數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)的應(yīng)用舉例

摘 要：數(shù)形結(jié)合是什么呢？就以數(shù)與形間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為依據(jù)，以數(shù)和形之間的轉(zhuǎn)化為橋梁，將體現(xiàn)問(wèn)題的抽象數(shù)量關(guān)系與直觀圖形有機(jī)的組合起來(lái)，也就是結(jié)合抽象思維和形象思維的一種解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思維方法。數(shù)形結(jié)合是把數(shù)學(xué)語(yǔ)言的抽象與幾何圖形的直觀結(jié)合起來(lái)的數(shù)學(xué)思想，讓抽象思維和形象思維相融合，通過(guò)數(shù)形結(jié)合，可以簡(jiǎn)化特別復(fù)雜的問(wèn)題，也能讓抽象的問(wèn)題也能具體到圖形上，由此使解題路徑最優(yōu)化。

關(guān)鍵詞：數(shù)形結(jié)合 初中數(shù)學(xué) 應(yīng)用舉例

一、數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中的應(yīng)用

數(shù)形結(jié)合是一種非常常見(jiàn)的數(shù)學(xué)思想方法，溝通了數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域、 空間與幾何領(lǐng)域的內(nèi)在聯(lián)系，憑借幾何圖形簡(jiǎn)明地探究相關(guān)的數(shù)學(xué)問(wèn)題，不但能更深入的理解數(shù)量關(guān)系，并且還能夠使得運(yùn)算過(guò)程簡(jiǎn)化；憑借數(shù)式的關(guān)系，還能簡(jiǎn)單地演繹出相關(guān)幾何證明題的推理過(guò)程。所以，數(shù)形結(jié)合思想，通常可以為輕松準(zhǔn)確地解決相關(guān)問(wèn)題指明容易接納的一個(gè)思路，它有助于探究解題思路、 化繁從簡(jiǎn)、 很容易地得出結(jié)論，是提升處理相關(guān)問(wèn)題能力的重要手段之一。教育教學(xué)時(shí)，必須指引學(xué)生借助直觀性的幾何圖形來(lái)展現(xiàn)相關(guān)數(shù)學(xué)問(wèn)題的根本屬性；借形導(dǎo)數(shù)，借助數(shù)探究形的多種性質(zhì)，找出運(yùn)動(dòng)規(guī)律；數(shù)形結(jié)合思想，能夠順利的轉(zhuǎn)化認(rèn)知矛盾，為相對(duì)的雙方實(shí)現(xiàn)鏈接提供必要條件。綜合以上，對(duì)學(xué)生多方面、多角度的思考問(wèn)題習(xí)慣非常有利，同時(shí)對(duì)訓(xùn)練學(xué)生思維的靈活性、廣闊性和創(chuàng)造性提供了方法，更能夠使學(xué)生解決問(wèn)題的能力和創(chuàng)新能力得到從分的提高。

二、數(shù)形結(jié)合思想應(yīng)用在中學(xué)數(shù)學(xué)問(wèn)題中的舉例

數(shù)形結(jié)合被稱為數(shù)學(xué)思想中的重要思想，它滲透在數(shù)學(xué)教學(xué)的多個(gè)環(huán)節(jié)里，它的作用在中學(xué)數(shù)學(xué)的教學(xué)中是至關(guān)重要的。數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想能體現(xiàn)數(shù)之優(yōu)，同時(shí)采納形之長(zhǎng)， 促使“數(shù)量關(guān)系”和“空間形式”互利共贏。數(shù)形結(jié)合思想在中學(xué)數(shù)學(xué)中應(yīng)用在方方面面，例如：集合問(wèn)題、函數(shù)問(wèn)題、不等式問(wèn)題、極值問(wèn)題、最值問(wèn)題等等，有些復(fù)數(shù)問(wèn)題也能用數(shù)形結(jié)合解決。

1.不等式內(nèi)容蘊(yùn)藏著數(shù)形結(jié)合思想。“九義” 教材 《數(shù)學(xué)》 第一冊(cè)（下）第九章內(nèi)容是 “一元一次不等式和不等式組”。我們?cè)趯W(xué)習(xí)時(shí)為了深入的理解不等式（組）的解集，要在數(shù)軸上直觀的表示出不等式的解集，借此就能從數(shù)軸上清楚的觀察到不等式（組）有無(wú)限多個(gè)解。這其中就蘊(yùn)含著數(shù)形結(jié)合這一特別適用的思想方法。數(shù)形結(jié)合的具體體現(xiàn)，最基礎(chǔ)的就是在數(shù)軸上表示數(shù)，而在數(shù)軸上表示不等式（組）的解集， 則又更深入了一個(gè)層次。確定一元一次不等式組的解集時(shí)， 利用數(shù)軸則顯得更具有時(shí)效性。不妨看下面的例子。

2.求極值問(wèn)題中的數(shù)形結(jié)合。許多數(shù)學(xué)最值問(wèn)題都蘊(yùn)藏著圖形，探求解題思路的一種重要方法就是憑借圖形的直觀性解題，借助幾何圖形來(lái)直觀的描述相關(guān)問(wèn)題，使得問(wèn)題的邏輯關(guān)系借助數(shù)形結(jié)合得以顯現(xiàn)，思維發(fā)散，巧克難題。

3.數(shù)形結(jié)合解決方程與函數(shù)。函數(shù)關(guān)系的一種表示方法就是函數(shù)的圖象，它是借“形”的直觀來(lái)體現(xiàn)函數(shù)的變化規(guī)律。函數(shù)的性質(zhì)能借助函數(shù)的圖象形象地顯示，有了“形”的出現(xiàn)，就使探究函數(shù)關(guān)系問(wèn)題有了直觀上的體驗(yàn)，圖像是解題途徑探索的重要工具之一。函數(shù)關(guān)系的主要表現(xiàn)形式是函數(shù)的圖象和解析式，它們有著相同的本質(zhì)，在解題過(guò)程中通常要互化，在探索函數(shù)問(wèn)題時(shí)，特別是相對(duì)困難的（如求參數(shù)范圍、分類討論等）問(wèn)題，這時(shí)時(shí)就要使圖象的直觀作用充分發(fā)揮。例如：函數(shù)的值域問(wèn)題，可賦予一定的幾何意義給一些代數(shù)式，比如，線段長(zhǎng)度（兩點(diǎn)間距離）、直線斜率等等，把代數(shù)中的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)換成幾何問(wèn)題，從而實(shí)現(xiàn)數(shù)與形的轉(zhuǎn)換。

4.數(shù)形結(jié)合在應(yīng)用中的不足。凡是縱有千般好，也會(huì)有著自己的不足。只有對(duì)數(shù)形結(jié)合有著相對(duì)全面性的了解，才能更完美的運(yùn)用。以下只做簡(jiǎn)單的文字說(shuō)明：

4.1草圖過(guò)于隨意，數(shù)的準(zhǔn)確性沒(méi)能體現(xiàn)，“形”要精確的依附于 “數(shù)”。

4.2分析“數(shù)”時(shí)經(jīng)驗(yàn)主義作怪，不考慮 “形”的存在性，容易“無(wú)中生有”

4.3由“數(shù)”導(dǎo)“形”時(shí)，要體現(xiàn)其完整性，一定要刻畫(huà)清楚有變化的區(qū)域，否則會(huì)以點(diǎn)概面。

三、結(jié)語(yǔ)

數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用具有廣泛性，由于篇幅問(wèn)題不能逐一列舉。數(shù)形結(jié)合思想解決相關(guān)問(wèn)題時(shí)提示以下三點(diǎn)：一、數(shù)與形的等價(jià)，將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化、轉(zhuǎn)化前后的問(wèn)題不能改變題意；二、運(yùn)用好“數(shù)”的準(zhǔn)確性以及“形”的全面性，像交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題判斷，轉(zhuǎn)換為圖形以后要確保“數(shù)”的準(zhǔn)確性，這樣才有可能得出準(zhǔn)確的結(jié)論。三、有些問(wèn)題所得出的圖形不唯一，要分類討論各種情況畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形后，再求解。

總而言之，依據(jù)相關(guān)問(wèn)題的具體情況，變換角度來(lái)觀察和理解問(wèn)題，透過(guò)現(xiàn)象看本質(zhì)，精確的“數(shù)”澄清模糊的“形”，直觀的 “形”啟發(fā)“數(shù)”的計(jì)算，由此來(lái)解決相關(guān)問(wèn)題，讓一些數(shù)學(xué)“頑疾”能盡早的對(duì)癥下藥，同時(shí)不可用藥過(guò)猛，不然這把“雙刃劍”也會(huì)被傷到。

參考文獻(xiàn)：

[1] 朱成杰.數(shù)學(xué)思想方法教學(xué)研究導(dǎo)論.上海：文匯出版社，2001.