向量法求二面角中法向量方向的控制

董培曉

向量法求二面角大小原理簡(jiǎn)單，容易被學(xué)生理解并采用，但是教材上沒(méi)有講清楚平面法向量夾角大小和二面角平面角的大小之間是相等還是互補(bǔ)，實(shí)際解決問(wèn)題時(shí)往往是對(duì)二面角大小進(jìn)行“預(yù)判”之后，再進(jìn)行計(jì)算，這種憑著經(jīng)驗(yàn)的做法難免會(huì)有差錯(cuò)，下面我們通過(guò)控制法向量的方向，使所求得的法向量夾角大小即為二面角平面角的大小.

一、向量法求二面角的原理

如圖1所示，P是二面角棱上任意一點(diǎn)，過(guò)P作PA和PB分別垂直棱l，則∠APB即為二面角的平面角，法向量n1和n2的夾角大小等于二面角平面角的補(bǔ)角，如圖2所示法向量n1和n2的夾角大小等于二面角平角的大小.

圖1圖2

顯然，我們?cè)谟觅x值法求法向量時(shí)，希望出現(xiàn)圖2中的兩個(gè)法向量，這樣就可以排除互補(bǔ)情形，下面我們來(lái)探討賦值法求法向量時(shí)方向的控制問(wèn)題.

二、法向量的方向控制

圖3如圖3，空間被二面角分為兩部分，分別記為內(nèi)和外，把形如n1和n2的記為內(nèi)法向量，把形如n3和n4記為外法向量.為了實(shí)現(xiàn)圖2中法向量夾角大小等于二面角平面角大小，對(duì)于二面角的兩個(gè)半平面來(lái)說(shuō)，一個(gè)內(nèi)法向量，一個(gè)外法向量的夾角即為二面角的平面角.

在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)n1=（x1，y1，z1）和n3=（x3，y3，z3），因?yàn)閚1和n3方向相反，則λ<0，有n1=（x1，y1，z1）=λn3=λ（x3，y3，z3），即x1=λx3，

y1=λy3，

z1=λz3.

∵λ<0，∴x，y，z值異號(hào).∴當(dāng)n1和n3方向相反時(shí)，其在三個(gè)坐標(biāo)軸正方向上的分向量方向也都是相反的，所以可以通過(guò)控制其中一個(gè)分向量方向，來(lái)控制法向量的方向.

圖4例如，如圖4，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P為棱中點(diǎn)，求二面角P-BC-A的余弦值.

分析：若取n=（0，0，1）為面AC的一個(gè)內(nèi)法向量，則需平面PBC的一個(gè)外法向量n1，容易觀察n1在z軸正方向上的分向量為正，在賦值時(shí)可首先令z為一個(gè)正值，再解出x，y；若取n=（0，0，-1）為平面AC的一個(gè)外法向量，則需平面PBC的一個(gè)內(nèi)法向量n2，易觀察n2在z軸正方向的分向量是負(fù)，在賦值時(shí)可首先令z為負(fù)值，再解出x，y值.

三、實(shí)例應(yīng)用

圖5例如，（2016年浙江）如圖5，在三棱臺(tái)ABC-DEF中，已知平面BCFE⊥平面ABC，∠ACB=90°，BE=EF=FC=1，BC=2，AC=3，求二面角B-AD-F的余弦值.

解：延長(zhǎng)AD，BE，CF相交于一點(diǎn)Κ，則△ΒCΚ為等邊三角形.取ΒC的中點(diǎn)Ο，則ΚΟ⊥ΒC，又平面ΒCFΕ⊥平面ΑΒC，所以，ΚΟ⊥平面ΑΒC.以點(diǎn)Ο為原點(diǎn)，分別以射線ΟΒ，ΟΚ的方向?yàn)閤，z的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系Οxyz.則Β（1，0，0），C（-1，0，0），Κ（0，0，3），Α（-1，-3，0），因此，ΑC=（0，3，0），ΑΚ=（1，3，3），ΑΒ=（2，3，0）.設(shè)n1=（x1，y1，z1）是平面ΑCΚ的一個(gè)法向量，n2=（x2，y2，z2）是平面ΑΒΚ的一個(gè)法向量，由ΑC·n1=0，

ΑΚ·n1=0， 得3y1=0，

x1+3y1+3z1=0， 令x1=3，則z1=-1，∴n1=（3，0，-1）；由ΑΒ·n2=0，

ΑΚ·n2=0， 得2x2+3y2=0，

x2+3y2+3z2=0， 令x2=3，代入解得y2=-2，z2=3，∴n2=（3，-2，3）cos〈n1，n2〉=n1·n2|n1|·|n2|=34.所以，二面角Β-ΑD-F的平面角的余弦值為34.

控制法向量方向時(shí)，在其三個(gè)分向量中，哪一個(gè)方向易觀察就先賦值，再代入方程解另外兩個(gè)，本例中首先給x賦值就是這個(gè)道理.