強化數學概念培養簡約思維模式

周小東

【摘要】在數學教學中，教師有目的地通過問題情境的設置，以問題的形式來呈現出對于概念的理解與靈活的應用，可以強化概念，達到對數學問題的本質性認識.在問題的解決過程中，不斷地滲透數學思想方法，培養數學思維能力，增強學生的自信心，使學生享受成功的體驗，從而提高分析問題與解決問題的能力.

【關鍵詞】概念；能力；思維

數學能力的核心是數學思維能力，數學思維能力的提高，必須以數學知識為載體，而數學概念的掌握，正是進行判斷、推理，建立定理的基礎，因此，清晰的概念是正確思維的前提.數學概念的掌握，遵循螺旋上升的認識的規律性，需要經過大腦系統的反復比較、判斷、甄別等復雜過程的過濾，在運用中得以提升.因此，在教學中，應該不失時機地選擇一些具有代表性的問題進行訓練，不僅能夠更好、更快地理解概念，而且也有利于培養分析問題解決問題的能力，從而達到提高思維能力的目的.

一、準確理解題意的能力

精心選擇合適的問題，著意培養學生理解概念，以及運用概念分析問題與解決的能力.即能對給出的數學問題進行認真的閱讀，理解題意，把握其中的內涵.

例1已知函數f（x）=3sin2πx2+1，使f（x+c）=f（x），對于任意x∈R都成立的正整數c的最小值是.

分析把對題意的理解和函數周期性定義進行比較，發現本題的目的就是要求函數的最小正周期.故函數可等價于f（x）=3sinπx2+1的周期，或者函數可變形為f（x）=32（1-cosπx）+1=52-32cosπx，從而得周期為2.

二、構建概念的能力

由于數學概念的抽象性以及認識的螺旋性，因而，對于數學概念的把握，如果能通過問題形式的呈現，那么對數學概念的理解將會由感性認識達到理性認識，從字面上的識記達到與函數及圖像結合的動態性效果，從而完整準確地領悟數學概念，構建數學概念.

例2若函數f（x）=13x3-x在（a，10-a2）上有最小值，則實數a的取值范圍為.

分析這是對函數最值問題的具體化.該函數在開區間上必有極小值，并且這極小值就是函數f（x）的最小值.因此，先求出函數f（x）在開區間上的極小值，并且將端點處的函數值與極小值進行大小比較，即可求得實數a的取值范圍.通過對該問題的解決，不僅加深了對函數最值概念的理解，有助于澄清函數的極值問題與最值問題之間的區別與聯系，而且對最值概念的理解也經歷了動態化思維方式以及直觀化的思維形式，從而達到對概念的建構.同時，借助于圖形的直觀，可以使得數的問題的解決在數形結合中得到優化.

三、簡化運算的能力

提高運算能力是數學教學的重點目標之一，準確運用相關的概念，可以簡化運算過程，達到快速準確的目的，同時，也有利用于提高學生學習的興趣.

例3已知f（x）=4×2x+22x+1+ln（x+1+x2），若f（x）在[-2，2]上的最大值、最小值分別為M，N，則求M+N的值.

分析從給出的函數解析式來看，這是一個復雜的函數，我們無法畫出其圖像，但從函數定義在對稱的閉區間上，我們就可以從函數的性質，即奇偶性方面分析探索其解題的思路.通過此問題，我們可以將奇偶性的知識激活，借助于恒等變形，將所求的問題的運算得到簡化，并且也強化了概念的運用.

四、化歸的能力

化歸的能力是中學數學教學目標最重要的能力之一.善于利用化歸的數學思想，將復雜問題轉化為簡單問題，將陌生問題轉化為熟悉的問題，將未知問題轉化為已知問題來求解，是提高數學思維能力的核心能力，也是高考中必考的重要的數學思想方法.

例4若函數f（x）=4xx2+1在區間（m，2m+1）上是單調遞增函數，則求實數m的取值范圍.

分析解決本題的關鍵在于根據定義的等價形式，將所求的問題轉化為導數問題，利用導數中求函數單調性的方法來求解，也體現了知識與解法的與時俱進性.先求出函數的導數

f′（x）=4xx2+1′=4[x2+1-2x2]（x2+1）2=4（1-x2）（x2+1）2，

令f′（x）>0，得-1

五、嚴密的推理能力

數學的嚴密推理能力在新課標中以及高考考綱中，都很明確且占據了很重要的地位.如何提高嚴密的數學推理能力，除了幾何與代數方面的培養以外，運用定義，也可以強化此項能力，體現數學體系的嚴密性和數學論證的無懈可擊性，即數學推理的嚴謹性.當學生對數學概念的本質有了理解，能夠運用概念去分析與解決問題而獲得成功體驗時，那么他對數學及其應用就會發生興趣，想要進一步學習更新、更深的東西，就會形成較好的動機，從而促進學生產生正確的信念，將會極大地提高數學能力與解題水平.

數學概念的靈活運用建立在對它充分地理解的基礎之上，要純熟運用它，形成思維的策略，還需要在問題解決的過程中多思考、多實踐，以求簡的思維意識貫穿于解題過程的始終，精誠所至，數學簡約思維的模式終將形成.