四色定理的簡單證明

曹晟

【摘要】四色定理的本質就是在平面或者球面上無法構造五個或者五個以上兩兩相連的區域，通過對問題的邏輯思維抽象，可以在二維空間內證明.而對四色定理本身的研究，也會因不同的思維模式促進新思想理論的產生，進而推進數學事業的發展.

【關鍵詞】四色；三角形；拓撲

一、四色定理思考過程

四色定理作為世界數學三大猜想之一，于1976年6月，在美國伊利諾斯大學的兩臺不同的電子計算機上，用了1200個小時，作了100億判斷，結果沒有一張地圖是需要五色的，最終證明了四色定理，轟動了世界.

但是這種證明并不是一位數學愛好者真正想要的，這個問題本身不應該用到這么復雜的計算手段，而是存在一種簡單的書面證明，可以以一種直觀、便于交流的方式去體現四色定理的正確性.同時，我一直認為利用圖形來解決這個問題是最好的方法，也是最簡單的方法，隨后我做了如下思考：能否脫離地圖本身的限制，將地圖上各個區域之間的邏輯關系在另一個二維平面內展現出來？

對此，我進行了如下的邏輯抽象變換：

1.將地圖上不同的區域用不同的點來表示.

2.點與點之間的連線用來表示地圖上兩區域之間的相鄰邏輯關系，所以，線與線之間不可交叉，否則就超越了二維平面，而這種平面我們可以暫時稱它為邏輯平面，它只反應區域之間的關系，并不反應實際位置.

通過以上的變換處理，可以將對無窮盡的實際位置的討論，變為有條理、可歸納的邏輯關系的討論，從而提供了簡單書面證明的可行性.

二、四色定理證明過程

現在設有一對相鄰區域A和B，若染色，只需A，B兩種顏色即可，但若想用到第三種顏色，則需要在二維平面內畫出另一區域，使其同時與A，B兩區域相鄰，如圖1.

這種情況使用了A，B，C三種顏色，且必須要用三種顏色，同理，若想用到第四種顏色，就必須創造出第四個區域使其在二維平面內同時與A，B，C三個區域相鄰，如圖2.

這個地圖一共使用了四種顏色，那么是否可以用到第五種顏色還需進一步討論.現在，我要用以下兩步把這個圖形抽象出來.

當平面內只有A，B這兩個相鄰區域時，可如圖3表示.

此時只需A，B兩種顏色.若必須用到第三種顏色時，創造C點，必須同時與A，B相連，如圖4.

現在二維平面被△ABC分成了兩部分，若必須用到第四種顏色時，需在△ABC內或△ABC外找一點D，使之同時與A，B，C三點相連，且不可相交.如圖5、圖6.

圖5圖6

圖7可以看出，當點D與A，B，C三點相連時，雖然D點所處區域不同，但A，B，C，D四個點的點線關系結構并未發生變化.

上面這個圖形的點線關系，代表了所有必須要用到四種顏色的地圖的最簡關系，換句話說，也就是所有必須要用到四種顏色的地圖，都可以抽象出這個結構圖形，我們暫且稱它為四色分割三角形.

現在，這個圖形將二維平面分成了1，2，3，4四個區域，接下來討論第5個點E的情況，若想用到第五種顏色，則必須使點E同時與A，B，C，D四個點相連，且不可以交叉，那么根據區域的不同，只存在以下四種情況.

1.點E處在1區域時，由于限定條件，E點只能與A，B，D三點相連，那么，可以用C點顏色來涂E，不需要第5種顏色.

2.點E處在2區域時，由于限定條件，E點只能與A，C，D三點相連，那么，可以用B點顏色來涂E，不需要第5種顏色.

3.點E處在3區域時，由于限定條件，E點只能與B，C，D三點相連，那么，可以用A點顏色來涂E，不需要第5種顏色.

4.點E處在4區域時，由于限定條件，E點只能與A，B，C三點相連，那么，可以用D點顏色來涂E，不需要第5種顏色.

綜上所述，在二維平面內不存在點E可以構造五個或者五個以上兩兩相連的區域.