初中數學競賽的一把鑰匙

康軍

【摘要】數學競賽題的解題技巧十分靈活，解答一個問題，方法的選擇常常決定解題的速度和成敗.“旋轉變換”就是一把巧妙的鑰匙，準確、靈活地運用這把鑰匙可以收到事半功倍的效果.

【關鍵詞】數學；競賽；鑰匙

旋轉變換是把一個圖形繞著一個定點按一定方向旋轉某個角度得到另一個圖形，簡稱旋轉.它的主要性質有：旋轉前后，對應直線的交角等于旋轉角，所得圖形與原圖形全等.

在初中數學各級各類競賽中，我們常碰到借助旋轉變換這把“鑰匙”解決的幾何問題.對多年的試題進行分析可發現，這類競賽題常見于等腰直角三角形、等邊三角形、正方形中，旋轉角以旋轉45°，60°，90°或180°最為常見.

一、三角形中的旋轉變換

（一）利用等邊進行變換（在等腰直角三角形和等邊三角形中常常依托相等的邊，旋轉相應的角度使等邊得以重合）

圖1例1（第三屆吳中杯數學競賽決賽試題）如圖1，在等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，M，N分別是BC上的兩點，若BM=3，MN=5，NC=4，則∠MAN的度數為（）.

A.32°B.45°

C.60°D.75°

分析要直接求出∠MAN的度數困難較大，但題中BM=3，MN=5，CN=4的條件正好是一組勾股數，如果將MN，BM，CN集中在同一個三角形中，問題可得解.由于△ABC是等腰直角三角形，依據AB=AC，將△ABM繞著點A順時針旋轉90°得△ACP，于是△ACP≌△ABM，則∠B=∠ACP=45°，∠BCP=90°，CP=BM=3，連接NP，NP=5.△AMN≌△APN，即∠MAN=∠NAP=12∠MAP=45°，故選B.

提煉借助等腰直角三角形的條件，將圖形繞著等腰直角三角形的直角頂點旋轉90°，使相等的兩腰重合，將條件集中起來，從而“化零為整”.

例2如圖2，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜邊BC的中點，E，F分別是AB，AC邊上的點，且DE⊥DF.若BE=12，CF=5，求：①△BDE與△DCF的面積之和；②△DEF的面積.

分析① 連接AD，即可發現△DCF與△DAE全等，從而把△DCF繞D點按逆時針方向旋轉90°，得到△DAE，于是△DCF就與△BDE“湊”在一起了.于是所求△BDE與△DCF的面積之和=△BDE與△DAE的面積之和=△ABD的面積=△ABC面積的一半，輕松求解. ② 在等腰Rt△DEF中，求得斜邊EF上的高，進一步得到△DEF的面積.

提煉如果兩個全等三角形有公共頂點，則相互之間可旋轉重合，從而將圖形進行有目的的割補.

（二）利用中點（中線）變換（三角形邊的中點或中線在旋轉變換時經常用到）

圖4例3（1997年天津市初三數學競賽題）如圖4，D是△ABC的BC邊的中點，過D作兩條互相垂直的射線，分別交AB于E，交AC于F，求證：BE+CF>EF.

分析題目結論中的三條線段之間并無直接的聯系，要設法使它們處在同一個三角形中，進而利用三角形的三邊關系來完成證明.充分考慮題目中D是中點這一條件，可以把△BDE繞著中點D順時針旋轉180°，得到△CDP，連接FP，由旋轉變換可以得到△EDB≌△PDC，再說明EF=PF，這樣，在△CPF中，由三角形的三邊關系，可以得到PC+CF>PF，即BE+CF>EF.

提煉其實旋轉180°，就是中心對稱變化，這個輔助線的添加，也可認為是倍長DE.當條件中有中點或中線，且條件與結論之間無直接關聯時，可以通過旋轉變化來實現在已知和結論之間架設橋梁的目的.

二、多邊形中的旋轉變換

（一）正方形中的變換

圖5例4如圖5，在正方形ABCD中，E，F分別是邊BC，CD上的點，且EF=BE+DF.求證：∠EAF=45°

證明將△ABE以點A為中心旋轉90°得到△ADE1，從而得證△AEF≌△AE1F，∴∠EAF=∠E1AF=12∠EAE1=45°.

提煉旋轉的目的是使BE+DF合二為一成線段E1F，進一步尋三角形全等的條件.

（二）任意多形中的旋轉變換

圖6例5（2002年江蘇數學奧林匹克培訓題）如圖6，在凸四邊形中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=DC.求證：BD2=AB2+BC2.

分析結論中的三條線段應是一個直角三角形的三邊長，因此，想辦法把BD，AB，BC放在同一個直角三角形中，是解答本題的關鍵.連接AC，則△ADC是一個等邊三角形，將△DCB繞著點C順時針旋轉60°，得到△ACP，于是△DCB≌△ACP，△BCP是等邊三角形，∴∠ABP=90°，由勾股定理得AP2=AB2+BP2.

提煉從結論發掘出一條思路——直角三角形，而題中有等邊三角形，于是繞著等邊三角形某一頂點旋轉60°，使分散的條件集中起來，從而使輔助線的添加顯得自然流暢，同時，也使解題過程變得簡捷而有趣.