概念教學(xué)的課程體系和課堂實踐

摘 要：概念教學(xué)的主要內(nèi)容可以歸納為，素材的引入、概念的形成、數(shù)學(xué)思想的滲透、數(shù)學(xué)的符號表達等部分。數(shù)學(xué)概念幫助學(xué)生理解數(shù)學(xué)命題、方法和體系，把握數(shù)學(xué)本質(zhì)。教師授課過程中，要善于給出令學(xué)生想解決卻用舊知識難以解決的特殊問題，并采取逐步追問的方式，刺激學(xué)生繼續(xù)進行深入思考，進而運用于生活實踐。

關(guān)鍵詞：數(shù)學(xué)抽象；概念教學(xué)；課堂模式

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1009-010X（2017）35-0048-03

數(shù)學(xué)概念反映數(shù)學(xué)對象的本質(zhì)，是形成數(shù)學(xué)思維和指導(dǎo)數(shù)學(xué)運算的基礎(chǔ)。數(shù)學(xué)概念文字簡約，內(nèi)涵和外延嚴(yán)格確定，具有嚴(yán)謹(jǐn)性、抽象性、邏輯性和符號化等特征。

數(shù)學(xué)概念在學(xué)生頭腦中建立的順序，體現(xiàn)了數(shù)學(xué)學(xué)科系統(tǒng)內(nèi)在的宏觀邏輯關(guān)系——已知定義未知，逐層拓寬個人知識范疇和人類學(xué)術(shù)領(lǐng)域。對于數(shù)學(xué)概念的教學(xué)，教師要遵循學(xué)生現(xiàn)有的邏輯體系，從學(xué)生已有的認(rèn)知出發(fā)，分析新知識在生本環(huán)境中建立的基礎(chǔ)。因此，教學(xué)內(nèi)容和過程的設(shè)計，直接影響學(xué)生的學(xué)習(xí)效率，不能搞“一個定義、三項注意”。概念教學(xué)的主要內(nèi)容可以歸納為，素材的引入、概念的形成、數(shù)學(xué)思想的滲透、數(shù)學(xué)的符號表達等部分。例如，單調(diào)性概念的建立，需要從學(xué)生對函數(shù)概念的理解出發(fā)。教師需要通過具體的、大量的、有代表性的具體實例讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)規(guī)律，體會函數(shù)單調(diào)性概念是用來刻畫函數(shù)在其定義域某區(qū)間上的變化趨勢。在學(xué)生對單調(diào)性有了基本感性認(rèn)識基礎(chǔ)上，進一步體會“解析法”在刻畫函數(shù)單調(diào)性方面的價值，在頭腦中形成對函數(shù)單調(diào)性這一概念的清晰印象并用數(shù)學(xué)語言記憶和表達，最終在處理實際問題時投入使用。

一、教學(xué)體系主要構(gòu)成

（一）概念引入

概念的引入立足于學(xué)情基礎(chǔ)，圍繞導(dǎo)學(xué)素材逐步促進學(xué)生形成對新概念本質(zhì)的認(rèn)識與思辨，從而自主建立新知識與其已有知識之間的聯(lián)系。首先，教師要尊重學(xué)生現(xiàn)有的生活經(jīng)驗與數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗，引導(dǎo)學(xué)生在觀察與思考中自然建立數(shù)學(xué)概念。學(xué)習(xí)活動必然基于學(xué)習(xí)者的觀察與直觀感受才能使大腦進行有價值的分析活動，因此教師在課程活動中的切勿令學(xué)生倉促記憶并盲目投身題海。此外，就數(shù)學(xué)學(xué)科所指的“直觀”除了具體生活實例，更側(cè)重“幾何直觀”——數(shù)形結(jié)合思想，重視讓學(xué)生在實踐中主動觀察，形成“萬物皆數(shù)”的直觀感受。這個過程兼具指向性和開放性，要因材施教、因勢利導(dǎo)。

以任意角概念的教學(xué)為例。此知識點建立在初中課程的基礎(chǔ)上，隨著學(xué)生學(xué)習(xí)的深入和生活經(jīng)驗的積累，教師要篩選導(dǎo)學(xué)素材從而指出“擴充角的范圍”的必要性——可以從數(shù)學(xué)知識的發(fā)展要求引入，也可以從生產(chǎn)、生活實際的現(xiàn)實問題引入——使學(xué)生在客觀實例中觀察圓周運動的位置規(guī)律，理解三角函數(shù)是用來精確刻畫“角度的周期性變化規(guī)律”的數(shù)學(xué)模型——把有限的一次圓周運動拓展到無限次。讓學(xué)生始終明確三角函數(shù)的實際意義，消除其“為什么而學(xué)”的困惑，更有效地在教學(xué)過程中感悟這一概念的內(nèi)涵與外延，最終學(xué)以致用——讓三角函數(shù)模型成為解決數(shù)學(xué)和其他學(xué)科實際問題時的工具。

（二）數(shù)學(xué)抽象

導(dǎo)學(xué)素材無論取自現(xiàn)實生活還是學(xué)生已經(jīng)掌握的數(shù)學(xué)經(jīng)驗，教師在教學(xué)過程中要注意引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注其中的數(shù)學(xué)特征，使這些材料數(shù)學(xué)化，促進學(xué)生形成數(shù)學(xué)抽象。概念建立的思維過程是一個從特殊到一般、從具體到抽象、從感性到理性的過程。教師要引導(dǎo)學(xué)生進行有目的的思考，并讓學(xué)生在實際問題中體會概念的價值。實踐證明學(xué)生對新知識的掌握過程是“螺旋式上升”的——從具體實例到主觀抽象，然后還原到客觀生活并在未來繼續(xù)發(fā)現(xiàn)和探索，在千錘百煉的過程中使得自身的核心素養(yǎng)得以發(fā)展。

例如，運用解析法分析橢圓，實際上就是將一個幾何問題代數(shù)化過程——通過建立表達式揭露曲線幾何特征與代數(shù)形式的“雙向”關(guān)系——深刻認(rèn)識橢圓概念的真實含義不僅是幾個例子或頭腦中的粗淺印象——該圖形包含很多學(xué)生前所未見的特殊屬性。而學(xué)生為了透徹理解這個幾何圖形需要借助代數(shù)工具來研究，通過化形為數(shù)實現(xiàn)從將紛繁的表象還原到簡潔的代數(shù)式進行解析。這就是該概念教學(xué)過程的中心環(huán)節(jié)，使得學(xué)生的“數(shù)學(xué)抽象”這個學(xué)科素養(yǎng)在此課程中的實現(xiàn)發(fā)展。

（三）數(shù)學(xué)思想方法

教學(xué)過程要著重明確概念的內(nèi)涵與外延。數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵價值在于其中蘊含著的數(shù)學(xué)思想，這才是數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)綜合發(fā)展的核心內(nèi)容。基于對數(shù)學(xué)思想的把握，才能令學(xué)生“做一道題會一類題”，使學(xué)生處理數(shù)學(xué)問題時達到觸類旁通的境界。數(shù)學(xué)思想是學(xué)生在不斷經(jīng)歷“辨析案例、回歸定義、認(rèn)識本質(zhì)”的過程后達到的學(xué)科宏觀高度，絕非熟練掌握幾個難題套路就能成就的。

（四）數(shù)學(xué)符號化

數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)是指舍去外在物理屬性，得到數(shù)學(xué)研究對象的思維過程。符號化的思維隨之貫穿在數(shù)學(xué)學(xué)科的產(chǎn)生、發(fā)展、應(yīng)用的過程中，使學(xué)人能更好地理解數(shù)學(xué)概念、命題、方法和體系，把握事物的數(shù)學(xué)本質(zhì)，最終主動運用數(shù)學(xué)思維解決其他學(xué)科在生產(chǎn)生活實踐中遇到的問題。數(shù)學(xué)符號是表述數(shù)學(xué)概念的基本元素。數(shù)學(xué)符號簡化了數(shù)學(xué)思維的表述過程，從而實現(xiàn)高度抽象。教學(xué)過程中，教師要強調(diào)數(shù)學(xué)符號的抽象性和科學(xué)性——數(shù)學(xué)術(shù)語與描述性語言在具體數(shù)學(xué)問題上可以實現(xiàn)相互轉(zhuǎn)化——用數(shù)學(xué)符號使語義表述更為簡潔和精確，使實際問題處理更加高效，絕不會演變成象征性的、寫意的、含義不確定的結(jié)論。

二、授課活動的主要模式

（一）自主

學(xué)生已經(jīng)了解的內(nèi)容是其思維的出發(fā)點，也就是其學(xué)習(xí)新知的基礎(chǔ)。導(dǎo)學(xué)的意義不止是復(fù)習(xí)舊知和炒熱氣氛，關(guān)鍵是抓住學(xué)生新舊知識的節(jié)點，給出一個令學(xué)生想解決卻用舊知識難以解決的特殊問題，進而引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突，激發(fā)其學(xué)習(xí)欲望。從特殊到一般，逐步擴大學(xué)生的見識。這個學(xué)習(xí)過程不追求認(rèn)知建立的一步到位，重點是“因材施教”——要根據(jù)學(xué)生的認(rèn)識水平提出恰如其分的挑戰(zhàn)性。教師要把課堂主體地位讓給學(xué)生，始終做到“學(xué)生沖在前面、教師斷后”，給予學(xué)生發(fā)展空間，讓學(xué)生獨立思考。

（二）合作

學(xué)生可能犯錯，會因為不能擺脫原有的認(rèn)知水平而產(chǎn)生自相矛盾或者違背客觀的結(jié)論。而且學(xué)生群體中的錯誤可能五花八門，往往只有極少數(shù)情況下達成“所見略同”。但思維偏差是有分析價值的，教師在課堂上要組織多邊的、多樣的、合理有效的師生交流和生生交流，放手讓學(xué)生體會和表達，促進在切磋中迸發(fā)思維的火花。學(xué)生提出的見解不到位時，教師作為主導(dǎo)可以采取逐步追問的方式，刺激學(xué)生繼續(xù)進行深入思考。

（三）探究

概念探究的環(huán)節(jié)是檢驗效果的課堂核心過程，要重點關(guān)注“課堂生成”，調(diào)節(jié)學(xué)生理論構(gòu)建與實踐運用的平衡發(fā)展——教師要引導(dǎo)學(xué)生在分析問題的過程中回歸概念，也要指導(dǎo)學(xué)生理論學(xué)習(xí)的過程中強化實踐。一堂好課應(yīng)該讓學(xué)生經(jīng)歷“問題形成和解決”的完整體驗，教師要讓學(xué)生有值得思考的問題，進而看破問題，最終放下問題——看破問題是“探索”，放下問題方才“究竟”——在觀察、分析、操作、交流的“探究”過程中，問題的價值已經(jīng)得以充分利用，學(xué)生的核心素養(yǎng)已經(jīng)得到充分發(fā)展，一課之后師生都可以繼續(xù)坦然前行。

【責(zé)任編輯 馮夢陽】