談概率統計教學

《統計與概率》是初中數學四個學習領域之一，但由于這部分內容較少，在中考中所占的比分較少，要求也不高，所以在實際教學中，沒有得到充分的重視。實際教學中，教師往往讓學生背公式，熟記計算，卻沒有真正理解教材，按照學生的認知規律安排教材。事實上，對概率統計的接受需要經歷收集數據，檢驗并調整自己的直覺等過程，這需要延續較長的時間，才能形成較為完整的概率統計意識。那么，教師如何講好統計與概率呢？筆者以一節《方差》為例，談一談對《統計與概率》教學的認識。

教材、學情分析和教學目標

方差是蘇科版初中數學九年級（上冊）第三章第四節的內容，此前學生已經學習過平均數、中位數和眾數，這三個數據是刻畫數據集中趨勢的主要統計量。數據的集中趨勢僅僅是數據分布的一個特征，反映的是一組數據向其中心值聚集的程度。本節課就是要研究數據之間的差異，考查數據的波動情況，即數據的離散程度，這是對數據分析的另一重要指標。這是對前面八年級所學有關統計內容的延續。

知識與技能：掌握極差、方差的概念，會計算極差、方差，理解它們的統計意義；了解極差、方差是刻畫數據離散程度的統計量，并在具體情境中加以應用。

過程與方法：通過一系列富有啟發性、層層深入的問題，經歷對數據的分析，能用樣本方差估計總體方差。

情感態度與價值觀：培養學生認真、耐心、細致的學習態度和學習習慣；培養學生探求知識的勇氣，體會教學活動的探索性和創造性。

案例解析

教學設計 10月中旬，我校將要舉行校運動會了，同學們都踴躍報名。但由于每個項目都有人數限制。為了我們班級能取得更好的成績，現在要從報名參加100米跑步比賽的兩位同學中選拔一人參加比賽。老師特意要來了他們兩個人平時的訓練成績，請看下表（單位：秒）。你會選誰？（設計意圖：利用學生熟悉的情境體現數學來源于生活，又服務于生活。）

探究活動 課堂上，有學生說：分別計算兩個人的平均成績，誰的平均成績好，就選誰。教師肯定地說：好主意！分小組計算兩位選手的百米賽跑平均成績，通過計算發現兩位選手的百米賽跑平均成績均為10.9秒。平均成績相同，兩位選手的水平就一模一樣嗎？觀察這些數據，我們還可以從哪些方面來考量這兩位選手的成績，比如成績的穩定性、最好成績等。最后，學生小組討論，得出兩組數據特點：小爽的成績波動幅度大，小兵的波動幅度小。

教師問：波動幅度大小是怎么看的？有學生回答：小爽的最好成績是10.7秒，最慢的成績是11.1秒，相差0.4秒。小兵的最好成績是10.8秒，最慢成績是11.1秒，相差0.3秒。

教師總結：我們把一組數據的最大值和最小值的差叫做極差。極差反映了一組數據的變化范圍，在一定程度上描述了這組數據的離散程度。（板書）在有些情況下，我們只需要知道極差就夠了，如天氣預報只報最高氣溫和最低氣溫，因為對于一般人來說，只需要知道這兩個極端值，氣溫的變化范圍就可以了。但是極差只是利用了一組數據兩端的信息，不能反映出中間數據的分散情況，那么怎樣才能衡量整個一組數據的波動大小呢？老師提供一種方案供大家參考：將兩位選手的成績以點的形狀標注在平面直角坐標系里，然后用折線連接，確定平均數為中心線，從而觀察波動情況。散點（如下圖）可以比較明顯的看到有多少數據在波動，數據偏離中心的幅度有多少。但這種繪制圖像的方法仍然是定性的綜合印象。怎樣才能定量的計算整個數據的波動大小呢？（設計意圖：為了直觀地看出兩組數據的離散程度（波動情況），繪制了兩個“散點圖”使學生對數據偏離平均數的情況有一個直觀的認識，為引入“方差”的概念做好鋪墊。）

學生：計算偏差，每個數據與平均數的差。

老師：如何累計偏差？

學生1：計算偏差的和。（學生先想到求代數和，但很快能自己發現問題）

學生2：不能求和，正負偏差會相互抵消的。小爽的偏差和就為0，而小兵為-0.1，和剛才的觀察結果不符合。

老師：那如何使正負偏差不相互抵消呢？

學生：小組討論后得出兩種方法：①給每個偏差加上絕對值后再相加；②給每個偏差平方后再相加。

老師：我們以一組數據（下圖）為例來分析一下該選用哪種方案更好些。

（設計意圖：由學生提出方案后，學生會積極運算，想快速得出結果，驗證自己的方案）

學生分組計算，第一種方案各數據與平均數的偏差的絕對值的和均為20，但按照第二種方案求各組數據的偏差平方和，甲組為164，乙組為104.所以我們應該選用第二種方案，給每個偏差平方后再相加。在很多問題里，含有絕對值的式子不便于運算，而且在衡量一組數據的離散程度（波動大小）的“功能”上，將各偏差平方更強些。

老師：數據的偏差的平方和與什么還有關系？請分別計算下列兩組數據偏差的平方和。

讓學生自己動手計算，求平均數時激發學生用簡便方法計算，找一位學生到黑板上板演。

老師：觀察與計算為什么有矛盾？

學生：因為兩組數據的個數不一樣。

老師：那么在數據個數不一樣的情況下，如何合理計算偏差呢？

學生：計算偏差平方的平均數。

老師：請同學們分別計算上述兩組數據偏差平方的平均數。

學生：計算兩組數據偏差平方的平均數。

老師：現在觀察與計算還矛盾嗎？我們把一組數據偏差平方的平均數叫做這組數據的“方差”。（板書方差定義）

教師總結：一組數據的方差越大，說明這組數據的離散程度越大，也就是數據的波動越大，越不穩定。方差越小，說明這組數據的離散程度越小，數據的波動越小，越穩定。請同學們總結計算方差的步驟。

學生小組討論后給出下列步驟：①計算數據的平均數；②計算偏差；③計算偏差的平方和；④除以數據的個數。

老師：學完方差的概念后，請同學們幫助老師一起來選拔一位同學參加校運動會的百米賽跑。

學生：通過計算，小爽的方差為0.018，小兵的為0.007。小兵的方差小，成績穩定，選小兵。

（設計意圖：使學生深刻體會到數學來源于生活。又反過來服務于生活，不僅使學生對學習數學產生濃厚興趣，而且培養了學生應用數學的意識。）

課堂小結 本節課你學到了什么？在利用本課知識時，你想提醒同學們注意哪些方面？你還有什么收獲？（設計意圖：通過學生的總結，不僅可以進一步鞏固所學知識，還可以培養學生以積極的情感態度，探索問題，進而體會數學應用的科學價值。）

課后反思

在活動過程中，教師要改變常規的教學法，采用實踐教學活動來引領學生學習，教師作為活動的引導者和合作者，讓學生通過交流合作、主動探究，在收集和處理數據的實踐中領悟、在概念講解中要多舉例子，讓抽象的概念和生活實際聯系起來，這樣便于學生理解。同時，教師還要注意培養學生正確的學習方法，提倡合作、探究、實踐、創新的學習精神，充分體現學生在學習中的主體地位。只有這樣，才能不斷培養學生的數據分析觀念。

（作者單位：江蘇省蘇州工業園區婁葑學校）