巧構等比等差數列速解三角求值問題

摘 要已知某種三角函數值，求其他三角函數值是高中數學學習過程中的一個難題，很多學生面對這類問題的時候，往往感覺無從下手。數列問題涉及的內容比較廣泛，很多問題設置的比較巧妙，主要考察學生綜合運用能力和創新思維能力，近年來成為高考的熱點考題。一些三角求值問題，可以通過有關知識巧妙的構造等比差數列，利用數列知識解答三角函數值。本文結合實際案例，通過構成等比等差數列達到解答三角求值問題，希望能給大家解答題目提供一些參考，提高解答題目的速度和效率。

【關鍵詞】等比差數列；三角函數；函數值

三角函數是高中階段學習的重點，也是難點，由于該類型的題目變化大，有時候已經條件比較少，所以增加了問題的難度。將一些看似與數列沒有關系的三角函數問題，將已知條件轉化為ab=c2或者a+b=2A的形式，那么就可以通過構造等比或者等差數列改變題目結構，將三角函數轉化為數列，這樣就能簡化題型，從而快速解答三角函數問題。本文以實際例子分析等比等差數列如何解決三角函數求值問題，希望對大家解答三角求值問題提供一些幫助。

1 巧構等比數列

如果一個數列從第二項起，每一項與它前一項的差等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列，這個等差數列的常數就是等差數列的公差，一般用字母d表示。

例題1：在△ABC中，lgtanA+tanC= 2lgtanB，求證≤B≤

解題思路：題目中的已知條件比較少，如果通過三角函數現有的條件去證明≤B≤，要利用等比數列解答這類問題顯然是有一定的難度，所以只能利用等比等差數列。通過上述的條件，可以得出tanA、tanB、tanC為正數，所以A、∠B、∠C都是銳角，那么tanA、tanB、tanC則成等比數列，設三者的公差比為q，那么tanA=，tanC=qtanB（其中q>0）

從上面的條件可以得出，tanA+tanC=（+q）tanB，又因為tanA+tanC=tan（A+C）（1-tanAtanC）=-tanB（1-tan2B），-tanB（1-tan2B）=（+q）tanB。所以，將數值帶入公式中，得到tan2B=+q+1=（-）2+3≥3，所以tanB≥，想要公式成立，那么只有q=1，因此，tanB在（0，）范圍內是增函數，在△ABC中，lgtanA+tanC=2lgtanB前提下，≤B≤成立。

例題2：sinɑcosɑ=，而且<ɑ<，求sinɑ和cosɑ的值？

解題思路：已知sinɑcosɑ==（）2，那么可以得到cosɑ，，sinɑ構成等比數列，設三者的公比是q，那么cosɑ=，sinɑ=。根據<ɑ<，所以得到sinɑ>cosɑ>0，q>1。根據函數公式sin2ɑ+cos2ɑ=1，那么可以得到+=1，所以得出60q4-169q2+60=0，那么可以得出q=或者q=（答案不符合題目要求，所以舍去），根據上面公式可以得到sinɑ=，cosɑ。

例題3：在銳角△ABC中，∠A<∠B<∠C，那么lgtanA+lgtanC=21lgtanB，且tan（A+C）=-2，那么求tan（A-C）的值？

解題思路：從題目中的已知條件lgtanA+lgtanC=21lgtanB，可以得出tanAtanC=tan2B，所以tanA、tanB、tanC構成等差數列，設三者的公比差是q，那么則可以得出tanA=，那么tanC=qtanB。又因為∠A<∠B<∠C<90°，所以01，又因為tanB=tan[π-（A+C）]=-tan（A+C）=2，所以得出

。根據上述推論，整理得到q2-3q+1=0，那么可以得到q=或者（由于該答案不符合題目要求，因此舍去答案）那么可以得到

。

在解答此類題目的時候，由于三角函數的正弦函數和余弦函數是一對互余函數，有很多對稱問題，比如sin2ɑ+cos2ɑ=1，在三角函數中，a/sinA=b/sin B=c/sin C=2R（其中，R為△ABC的外接圓的半徑）以及sin（π/2-α） = cosαcos（π/2-α） =sinα等一些推導公式，所以在解決三角求值得時候，可以構造對偶式對公式進行配對。同時，這也要求大家要對這些公式非常熟悉，在解答題目的時候可以根據實際情況進行配對。

2 巧構等差數列

例題4：tanɑ+cotɑ=ɑ，那么ɑ∈（，），求cos2ɑ和sin（2ɑ+）的值。

解題思路：根據題目中的已知條件tanɑ+cotɑ=ɑ，那么可以得出tanɑ，，cotɑ是等差數列，設d為三者的公差，那么得到tanɑ=-d，cotɑ=+d，將其帶入公式中可以得到tanɑcotɑ=1，那么可以得出d=±。又因為ɑ∈（，）所以cotɑ<1，所以得出d=-，tanɑ=2，cos2ɑ=-，sin2ɑ=，sin（2ɑ+）=sin2ɑcosɑ+cos2ɑsin=。

例題5 ：某三角形△ABC中內角A、B、C對應的邊分別是a、b、c，已知c=2，C=，如果sinB=2sinA，求△ABC的面積。

解題思路：根據題目中的已知條件，C=，得出A+B=，所以A、、B是等差數列，設公差為θ，那么A=—θ，B=+θ。由sinB=2sinA，也就是sin（+θ）=2sin（-θ），將公式化簡得到sinθ=cosθ，由此推算出tanθ=，θ=。根據A、B、C是△ABC的內角，所以得到A=，B=由此可以知道△ABC是一個直角三角形，根據C=2，得出a=，所以△ABC的面積S=ac=。

從上述的例子可以看出，在解答三角函數值問題的時候，必須選擇合適的構造機會，并且學生自己能夠熟練的運用sin2ɑ+cos2ɑ=1， cos（π/2-α）= sinα，

1+tan2ɑ=sec2ɑ等公式，這樣才能在合適的機會將公式引入到解題中，提高解答問題的速度。

3 結束語

三角函數是基本初等函數之一，是高中數學的重點考察內容，三角函數在測繪、航海航空、工程建筑等領域應用十分廣泛，它包括正弦函數、余弦函數、正切函數、余切函數等等，函數涉及的公式和理論比較多，所以給學生的學習增加了很大的難度。內容考察的比較靈活，所以對學生的綜合素質要求比較高。因此，在解答此類的題目的時候，可以通過構建等差數列，快速求得三角函數值。

參考文獻

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作者單位

湖南省長沙市麓山濱江實驗學校 湖南省長沙市 410000