向量組線性相關性的三種典型判法

【摘要】本文根據向量組線性相關性的定義、性質以及矩陣的秩、向量組的秩的關系，給出了向量組線性相關性的三種典型判法以及求向量組的秩和極大無關組的方法.

【關鍵詞】向量組；線性相關性；典型判法

向量組的線性相關性，對整個線性代數理論的建立都非常重要.怎樣準確快速地判別向量組的線性相關性？我們給出下列幾種典型判法：

一、定義法

若向量組為α1，α2，…，αm，可令k1α1+k2α2+…+kmαm=0（零向量），代入向量的坐標，用向量相等的定義將其轉化為關于k1，k2，…，km的齊次線性方程組，若它有唯一零解，則k1，k2，…，km全為零，向量組線性無關；若它有非零解，則k1，k2，…，km不全為零，向量組線性相關.

例1判斷下列向量組的線性相關性：

α1=（1，-2，…，3），α2=（2，1，…，0），α3=（1，-7，…，9）.

解令k1α1+k2α2+k3α3=0，代入分量得

（k1+2k2+k3，-2k1+k2-7k3，3k1+9k3）=（0，0，0）.

由向量相等的定義得齊次線性方程組

k1+2k2+k3=0，

-2k1+k2-7k3=0，

3k1+9k3=0.

其系數矩陣實施行初等變換得

A=121

-21-7

309→121

05-5

0-66→121

01-1

000 →103

01-1

000.

秩r（A）=2<3，方程組有無窮非零解，且k1=-3k3，k2=k3（k3為自由未知量），向量組α1，α2，α3線性相關.

本例中方程個數等于未知量的個數，也可直接計算系數行列式得其值為零，從而得方程組有無窮非零解.

二、性質法

依據：部分相關，則整體相關；整體無關，則部分無關.

判法：若向量組為α1，α2，…，αm，先看向量組中是否有零向量，若有，則向量組線性相關；若無，則第一個向量α1必線性無關，留下；再看第二個向量α2是否與α1成比例，若是，則α1，α2線性相關，從而向量組線性相關，畫去α2；若不是，則α1，α2線性無關，留下α2；繼續用同樣的辦法再看第三個向量α3，直至看完最后一個向量為止.不僅可以判斷出向量組的線性相關性，還可找出向量組的極大無關組（即：留下的向量組）.

如上例1中，先看α1≠0，必線性無關，留下α1；再看第二個向量α2，它與α1不成比例，因此，α1，α2線性無關，留下α2；最后看α3，因為α3=3α1-α2，所以α1，α2，α3必線性相關，畫去α3.留下的向量組α1，α2即為α1，α2，α3的一個極大無關組.

三、矩陣判法

依據：矩陣的秩=矩陣的行秩=矩陣的行向量組的秩=矩陣的列向量組的秩=矩陣的列秩；若向量組的秩=它所含向量的個數，則向量組線性無關；否則，向量組線性相關.向量組的秩=向量組的極大無關組中向量的個數.

判法：若向量組為αi=（αi1，αi2，…，αin）（i=1，2，…，m），要判定其線性相關性，方法如下：（1）以每個向量為行，作成一個m×n矩陣A，即A=a11a12…a1n

a21a22…a2n

am1am2…amn.

（2）對矩陣A施行初等變換，把它化為階梯形矩陣，得出矩陣A的秩r，它既是矩陣的行向量組的秩，也是矩陣的列向量組的秩.

（3）判斷r與向量個數m的關系：若r=m，則向量組線性無關；若r

（4）階梯形矩陣非零行對應的A中的向量組就是這個向量組的極大無關組.

（當然也可以每個向量為列，作成一個n×m矩陣A，方法一致.如果向量個數等于向量的維數，則矩陣A對應的行列式存在，還可直接用|A|是否為零判定向量組線性相關性.）

上述方法對于坐標含參數的向量組的線性相關性討論非常方便.

例2設α1=（1，1，1），α2=（1，2，3），α3=（1，3，t），問t為何值時，向量組α1，α2，α3線性相關，線性無關？當線性相關時，將α3表示為α1與α2的線性組合.

解因為A=α1

α2

α3=111

123

13t→111

012

02t-1→111

012

00t-5=B，

所以，當t≠5時，r（A）=3=向量個數，向量組α1，α2，α3線性無關.其本身就是它的極大無關組；當t=5時，r（A）=2<3=向量個數，向量組α1，α2，α3線性相關，α1，α2是它的一個極大無關組.此時α3=（1，3，5）=2α2-α1.

【參考文獻】

[1]何守元，主編.高等代數[M].北京：現代教育出版社，2015.