析，假定任意的，則能證明是恒成立的。

例題解析：在讀題后，要對具體信息進行分析，從結果往前進行推導。若是恒成立，則就表明是恒成立的關系，緊接著對不同情況進行討論。（1）在時，則會出現的關系。（2）在時，則會出現的關系。那么，也就是說，

是恒成立的關系，進一步推導，令

，則會存在

，正是由于

在上是增函數，則能推導出

，在x=e時，h'（x）=0，則在上呈現出增函數，并且只有一個零點，而結合所求因素，，實數a的取值范圍確定為

。

總之，要想提高做題的效率，就要將復雜的問題簡單化，并且將其轉化為恒成立問題，利用函數最值對導數零點不能直接求導進行分析，在觀察關系式后分析零點，對單調區間進行判定。將題目和解題思路聯系在一起，保證知識點應用的準確性，提高做題準確率的同時，也能進一步完善答案，確保題目解答正確。

2 設零點

我們在解題時，也能結合題目中的已知條件虛設零點，保證假設條件的有效性，就能對題目的完整程度進行劃定，確保假設的有效性。也就是在指定的函數具有零點但是又不能直接求導的情況下，人為引進零點，借助合理化的形式和推理結構將問題進行化簡分析。

例題02：假設函數，則要討論f（x）的導函數零點的個數。

例題解析：若是想分析其具備幾個零點，就要對區間進行分析。由于f（x）自身的定義域是，而

，則需要設定等于零，能得出，若是設定g（x）在呈現的是單調遞增的情況，則能得出。緊接著進行分類討論，（1）當a大于零時，則方程g（x）=a只有一個根，那么就表示在導數上只有一個零點。（2）當a小于等于零，則方程g（x）=a沒有根，也就表示沒有零點。

3 多求導

我們在實際求解過程中，也能針對具體情況進行分類討論，利用多次求導的方式有效判斷其實際的符號，并且進一步得出結果，保證解題完整性和有效性。若是本身不可求解，則需要對其進行二次求導，假設，若是發現也是不可解方程，則對其進行多次求導，從而獲得有效答案。

例題03：假設函數，若是x大于等于零，則，對a取值范圍進行求解。

例題解析：時，則，能設定相應的g（0）=0，代入后形成基本等式，但是，若是則能在x大于等于零的情況下，這個公式恒成立。并且，要對a的取值進行分類討論，從而保證能對不同情況下的等式進行系統化分析。（1）在a小于等于1時，則，能保證，最終求解，同理證明。（2）在a大于1時，則能導出，若是在x無限接近無窮大時，存在x0，設定后，h（x）<0，能最終導出a的取值范圍，從負無窮到1。

總之，在對題目進行全面反思后，要借助求導對題目進行整合和分析，結合求導公式對其進行有效解讀，從而保證導數表達式符合實際求解要求，對導數零點予以判斷，在破解導數零點有效方法的同時，保證相關步驟能有序開展。需要注意的是，其固定模式中，先求導后求零點，若是不能求出，就要對其進行多次求導，從而制定新的函數，一直求導下去直到我們求解出最終的表達式，從而有效解決零點問題。

4 局部求導

對于公式進行局部求導，其本質和多次求導存在一定的差異，尤其是對其符號進行判斷的過程中，將導數進行局部化解，能有效判斷導數和零之間的關系。也就是說，對公式進行有效的局部處理，就能對函數進行進一步的分析，應用二次求導，確保能對導數的區間單調性予以判定，從而在定義域內對其極值進行初步分析。只有從根本上判斷出函數式整體和零的關系，才能對過程進行解讀，反復進行對比后，直接判斷出導數的正負，最終找出其零點位置。綜上所述，借助局部求導挖掘函數零點的過程就是借助單調性判定函數的方式，其本質上是一樣的。在實際解題過程中，我們要靈活應用已知條件，轉換視角的同時，對相關數據進行整合重組，將函數轉換為簡單容易求導的函數，從而得出零點信息。

總而言之，在高中應對函數導數零點不可求問題的過程中，我們要審核相關知識點，并且結合題目中的已知條件，對題目進行反復推敲，確保準確判斷的同時，提高問題的解決能力和水平，利用分類討論和多次求導的數學思維最終完成題目。

參考文獻

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作者單位

湖南省長沙市麓山國際實驗學校 湖南省長沙市 410000