深度參與讓學習真正發生

數學是一門特別的學科，數學學習中的模仿和記憶只占微小的部分，更多地需要學生的理解，需要學生在不斷的探索中，打破固有認識，形成新的穩固的知識結構。《數學課程標準》指出：“有效的數學學習不能單純依靠模仿和記憶，動手實踐、自主探究和合作交流也是學生數學學習的重要方式。”從這個角度來看，數學教學中應該加強學生的主動性，突出學生的主體地位，讓他們在不斷的嘗試和探究中去發現，去獲取，去主動建構數學知識體系，達成深度數學學習。

在數學教學中，我們要注重給學生探索的機會，讓學生建立在比較和發現的基礎上去主動建構數學知識，形成數學領悟，達成深度學習。具體可以從以下幾個方面來展開：依托生活經驗來促進數學認識，達成概念的清晰化；依托探索比較來推升數學學習，促進認識的深入化；依托數學本質來推動學生領悟，形成方法的自然化；依托操作活動來凸顯數學規律，助力建構的真實化。

依托生活經驗，認識數學概念

學生在走進課堂時并非一無所有，他們的生活經驗和已有的數學基礎都會在學習過程中起作用。因此，我們在教學中首先要考慮教學內容與學生過往生活之間的聯系，考慮到影響學生抽象出數學概念的因素，然后制訂相應的策略，引導學生在生活經驗的基礎上發掘概念的數學本質屬性，達成概念的清晰化。當然，生活經驗對學生的概念建構有兩種方向不同的影響：一種是正向促進作用，另一種是負向干擾作用。在學習中，我們要有所甄別，有選擇地利用學生的生活經驗。

例如：在“平移和旋轉”的教學中，筆者首先創設了一個游樂場的情境，將學生帶入不同的項目中，讓學生一邊看圖一邊做動作，想象一下在玩這個項目時人會做什么樣的運用——在看到摩天輪、旋轉木馬等項目的時候，學生不由自主地將手圈動起來；而在看到彈簧床、火箭升空等項目的時候，學生做了很夸張的上下運動的手勢。所有的項目呈現完畢后，筆者將這些項目做一個定型，讓學生面對這些項目，回憶剛才的手勢，嘗試根據不同項目中運動方式的不同來將這些項目分類。學生們很自然地將這些運動方式分成了旋轉和移動兩種。在這樣的認識的基礎上，筆者再讓學生自己給這兩種不同的運動方式取個名字，在生活中找一找哪些物體的運動形式跟這些運動方式是一致的，學生就深入到生活實際中去找到很多的例子。在這個案例的學習中，筆者沒有給學生定義怎樣的運動叫作平移，怎樣的運動叫作旋轉，而是給學生一個熟悉的生活情境，讓他們自己用眼睛去觀察，用手勢去模仿，用大腦去思考，這樣自己抽象出兩種不同運動方式來，之后再讓學生走進更廣闊的生活天地去豐富已有的認識，學生對這兩種運動形式的認識就足夠清晰了。

另外一個教學實例是“角的認識”。因為學生在生活中認識的角是立體的、多元的，而數學概念中的角是比較規范的，所以，筆者在教學中力圖讓學生自己來抽象出“數學角”。實際教學時，筆者以這樣一個情境來引入：兩只河馬在比誰的嘴張開得更大，你能來做個公正的裁判嗎？在情境中，筆者請用兩只手來比劃一下兩只河馬嘴張開的樣子，讓學生發現判斷河馬的嘴張開的大小就是要看兩只手張開的程度。如果我們把河馬嘴張開的樣子畫出來，只要用兩條一端相連的線即可，當然，我們還可以運用學具盒中的活動小棒來做成一個“角”。在這個過程中，學生對角的第一認識就建立了，也感知到判斷角的大小就是看兩條線張開的程度。之后，筆者再引導學生來觀察角，認識到角的各部分名稱，學生腦海中的“數學角”的概念就初步建立了。很顯然，這樣的角是有別于生活中的一些角的，比如動物的角，當學生的學習達到一定的火候時，筆者再將這樣的角拿出來讓學生比較，學生就建立了生活中的角是個物體，數學上的角是反映兩條邊張開的程度的概念。在這樣的學習中，學生對角的認識經歷了三個過程，從河馬的嘴張開的樣子到用手來模擬再到將決定河馬的嘴張開的程度的關鍵因素畫出來，學生一步步接近了角的數學概念，經歷這樣三個過程，學生的認識就從生活中遷移到數學中來，形成了清晰的認識。

這兩個案例中的數學概念的建構都沒有離開生活經驗，不同的是，第一個案例的學習更多的是生活經驗的數學化，而第二個案例中的生活經驗是“取其精華，去其糟粕”。在實際教學的時候，我們要讓學生根據自己的認識來逐步將生活經驗數學化，建立嚴謹、準確的數學概念，這樣的學習會讓學生獲益匪淺。

依托探索比較，學習數學知識

很多數學知識是彼此關聯的。在數學學習中，我們不能將知識孤立開來，而是要將新問題放到學生熟悉的環境中，調動學生已有的知識經驗來尋找獲取新知識的突破口，這樣學生起來會事半功倍，會更加得心應手。同時，學生在探索與比較的過程中能夠發現新舊知識間的相同和不同，能夠抓住兩者的本質特征來區分他們，這對于學生認識的深入起到至關重要的作用。

例如：在“百分數的認識”教學中，因為學生在生活中已經接觸過不少百分數，在之前的數學學習中也有碰到百分數的情形，所以，筆者在實際教學中就直接讓學生來說自己找到的百分數表示的含義。幾位學生分別走上前來介紹自己找到的百分數：衣服的標簽上寫著“棉：40%”，學生很容易套用分數的意義來解釋這個百分數——衣服中棉的成分占所有材料100份中的40份；“全班學生的30%會游泳”，學生很快說出“會游泳的學生占全班人數100份中的30份”。在他們習慣性套用分數的意義來嘗試解釋百分數的含義后，筆者提出更高的要求：“能不能換種形式讓我們一目了然地知道你帶來的百分數表示什么含義？”在經過獨立思考和小組交流之后，學生們展示了自己的認識：有的用線段圖來表示出簡單的百分數；有的提出可以用一個有100格的正方形來表示百分數。筆者肯定了他們的做法，并補充了利用圓來表示百分數的方法，讓學生對百分數的感知由語言層面上升到直觀形象上。在此之后，筆者讓學生們比較百分數和分數的聯系與不同，學生們的發現就多樣了。有的學生表示：百分數和分數表示的意義是相同的，都是將單位“1”平均分成若干份，表示其中的幾份來，不同的是百分數規定了將單位“1”分成的分數只能是100，而普通的分數不一定。有的學生表示：百分數其實就是一種特殊的分數。還有的學生認識到：兩者最大的區別就是分數既可以表示兩個量之間的關系，又可以是一個具體的數量，而百分數只能表示兩者之間的關系，不能表示一個具體的量。筆者認為：學生們之所以有這樣深刻的認識，過往的數學經驗是不容忽視的，建立在認識分數意義的基礎上，學生不但搞清楚了百分數的含義，而且充分認識到兩者的聯系和區別，這為他們深刻的認識打下了堅實的基礎。

依托數學本質，引導學生領悟

荷蘭數學教育家弗賴登塔爾說過：“學習數學的唯一正確方法是實行再創造。”這樣的說法指出了學生自己領悟的重要性，好的教師不是強行將自己知道的東西灌輸給學生，而是有能力引導學生經過自己的研究和思考總結出規律，讓學生的數學知識建構在自己的理解之上，這樣的學習也會更加真實更加自然。

例如：在教學“用方程解決實際問題”的時候，教學的障礙在于不少學生的方程思想比較淡薄，他們習慣于用數學方法來解決問題。所以，我們在實際教學中要讓學生經歷探索問題的過程，自己發現用方程解決問題的好處，從而自然地選用方程來促進問題的解決。在實際教學時，筆者給出了這樣一個相對復雜的問題：“小明和小華各收集了一些郵票，小華的郵票有72張，比小明的兩倍少18張，求小明原來各有多少張郵票？”學生獨立嘗試后列出算式來計算，經過統計發現近半的學生犯了錯，有的用72÷2-18，有的用（72-18）÷2，還有的用72÷2+18。在一些學生將自己的線段圖展示出來之后，其中一些學生認識到自己的算法是錯誤的。于是，筆者請出錯的學生說一說自己錯誤的原因。很多學生談到一點，就是沒有先求出小明郵票的兩倍是多少，而是根據兩倍的關系首先用72除以2，分析學生這個思路，其實是缺乏整體認知，沒有能夠將“小明郵票的兩倍”看成一個整體，先行求出這個整體是多少。在這樣的背景下，筆者引導學生用未知數來代表小明，把小明的郵票數和小華的郵票數之間的關系找出來，學生很快找到X×2=72+18或者X×2-18=72這樣的等式。交流這種方法的時候，學生們認為列式計算和用方程來解決問題各有好處：用方程來解決這樣的問題的時候很容易找到等量關系，可以直接根據“誰比誰的幾倍多（少）多少”來確定做比較的兩個量，所以列出方程比較輕松；而列式計算的計算過程比較簡單，列的式子容易犯錯誤。在對比兩種方法的時候，大部分學生還是選擇了方程。這樣的學習，不需要教師將方程的方法強加給學生，只要引導他們自己去回味兩種方法的思考過程，學生自然會做出選擇，這樣的領悟比別人給予的方法要有效得多。我們在實際教學中就是要讓學生自己在一定的背景中認識到問題，自己選擇適合自己的方法，建構專屬于自我的知識體系。

依托操作活動，建構數學體系

有效的數學建構不能停留在猜想上，需要讓學生帶著問題深入實際，自己去操作和探索，從而找到問題的關鍵，并以此為開端來挖掘數學規律，完善認知體系。這樣的學習，可以給學生更真實的體驗，更多樣的認識，讓學生更接近真實的數學，為數學建構過程助力。

例如：在“圓柱的表面積”的計算中，筆者直接出示一個圓柱體，請學生說一說它的表面積包括哪些部分，然后提出問題：“想要計算出圓柱體的表面積，我們可以怎樣做？”有學生很快回答：“只要算出圓柱上下兩個底面的圓的面積，再加上圓柱的側面的面積就可以了。”在這個回答的基礎上，筆者引導學生去思考哪種面積是我們現在已經掌握的，哪種面積需要我們去探索，從而將學生的注意力牽引到求圓柱體的側面積的問題上；之后的學生交給學生自己去探索。在行間巡視的時候，筆者發現很多小組的學生通過合作將圓柱體分解來開，將圓柱的側面展開來研究，雖然他們展開的方式不盡相同，但是在交流中學生發現無論是將這個側面展開成一個長方形還是展開成一個平行四邊形，都可以用底乘高來計算面積，而兩個平面圖形的底都等于圓柱體的底面圓的周長，高等于圓柱體的高。至此，求圓柱表面積的問題水落石出。這樣的學習完全放權給學生，讓他們根據自己的猜想去嘗試，去挖掘，讓他們在自己的活動中來建構數學知識體系，學生在這樣的過程中收獲的不僅是數學知識，而且有數學學習的方法，有寶貴的學習經歷，這對于學生后續的數學學習是有幫助的。

結束語

高效的數學學習依賴于學生主體，需要激發學生的主觀能動性，讓他們在認識問題、發現問題、提出問題和解決問題的過程中，完成認識的推進和知識的建構，這樣的學習更加有意義，并能促進學生的可持續數學學習，引領數學課堂走向深入。

參考文獻

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（作者單位：江蘇省海門市湯家中心小學）