巧析問題情景 突破解題難點

摘要：解答數學題的難點就是分析題意，找到突破點。實踐證明，數學題往往根據相關概念、性質以及圖像信息進行拓展和延伸得到的，因此解答題目必須要具備“透過事實看本質”的能力，具體來講就是正確分析問題的情景，找到問題的本質，從而抓住“突破口”，快速、準確地解決問題。

關鍵詞：問題情景；定義；類比；轉化；圖形

課改背景下，數學學習的目標不再是掌握數學知識點，而是要能夠運用數學知識解決實際問題。通過分析高考試卷和教材習題發現，大部分數學題目都是根據概念、性質以及圖像信息拓展和延伸得到，解決問題的關鍵就是分析問題的情景，找到問題的本質，抓住“突破口”。

“新信息”的套用與分析

所謂“新信息背景問題”，是指題目中會介紹一個“課本外的知識”，并說明它的規則，然后按照這個規則去解決問題。它主要考察學生接受并運用新信息解決問題的能力。這類問題有時提供的信息比較抽象，并且能否讀懂并應用“新信息”是解決此類問題的關鍵。讀取“新信息”的步驟：一是，若題目中含有變量，則要先確定變量的取值范圍；二是確定新信息所涉及的知識背景，尋找與所學知識的聯系；三是把對“新信息”的理解應用到具體問題中，進行套用與分析。

理解“新信息”可通過“舉例子”的方式，將抽象的定義轉化為具體的簡單的應用，從而加深對新信息的理解，也可用自己的語言轉述“新信息”所表達的內容，如果能夠清晰描述，那么說明對此信息理解的較為透徹；如果“新信息”是書本知識上某個概念的推廣，則要關注此信息與原概念的不同之處，以及在什么情況下可以使用原概念。

以形助數，根據結構聯系圖形

在解決具有明顯幾何意義的問題時，往往挖掘其延伸的幾何信息，以形助數找到問題突破口，另辟捷徑來解決問題。如在解決一些不等式的恒成立問題中，可以從所求的參數在圖像中是否具備一定的幾何含義，然后利用題目中所給的條件大都能翻譯成圖像上的特征，然后求解問題。

例1.已知函數是定義在R上的奇函數，當x>0時，f（x）=（|x-a2|+ |x-2a2|-3a2），若，則實數的取值范圍是 。

思路分析：是奇函數且在x>0時是分段函數（以為界），且形式比較復雜，恒成立的不等式較難轉化為具體的不等式，所以不優先考慮參變分離或是最值法。從數形結合的角度來看，一方面的圖像比較容易作出，另一方面可看作是的圖像向右平移一個單位所得，相當于也有具體的圖像。所以考慮利用圖像尋找滿足的條件。先將寫為分段函數形式：，作出正半軸圖像后再根據奇函數特點，關于原點對稱作出x負半軸圖像。恒成立，意味著的圖像向右平移一個單位后，其圖像恒在的下方。通過觀察可得在平移一個單位至少要平移個長度，所以可得：。

評注：利用題設作圖時要了解所求參數在圖像中扮演的角色，可“先靜再動”，先作常系數的函數的圖像，再做含參數函數的圖像（往往隨參數的不同取值而發生變化），同時，在作圖時，要注意草圖的信息點盡量完備。

利用定義、性質突破難點

定義與性質在解題的過程中的“點擊率”非常高，但是大部分學生都不能夠“通過事實看本質”，往往不能夠化繁為簡，回歸本源，找到突破口。橢圓方程的題目出現時，往往就是運用性質、定義，但學生往往不能完成轉化。

例2.已知F1、F2是橢圓圖形的左右焦點，若橢圓上存在點P，使得，則橢圓圖形離心率的取值范圍是（ ）。

A. B. C. D.

思路：考慮在橢圓上的點P與焦點連線所成的角中，當P位于橢圓短軸頂點位置時，達到最大值。所以若橢圓上存在的點P，則短軸頂點與焦點連線所成的角，考慮該角與a，b，c的關系，由橢圓對稱性可知，，所以，即，進而即，解得，再由可得。

評注：本題的解題方法有多種，此處只講了一種。它們的重點區別在：一是從條件中想到橢圓的哪些性質與結論，不同的結論得到不同的突破口；二是在解決離心率時是選擇用幾何特點數形結合去解還是通過坐標方程用代數方式計算求解。

解題之前，要先分析題目給出的情景，找到題目中給出的已知條件，聯系數學知識點，從而找到突破口，就能夠快速、準確地完成題目。

（作者單位：吉林省長春市第十一中學）