對一道錯題的探究

林國紅

一、發現問題

一道有關橢圓的習題：

P是橢圓x25+y24=1上的點，F1，F2是橢圓的焦點，若∠F1PF2=π3，則△PF1F2的面積等于.

多數學生的分析是這樣的：利用橢圓定義和余弦定理，適當地變形，求出|PF1|×|PF2|的值，代入三角形的面積公式即可.

解法一如圖1，設|PF1|=m，|PF2|=n，則m+n=25，|F1F2|=2c=2.

圖1在△PF1F2中，由余弦定理，得（2c）2=m2+n2-2mncosπ3，

4=m2+n2-mn，

4=（m+n）2-3mn，

4=（25）2-3mn，

∴mn=163.

故△PF1F2的面積為12mnsinπ3=12×163×32=433.

同時，也有部分學生是這樣思考的：既然要求△PF1F2的面積，則可以利用橢圓定義與三角形的余弦定理列出方程組，以解方程組的形式求得|PF1|，|PF2|的值，再將其代入面積公式即可求得面積.

解法二由解法一，有m+n=25，

m2+n2-mn=4， 代入消元，得

3m2-65m+16=0.

然而，Δ=（-65）2-4×3×16=-12<0，上述方程無解！

兩種不同解法，得到兩種結果，誰對誰錯，難以定奪.究竟怎么回事，學生們陷入思考中，也自發地探索起分歧的原因，但經較長時間的討論、交流、思考，也沒找到導致出現兩種結果的原因.

其實這是一道錯題！即在橢圓x25+y24=1上不存在點P，使得∠F1PF2=π3.

二、歸結原因

橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）中，短軸的一端點與兩焦點所成的角，是橢圓上所有的點（左、右端點除外）與兩焦點所成的角中的最大角.圖2

證明設橢圓方程x2a2+y2b2=1（a>b>0），如圖2，焦點坐標為F1（-c，0），F2（c，0），c>0，點P在橢圓上，設∠F1PF2=θ，|PF1|=m，|PF2|=n，則m+n=2a.

由余弦定理，得

cosθ=m2+n2-4c22mn=（m+n）2-2mn-4c22mn

=4a2-4c2-2mn2mn=2b2-mnmn=2b2mn-1.

∵m+n=2a，由基本不等式，有2mn≤m+n，得mn≤a2，當且僅當m=n=a時等號成立.

∴cosθ=2b2mn-1≥2b2a2-1，且有0<θ<π.

此時|PF1|=|PF2|=a，即點P在橢圓短軸端點時（如圖2），∠F1PF2最大.

所以，由上述結論可知，在前面題目中，當|PF1|=|PF2|=a=25時，∠F1PF2有最大值，此時有cos∠F1PF2=2b2a2-1=2×45-1=35>cosπ3，故有0<∠F1PF2<π3.所以，在橢圓x25+y24=1上不存在點P，使∠F1PF2=π3.

三、鞏固提升

通過上述探究，學生明白了原題是一道錯題，也能順利得到下面的結論：

已知橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0），F1，F2是橢圓兩個焦點，對于給定的角θ（0<θ<π），在C上存在點P，使∠F1PF2=θ的條件是∠F1BF2≥θ（B為橢圓短軸的一個端點）.

由此結論，可以將原題進行相應的改動，使其不再是一道錯題.

改動1：P是橢圓x25+y24=1上的點，F1，F2是橢圓的焦點，若∠F1PF2=π6，則△PF1F2的面積等于.

改動2：P是橢圓x24+y2=1上的點，F1，F2是橢圓的焦點，若∠F1PF2=π3，則△PF1F2的面積等于.

四、結語

橢圓中與焦點三角形有關的問題，是各類考試的熱點，經久不衰，題型靈活多樣.本文從一道錯題中探究得到焦點三角形中一個有用結論，使學生體會到一些有用的結論將會為解析幾何的解題帶來幫助.在探究的過程中用到橢圓定義、三角形中的余弦定理、面積公式、基本不等式等知識點，有助于學生對所學的知識進行融合，并能靈活運用.

【參考文獻】

[1]人民教育出版社課程教材研究所.數學選修1-1[M].北京：人民教育出版社，2007.

[2]吳成強.圓錐曲線中“焦點三角形”有關問題的研究[J].中學數學教與學，2009（3）：45-49.